COS CL

cos g = »"*[>" + 0 -")«■] y

cos y ^

nc\m 4- (i — m)ux J

Si l’oti substitue maintenant ces valeurs et celles de K dk dans les formules (12) , et qu’on fasse

— Sï A ‘, —

on aura

4 a* u2du

\/ mnJ o \/ 1 -J- a’u* \/ j -J. a'»u> ’

__ uWu f

\ZmnJ ° ^(l+iV)' } (l5)

4Cir

\/mnJ ° i/j + vu^ O+Vu*)*

Les intégrales relatives à k devant s’étendre depuis k = o jusqu’à k = k’ , les intégrales précédentes devront être prises depuis u— o jusqu’à u — ur, en supposant que u ' soit la valeur de u qui répond à la surface (*). <

(*) Ces formules correspondent à celles qu’avait obtenues Legendre dan9 ses savantes recherches sur lest attractions des sphéroïdes elliptiques ( Mémoires de V Académie des

DU SYSTÈME DU. MONDE. « i5

En introduisant dans ces formules la masse du

sphéroïde M = y-

— , on verra qu’elles sont

| /mn ^

identiques avec les formules relatives aux point| intérieurs, n° 9, liv. \ ; seulement, les limités des intégrales sont différentes. Dans le premier cas, les limites des variables comprises sous le signe f sont o et i , et dans le second o et u'.

Si l’on veut que dans les deux cas les intégrales soient comprises dans les mêmes limites, on supposera à la surface du sphéroïde u'* = g , et l’on

fera respectivement dans la première, la seconde et la troisième,

. : I • hx = u |//t“ 4- {, if.

hx —

uy/h* -f- i

uVÏ+Tfu1 ’

hx = -sS; 1/i + aV

Sciences , 1 788 ) ; mais ce n’est qu’à travers une série de calculs inextricables , et en alte'rant même les expressions prirhi^ tives des attractions par des considérations qu’il justifie, il est vrai, mais qui laissent toujours quelques doutes dans les esprits, qu’il y est parvenu. La comparaison de sa méthode à cçjlp que nous avons suiviç, çst curieuse pour tous ceux qui s’intéressent aux progrès «lu calcul intégral. L’artifice si simplq qui fait disparaître des expressions de l’attraction des ellipsoïdes sur les points extérieurs le radical qui en avait rendu jusqu’ici l’intégration directe si difficile, si ce n’est tout-à-fait impossible, par les méthodes ordinaires, mérite surtout de fixer -'l’attention , comme l’une; des plus heureuses idées que l’histoire de l’analyse nous présente. • • .

i6 THÉORIE ANALYTIQUE

Qu’on remplace ensuite m etn par leurs valeurs^ , ~ ,

dans À* et A'*, et qu’on introduise la masse M de Tel-

lir»&ïde à la place de sa valeur ~ , on trouvera ” Zÿ mn

A 3aM p x'dx

y/h'+ÇJ a^J-hÂ'wA-Jx1 V7 A‘)a:> ’ I

« — 3AM f' àc'dx I

~ y/fF+çJ ÿK'+X+lh'—K^ \/ïT'+i+{h''-K^?' ’ f Cl6)

3cM Ç î' ' x'dx J

— V to-h**)x: V A**+Ç+(/*' ’-v jï*’ I

Ces formules, que l’on pourraifaisément déduire des valeurs de A, B , C, n° i3 , liv. V, sont absolument semblables aux formules du n° 9, relatives aux points intérieurs ; elles n’en different qu’en ce que les trois quantités h\ h h"* sont augmentées ici de la constante 0; pour déterminer cette constante, il fautobser-

• hr

ver qu’à la surface de l’ellipsoïde on a u'=u!t= r—~

en substituant cette valeur et celles de m et n dans l’équàtion , ( 1 3) ,, et faisant k=.h%, on aura

On" démontrerait , comme on l’a fait pour l’équation (il) , n° i3, livre V, que cette équation n’admet qu’une seule racine réelle et positive; elle ne donne donc apssi qu’une valeur unique pour l’indéterminée • , , . . ,

Si le point attiré était à la surface du sphéroïde, on aurait > > ■ .

Dü SYSTÈME DU MONDE i7

Jë + 1T‘ + . Â* *= 1 .» • - '

et par conséquent £ = o ; dans ce cas , les formules (16) coïncident avec les formules relâtives au point intérieur, comme cela doit être.

Les formules (16') mettent encore en évidence le théorème de M. Ivory ; en effet , si l’on nomme ht , hft h" les trois demi-axes d’un ellipsoïde passant par le point attiré, et qu’on fasse > .

on en tirera

h* — à'*=A/-A/*, h*—h”*=h;-ht"a, h"-K'a=hl*-h't".

L’ellipsoïde déterminé par la valeur de la quantité 0 et l’ellipsoïde donné se correspondent , par conséquent , de telle sorte que les sections principales situées dans le même plan sont décrites des mêmes foyers. Les attractions de ces deux ellipsoïdes sur le point dont les coordonnées sont a , b , c , sont proportionnelles à leurs masses , et les composantes de leurs attractions , respectivement parallèles à chaque, axe , sur des points correspondons de leurs surfaces , sont entre elles comme les produits des deux autres axes. . . •

5. On peut exprimer, d’une rnanièrçtrès simple, au moyen des fonctions elliptiques, les attractions de l’ellipsoïde, soit par rapport aux points inférieurs, soit relativement aux points extérieurs.

Pour cela, en supposant, comme dans le n® io Tome IL - ’ a

du livre cité, que le plps petit des trois demi-axes du sphéroïde soit h , h' l’axe moyen, et h" le plus grand, en sorte qu’on ait h" >h, h1 > h" ; si l’o fait

h'*— ht .. h" — h* .

1 on

et qu'ensuite on suppose c* = pr, p = i ^ ,

et A'æ =ss tang <p , dans les formules de la page 343, après y avoir changé y et z en x, on trouvera

*• 3aM p dtp tangap .. '

A j/ j — c'sin'tf» ’

3AM y

V/ 1 — c'sin'f 3AM y <fysin’p

{i — c’sin’p)’

P 3cM y* dp sin'p

les intégrales devant être prises depuis <p = o jusqu’à la valeur de <p < î tt, telle qu’on ait

' v tang (p s= A' =

Si l’on suppose donc, d’après la notation adoptée pour les fonctions elliptiques (*),

J t/ 1 — ca sin’ p V * *

fdpy/i — p‘sin.‘<p = E.(c, f)/f les intégrales étant prises dâns les limites précé-

(*) Voir n° 2a , livre VI.

de

Pa

Lt

el

le

le

ti

te

DU SYSTÈME DU MON DE, i

dentes; en observant, de plus, qua ces limites on a

' ' irv

sirnycosip A y W* — A1

|/ 1 — c’ sin’^ < h h’ * .

tang (p v/.i — c* sin*<p =*

fyh *

par des transformations très simples, on trouvera

A~— 3«rç n

. A*x'«t/r=^L hh"

3cM

Les quantités F(c, <p), E(c, <p) sont des fonctions elliptiques de première et séconde espèce, dans lesquelles c est le module et <p l’amplitude; on pourra donc les calculer par les tables de Legendre, quels que soient c et <p , et déterminer par ce moyen, les valeurs numériques de A, B et C.

On peut exprimer de la même manière lés attractions relatives aux points extérieurs. En effet, soit toujours h < h', h1 < h", supposons comme précédemment \ , " , : ' /

en conservant à c sa valeur, et en supposant que la valeur extrême de l’amplitude <p répond aux va-

leurs tang <p'= ; par des transformations ana-

logues, on donnera aux formules (16) la forme suivante :

ao THÉORIE ANALYTIQUE

a = — 3<,!yL— naœ* - E(«, *f|. \

AVJV* — «* L ."A . • ..J . . . 4

b - U., ,,-v.rrt. n<,,w üteil , } <"»

Ces formules sont absolument semblables aux précédentes; la seule différence, c’est que dans le cas du point intérieur, pour déterminer l’amplitude <Ç,

on a tangip = - — jr ■, et dans le cas du point

exteneur, tangtp = h — , — -

g est une quantité positive, la valeur de <p , dans ce second cas, est plus petite que dans le premier, ce qui rènd les approximations plus promptes, en sorte que le calcul des attractions sur les points extérieurs est, sous ce rapport, plus simple que celui des attractions sur les points intérieurs.

Des formules (17) on tire aisément

â "H % + c — rnr = ** >

.7+ t+ T=7p5rr,F^-«.

équations qu’on peut regarder comme l’énoncé de deux théorèmes particuliers. Le premier avait déjà , été démontré, n° i/f, livre V.

Les formules (18) donnent de même,, relativement aux points extérieurs.

; comme

6. Il existe, pour les sphéroïdes hétérogènes, un cas particulier où les attractions peuvent toujours s’exprimer sous forme finie par des arcs de cercle , des logarithmes ou des fonctions elliptiques ; c’est celui où l’expression de la densité est une fonction rationnelle de l’un des trois axes de l’ellipsoïde. On peut aisément s’en convaincre, au moyen des formules précédentes. ‘ > 1 Y ,

En effet , si l’on nomme g la densité du sphéroïde, et qu’on suppose g = f {k) , comme l’équation (14) donné À:- en fonction de u, si l’on suppose que la densité varie, on aura généralement g (u), et l’on pourra exprimer la densité au moyen dé la variable u et de quantités constantes.

Supposons donc l’ellipsoïde décomposé en couches homogènes terminées par des surfaces elliptiques semblables , mais dont la densité varie d’une couche à une autre, si" l’on multiplie sous le signé intégral par g les valeurs des trois quantités A,B,C; qu’on nomme u et u',, les valeurs de u, qui répondent, à. la surface intérieure et .à la surface extérieure dé la couche dont la densité est g, et qu’on . intègre entre ces limites, il est évident que les expressions résultantes seront les attractions parallèles à chaque axe de la couche homogène , dont la densité, au lieu d’ètfe égale h l’unité, serait représentée par g.

2a THÉORIE ANALYTIQUE

Lés formules (i5), en faisant pour abréger,

donneront ainsi * ■ ' ,

4 asr ru' ’U’ifu •

, ' .. A-—y^~nJu 1/Y>

v'W ».(i/+Ayjy v

4c«- >«' M*<fa

V rnnJ u (l-f-A’’u’)|/V *

u et k' étant les valeurs de zt qui répondent à la surface intérieure et à la surface extérieure de la couche. Pour avoir les attractions du sphéroïde entier, il faut prendre les formules (i5), et par conséquent les précédentes, entre les limites u—o et u~u'. Ces formules pourront s’intégrer sous forme finie, comme nous l’avons dit, soit par arcs de cercle, soit par logarithmes, soit au moyen des fonctions elliptiques, toutes les fois que g sera une fonction rationnelle de l’un des trois axes de l’ellipsoïde (*).

(*) M. Poisson, en appliquant à ce cas d’intégralité, reconnu' pour la première fois par M. Jacobi , les .formules qu'il avait données pour l’attraction des ellipsoïdes (XII“ vol. de Y Académie des Sciences ), dit qu'il serait difficile, au moyen des anciennes formules étendues au cas d’tui ellipsoïde composé de couches de diverses densités, de reconnaître dans quel cas ces formules sont intégrables sous forme finie ( Conn. des Tems, 1 836 ). On va voir, au contraire, que cette question, comme toutes celles du même genre, se résout très aisément au moyen de ces formules , mises sous la forine que nous leur avons donnée n° io,1iv’ V.

ai

Supposons , pour exemple,' le cas très simple où la densité diminue proportionnellement à l’axe h. Où aura alors -, v -.•••• ' ■ . . • .

en prenant pour uùite la densité de la couche qui répond a x. L’equation (i/J), en observant que

h =a Vk, et en faisant attention aux valeurs de A* et A'*, donne - •

; y ma V^V ’ '

où, pour abréger, on suppose y = mn (a* ù* -f c*),

«y = m (i — n ) (a* + b*) -f- n ( i —tn){a'+ c*), £j,* = (i— n)a\

En substituant cette valeur dans les équations (19) , elles donnent «

^ = A1** ru u^u .■> t1 V J u \/ 1 «h’ -| *

R — ^bx fu‘ udu \ ( r

y J tu (14. Vu*) ÿ j 4- 4- ff«4 ’ /

. j, 4Cîr ^

Ces trois formules peuvent s’obtenir sous forme finie, au moyen d’arcs de cercles ou de logarithmes. En effet, considérons l’intégrale indéfinie

v f ' ludu .

f étant. une constante quelconque. Supposons que la . quantité sous le radical puisse se décomposer* en deux facteurs réels (1 -\-pu%) et i +qu%, en sorte qu’on ait

\/ 1 H- == V/ CH- pu') ( i H- qu%) , ,

■ qu%

on trouvera -

et faisons y' — -

x== yfp-/-^~f)r’

Si les quantités p — f et q-—f sont de même signe , ou aura ■ ' "

log

ŸXp-f )(<!•— T) B \ V P— f —J V q—f .

et. si ces deux quantités sont de signe contraire^

en désignant par C dans les deux cas la constante arbitraire. .

Si dans ces expressions on substitue pour y sa valeur, la première deviendra

*- — log ( V '+<lu'iV P— /-h/ I +pu*[/ q—f \ +c

■ ^(F-jTKHZ) V K Vp—f— Vx+pu' V¥-f ) ’

et la seconde X=

:arc /" taHg=V ^+/^V7==^ \-pr.

1/ (p—f)(f—qï Si l’on suppose successivement dans ces valeurs

DU SYSTÈME DU MONDE. i5

f = o, f = A*, f = A'*, et qu’on étende les inté-1gralesentre W limites u et on aura les trois intégrales définies qui entrent dans les formules (20).

Nous avons supposé réels les deux facteurs dans lesquels se décompose la quantité Su4, ce

qui exige que a? — soit une quantité positive, ou

en remplaçant a et S par leurs valeurs# qu’on ait

[m ( i — n ) (a* -f- ôM) -f- n (1 — >tÜ) (a*+ <?’)]*

— *4mn(ï — m) (» — n)a*{a‘ -f- i* H- c*)>i.

Or on peut mettre cette expression sous cette forme

[(m — n)a'~ f- ( 1 — ri)mb * — ( 1 — m)nc*\*

+ 4C1 — n')mnb'6,t .... '

‘ et cette •■fonction sera évidemment positive, si. l’on' suppose que les deux quantités 1 - — m et 1 — n sont de même signe c’est-à-dire si Taxe 2J1 est le plus petit ou le plus grand des trois axes de l’ellipsoïde. Pour donner de l’application de ces formules un exemple très simple, supposons le point attire' placé à la surface extérieure de l’ellipsoïde et à l’extrémité de l’axe h . On aura, dans ce cas, a = A, c = o et b = o; d’où l’on- conclura

mn

ce qni donne i-J- etu* -f- Su4 = ^1 *+■““ “*)

en faisant donc/) = et q-=l—-£ ,

et f= o dans les expressions de X, puisque l’attraction est tout entière dirigée dans 'le' sens de l’axe A,

on aura

Vmn^ ^ / V/n+(i~ n)u'\/ i-m+ÿ m+(l-myu^ \/ \-n \ , c

- *ymri

arc tang = -r ■ y " 1 > r

|/ ( i -1— ni) (l<— rn) 8 yn + ir-njaVi m+ ’

La première formule s’emploiera quand les deux quantités m et n seront toutes deux plus grandes ou plus petites que 1 unité > la seconde , quand l’unë sera plus grande et l’autre plus petite que l’unité.

• Enfin , si l’on veut avoir l’attraction de l’ellipsoïde entier sur le point placé à sa surface à l'extrémité de 1 axe h , il faudra étendre les intégrales précédentes depuis u — o jusqu’à asV.' . ..

. Ce cas d’inlégrabilité des formules de l’attraction des ellipsoïdes .hétérogènes, qui a été indiqué pour la première fois par M. Jacobi , est remarquable en ce que, quoique la loi de la densité qu’il suppose au sphéroïde, rende cette densité infinie au centre, les attractions A, B, C, que le sphéroïde exerce parallèlement à ses axes de figure , sont cependant des quantités finies. On prouve aisément encore que l’attraction sur un point intérieur est indépendante de sa distance au centre de l’ellipsoïde , et ne varie qu’avec la direction du rayon sur lequel ce point est 'situé. > • ~ ■' ■ -