IO THÉORIE ANALYTIQUE

et par suite, . ,

nV rK /’*'

A '=/ Kdkcosa, B —J Kdk cosC, C=J ^ Nacosy. (12)

4. Cela posé , occupons-nous d’abord de la fonction K. En substituant pour R sa valeur, on trouve

/* fl' dû' siufi'cos 6' y fl — y' fl — (ft+jPCOsV+YsmWjsin^'

o * R ft+p cosV+ysinV

ou bien en substituant pour sin* 0' sa valeur tirée de l’équâtion (6)>

’6'<i8'sin8'cos6' l/ fi

fl

R fi y p cos* «' -f- q sin*®' *

on aura, par conséquent,

’i» \/ÿÜ

p -j-p cos* *' -f- y sin* u

Cette intégrale doit être prise depuis co — o jusqu a 6?' = 3-7T, ce qui revient à la prendre depuis a' = o jusqu’à <a'= tt , et à doubler les résultats. Or, on sait

que dans ces limites on a J"-

on aura doqc

z»*cosV -f- nasina*'

L’équation (1 1) , dont /a, — p et — q sont les trois racines, donne, sans être obligé de la résoudre,

fi — p—q *=■ (x -Hra-l-n)# — (m-{-n)a% — (i-\-n)mb*

— (1 -f- m)nc • ,

ppq = mnk {k—a* — mb% — nc%y.

Si

et

en

DU SYSTÈME DU MONDE. n

Si l’on tire de ces équations les valeurs de p -f- q et de pq, qu’on les substitue dans l’expression de K, en faisant , pour abféger ,

H*=± 2 ft3 — {m+n)a' — (ï -f m)nca]

-f- mnk {k — a* — mb* — ne4)*,

ou bien , en vertu de l’équation (n) ,

H1 z=:f?[{i-\-m-\-ri)k — (m-\-ri)a* — (i -\-n)mb* — (i+m)nc'] )

— 2 ft(k — a1 — mb * — nc*)[(rnn-\-m-$-n.)k — mn{a*-\-b'i-\-c')'\ ?(>3) -f.3 mnk(k — a* — mb‘> — ne’)1, , J

on aura

K = ÎT* >

La quantité K se trouve ainsi exprimée en fonction delà seule racine positive p de l’équation (n), et de quantités toutes connues.

Pour obtenir maintenant l’intégrale fKdk , il faudrait déterminer fjt, en fonction de k , ce qui obligerait à résoudre l’équation (ïi); mais il est beaucoup plus simple d’exprimer k et p en fonction d’une nouvelle Variable , et de substituer cette variable a la place de k et de p dans les formules de l’attraction. Faisons

l = a*-}4- mb*-\-nc% — k ,

h étant ainsi une quantité nécessairement positive r puisque le point dont les coordonnées sont a , b, c, est situé en dehors de la surface de l’ellipsoïde, l’équa-, tion (i i) , en y introduisant cette valeur, peut s’écrire ainsi

(*+I) (t+ml) (<4-n/) —

— n’c'(t+l)(t+ml) = o,

ou bieu

t-f-Z 1 t + ml r t+nl

Si l’on multiplie le premier membre de eette e'quation par Z, et le second par sa valeur, on en tire

Soit

a't mb't

: F+7 + 7+mi +

= «*, ce qui donne

nd't

t+ nï ’

t + ml=L [m-f (!»,)«>], t+nl=z- i [n-Hi — «)«’]: On aura

d’où, en différentiant et faisant, pour abréger,

JP == [(m -J- (i — /»)«*] [» -f- (i — «)&*]

on tirera

dk =

aQ *udu P* ‘

Exprimons de la même manière la quantité H'. Eh substituant pour k sa valeur précédente en t dans l’expression (i 3), on trouve

H’ 1 a\t + ml) (t + nl) m'b'(l +ï)(t +nl)

.«*’ /(<-+-/) “* t(t + ml)

n’c’(f + l ) (< 4- *nl )

*+■ 1(1 + ni) J

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

et -en mettant pour t -f- l, t-\-ml et t -f- ni leurs valeurs, on trouve

on aura donc ainsi

k = , Kdk = i=*2.

Q ' Pt/P

Si l’on introduit de même la quantité u dans les formules (io), on trouvera

cos a

cos C

(/ + mZ) — n'c'lt+ml)

mab(t + nl )

cos y =

nac(t~\-ml)

La première de ces équations peut s’écrire ainsi

cos a

— (<** — *) (t-^nl)+mbU(t+nl)-l-nc't(t+ml)

et en vertu de l’équation ( m ), elle devient simplement

a*(t-rf-TnI)(t+ ni)

cos* = (T+7)Z-— i

en vertu de la relation cos * a cos* £ -f- cos * y = i, on a d’ailleurs

~ [a\t -f ml)' (i -f m'b' (i + /)’(< + ni)'

l4 THÉORIE ANALYTIQUE

ou bien, en mettant pour t sa valetir en u, A = ~ Q ,

et par suite.

a[m + (i — m)ux~\ [« -f- (i —