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roi

rit

DU SYSTÈME DU MONDE. 3j

autre manière , et comme cette question n’a pas une application directe au système du monde, on peut, pour la simplifier, admettre toute hypothèse qui la rendra plus facile à résoudre. Ce qui se présente naturellement alors , est de supposer que l’inclinaison de l’équateur à l’écliptique est constamment très petite , ce qui permet de faire usage de la transformation que nous avons employée n° 46, liv. IV dans la théorie de la tune, pour ramener les équations différentielles du problème à la forme d’équations linéaires, qui peuvent toujours s’intégrer aisément par les méthodes connues, soit rigoureusement, soit du moins par des approxima- 60ns successives.

Supposant donc B un- très petit angle , dont nous négligerons le carré , et faisons

s = tang ô sin.p , #' — tang 9 cos ç ; (3)

en différentiaut ces valeurs et substituant pour dô et dp leurs valeurs tirées des équations (2) , on aura

dl — 1, Yt ~ - " - P- (4)

Nous ne considérerons, dans ce qui va suivre, quç l’action du Soleil sur la Terre, et nous ferons abstraction dos variations de l’écliptique vraie par rapport à l’écliptique fixe, ce qui permettra de supposer Z = 0 dans les formules précé dentes. Si l’on nomme u la longitude du Soleil comptée de l’équinoxe mobile , on aura d’ailleurs ,

X = P cos v , Y = r sin e.

Les valeurs de P et P' deviendront ainsi

P = P1 sin fl sinV, P7 = r“ sin 9 sin v cos v.

Cela posé, si l’on différence une seconde fois les valeurs de s et s', qu’on substitue pour ^ et ^ leurs valeurs don- ToME II. *

liées par les équations (2) , on trouvera , n° 46 , livre IV,

ds' . /C

ds /A-4-B— C\ ds' /C — AN /C — A\

it ~ (— r -) " s? +(—)"•'=- ?-• (—)

X [/sin (v — <f) -f- s cos (i» — {>)] cos (y — f) ,

S+(°-ïV~

X [/sia (t> — ç>) -f-scos(t»— ^)] sin(y — $>).

On peut, pour simplifier , faire abstraction des inégalités du mouvement du Soleil. L'angle v — 4' étant sa longitude comptée à partir d’une équinoxe fixe, et mt son moyen mouvement, si Ton suppose que le Soleil soit dans cet e'quinoxe à l’instant où Ton compte t~ o , on aura

v = mt + 4/.

Nous supposerons le sphéroïde terrestre de révolution autour de son axe de rotation, ce qui donne A = B; dans ce cas , le mouvement de rotation est uniforme , et comme ;• représente la vitesse de rotation , on a rigoureusement r—n; la première des équations (J) donnera donc, aux ■ quantités près de Tordre que nous négligeons ,

<p = nt + 4.. (6)

En faisant, de plus, pour simplifier les forpiules,

les deux équations (3) deviendront

d's / 2 X ds' / a , \

£= — et’m’ [r cos 2(m — n)t -f- s sin z(m — ri)t ] , d s'. . / 3 . N ds

«*/»’ [./ cos 2 (m — ri)t — s sin2(m — n)/].

Ces équations s'appliqueront au cas général où l'on suppose à la Terre un mouvement uniforme de rotation quelconque autour de son centre ; elles se simplifient dans le cas que nous voulons spécialement examiner, où l’on suppose que la Terre ne tourne pas autour de se3 pôles ; il suffit, en effet, de faire alors n — o, dans les équations précédentes ; mais, pour plus de généralité , nous les considérerons sous cette forme , parce qu’il sera facile de déduire des formules que nous obtiendrons , celles qui, se rapportent au cas particulier où l’on fait abstraction du mouvement de rotation, et que nous pourrons' ainsi comparer immédiatement les résultats relatifs aux deux hypothèses.

4- Si, dans les équations précédentes, on suppose m = n, c’est-à-dire le mouvement de cotation égal au mouvement de révolution , comme cela a lieu dans la théorie de la Lune, elles se réduiront à la forme d’équation? linéaires à coefficiens constans , et par conséquent elles seront toujours intégrables, quelle que soitda valeur de ou le rapport des axes du sphéroïde terrestre; dans tout autre cas, les coefficiens de s et s' dans les seconds membres , seront des fonctions du temps /; mais on pourra ramener l’intégration de ces équations à celle de deux équations linéaires à coefficiens constans , et obtenir ensuite leurs intégrales finies de la manière suivante.

Si l’on fait

s — j' cos (m — n)t — y sin (m — n)t , s' ~ y sin (m — n)t -f- y cos (m — n)l ,

qu’on substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les équations (4) , qu’on égale ensuite séparément à zéro les coefficiens de sin(m — n)t et de cos(m — n)t dans les équations résultantes , on trouvera pour déterminer y et y’ les deux équations suivantes :

dy + [2TO— (1 + **’)n]4r — [m— (i-fi *')n]my= o,

dy' — [am— ( 1 + ^ (i-f- *a>)"]»»y==o-

Ces deux équations linéaires à coefliciens constans s’intégreront par les méthodes ordinaires. -Faisons , pour abréger, j m' = m — (i t’)n; elles deviendront

d'y -f- (m -f- m')dy — mm' y = o,

d'y' — {m 4- m')dy — m(m' — •>.<t'm)y' = o.

Supposons

y = acos (Ai /), y' = a! sin (Ai -j- Z ).

Ces valeurs, substituées dans les équations précédentes, donneront

alO — (m -f- m')ak -f- mm n = o,

a' A’ — (m 4- m')aA -f- mm' a' — 7.0? m'a = o.

De la première de ces (équations on tire

a ~ Jf j mm' ’

et cette valeur, substituée dans la seconde, donne

en résolvant cette équation, on en tirera pour A* deux valeurs , nous désignerons la première par A’ , la seconde par A'1; on aura, conformément à la théorie des équations linéaires ,

y = a cos(Ai + f ) + ^ cos (h't -f- l ) , y’ = a.' sin (Ai + Z) -f- b' sin (A'i -f- l' ) ,

en supposant, pour abréger,

a= A1 -i- mm~ * 6 = yy+yyr ; <4)

d’où Ton conclura

s = [a! sin (ht -\- l) -f- V sin (h't -f- /*)] cos (m — n)t

— [a cos (ht -f- 1) -f- b cos (h't + /')] sin (m — n)t,

s' = [ a ' sin (ht + O + 4' sin (h't + /')] sin (m — n)t

+ [« cos (ht 4- Q 4- 6 cos (fît -f- O] cos (m — «)*»

Ces valeurs de s et s' renferment quatre arbitraires, a, b', l et elles sont donc les intégrales complètes des équations (4).

Quant aux valeurs des quatre constantes a', b', le il', elles se détermineront d'après les conditions iifiliales du mouvement, ou, ce qui revient au même, d’après ta valeurs qu’ont les six variables <p, 4, 0, p, q, r, à uhe époque déterminée , par exemple , à l’instant où l’on compte t = o. Si l’on nomme y l’inclinaison de l’équateur à l’écliptique, et qu’on suppose l’angle 4 compté de l’intersection de ces deux plan» à l’origine du temps t , on aura pour cet instant tp = 4 = o ; nous supposerons, de plus,, que sans l’action des forces perturbatrices , la Terre tournerait rigoureusement autour de son troisième axe principal ; en sorte que les composantes de sa vitesse , par rapport aux deux autres axes , sont nulles au même instant ; ou aura donc ainsi p=zo, q— o, et r=n, et les équations (2) et (3) , donneront ainsi

, ds du'

s = o; r=r, Tt = nx, - = o.

Si l'on suppose 1 = 0 dans les valeurs de s et / et dans leurs différentielles , et qu’on les compare aux précédentes , on trouvera

q sin l -f* b' sin V = o , * a cos / -f" £ cos V ’sst y,

[1 a’h — a(m — n)] cos l 4- [b'h — b (m — n)] cos l' = «y , [ah — a'(m — n)] sin l 4~ \ph' — b‘(m — n)] sin V — o.

Si pour abréger on suppose = k , de ces équations

on tirera

/,' — mk‘ ,

a = W=Yky' b

A — mk . ,, , v

Les valeurs de s et s' deviendront ainsi :

* = (frzrpi - »)<\

‘■=(jrE?lï ”n,‘,‘)ï* »(»-»)|(

+ (jfèrnia,,h‘ «rare r». *•«),«,<— «h J -

Développons ces valeurs. Considérons d’abord le cas où le mouvement de rotation du sphéroïde est supposé anéanti , il faudra dans ce cas faire n = o dans les formules précédentes , qui deviendront ainsi s

/ h'—mk'h , .. - h— mk . , \ \

r=KBT=V *,,n*'-*KlTï J

/h' —mk' , . h — mk ,, ,, \ I

. -(mZ-JTh 1 cos ~ kh-Jh * cos A 0 v !,n ’ V

, /A' — ml' . A — mk . , \ Z1’0 *

s=(w=Th smh‘-wz^rh sm*‘f5mm'>

/A' — mA , , h—mk ,, ,, \ , /

+(?1P=FX AcosAt-^-^AcosA^yeosmt,/ .

En supposant ici ;

f amA 4, amA'

L’équation (a) en y faisant n = o devient

d’où l’on tire .

h*= (1 + dz ■Jama y/i-f- y* (d)

La quantité «2 est de l'ordre de l’aplatisseineut du sphéroïde ; si l’on suppose donc que la figure de la Terre différé peu de celle de la sphère, on pourra regarder «* comme une petite quantité , et développer la valeur de h a par rapport à ses puissances ascendantes. Si dans une première approximation on néglige les puissances supérieures à la seconde, on aura

h* = ( 1 -f- «’)m* dfc lam' ;

d’où l’on tire , en prenant pour h et li les deux racines positives de cette équation ,

et l’on aura généralement, en résolvant par approximation l’équation (d ) ,

q étant égal à l’unité, plus à une fonction de l’ordre «*.

En substituant ces valeurs et celles de k et k' dans les expressions (10) , on trouve , toute réduction faite ,

fuq/i— j«V\ . 3*y ~]

s = — — =— — ) -4- rr- 2 — - cos imt y sin *qmi

«y 1 -f- i *!ff'

-+■ —4— . — y sin 2/71/ cos «0/71/ ,

Ki , .\i->y «y i+*«y ~1

1— -«/y ) - — 2 r-. i-cos 2/77/ ycosaom/

y sin 2/n/ sin »qmt.

Il sera facile , au moyen de ces expressions , d’avoir les valeurs de s et s avec tel degré d’exactitude qu’on voudra ; elles conserveront toujours la même forme , et l’on voit

4o THÉORIE ANALYTIQUE

qu’elles se composeront de deux parties distinctes, l’une dépendante du mouvement du Soleil dans son orbite , et dont la période sera seulement d’une demi-année ou de six mois ; l’autre dépendante de l’angle « mt , qui croît avec une grande lenteur, puisque « est supposé une très petite quantité, et qui fournira par conséquent les inégalités à longues périodes des mouvemens de l’équateur terrestre , les seules qui doivent nous occuper ici. Si pour simplifier les formules, nous supposons qu’on néglige les puissances de « supérieures à la seconde , ce que nous pouvons faire sans nuire à la généralité de la question, puisque ce que nous dirons relativement à cette première approximation pourra, au moyen des valeurs précédentes, s’étendre à toutes les approximations suivantes , en faisant y=o, ou -aura, dans ce cas,

s = «y sm ami -f- — y cos mmt sin 2ml,

s y J y cos ami —y cos ami cos2mt.

Examinons les conséquences de ces expressions relativement aux déplaceinens de l’équateur terrestre.

5. L’équation (6), lorsqu’on suppose n=o, donne = on a donc alors , en vertu des équations (3) ,

s — tang fl sin 4 » s> — tang 6 cos ; ( 1 1 )

d’où l’on tire • •

tang 4< = tang 0 = \/ s% q- s*.

En substituant donc pour s et s' leurs valeurs , on aura

Si l’on lait abstraction des inégalités périodiques, qu’on

« sin amt -4- -y cos ami sin a ml

(. a‘\ COS amt u*

1~r'~7j cos amt cos amt

CÇ

nomme 41' ce que devient 4 dans ce cas , on aura simplement

tang 4 == — 1 » tang *mt , •

et 4r sera la longitude de l’équinoxe moyen comptée d’un équinoxe fixe; d’où l’on conclura, par les formules connues

taug (4 — 40 =

-y cos* amt sin 2 mt

cos* mmt + j [i — (i-f- cos %mt) cos* «mi\‘

ou bien aux quantités près que nous négligeons

. tang (4 — 40 = ~7 s‘n 2mt.

L’angle 4 — "V demeurera donc toujours très petit, c’està-dire que l’équinoxe vrai s’écartera toujours très peu de l’équinoxe moyen , et ne fera autour de ce point que de légères oscillations, dont la durée sera de trois mois à peu près,

Considérons donc uniquement les variations de l’équinoxe moyen ; l’équation

tang 4' = — \ « tang*m<

montre que l’angle 4' croit toujours dans le même sens à mesure que l’angle mt augmente depuis zéro jusqu’à 3t>o°. Le mouvement des équinoxes sera donc révolutif; et comme l’angle 4 cst compté , par hypothèse, en sens fnverse du mouvement du Soleil , le mouvement des équinoxes sera direct.

Quant au temps qu’emploie le même équinoxe à revenir à la même position , ce sera celui qui correspond à une augmen-

talion de 36o° de l’angle umi ; il sera donc égal à — — - , et

comme est la durée de l’année sidérale, il est clair que -

et dont l’amplitude ne surpassera pas

4a THÉORIE ANALYTIQUE

exprimera le nombre d’années que la ligne des équinoxes emploie à faire une révolution entière.

Supposons, pour fixer les idées, que la Terre soit un ellipsoïde homogène ; si l’on prend le demi-axe des pôles pour unité, et qu*on représente par i-f- < le demi-axe de l’équateur, en sorte que isoit l’aplatissement du sphéroïde, d’aprè6 les valeurs connues des moinens d’inertie de l’ellipsoïde , on aura

* 1VÏ

A =gM [!+(,+ ,)*], 0=^(1 + .)*,

M étant la masse du sphéroïde terrestre. En négligeant donc le carré de l’aplatissement t , on aura

Si l’on suppose l’aplatissement de , ce qui est à très peu prjjS celui de la Terre, on trouvera - = 14,24 î dans ce

cas, la durée d’une révolution des équinoxes serait donc <? environ quatorze années. Elle serait plus courte , et ne surpasserait guère douze années, si l’on supposait l’aplatissement

de la Terre de , comme dans le cas de l’homogénéité de

cette planète.

Considérons maintenant l’expression de l’inclinaison de l’équateur sur l’écliptique fixe. Si l’on ajoute les carrés des valeurs de s et s't qn négligeant les termes simplement périodiques , et les puissances de « supérieures à la seconde , on aura

^I~f- y J C«S 2 «mtj

La valeur de l’angle fl sera donc toujours très petite et du même ordre que l’inclinaison initiale y ; l’équateur, par conséquent , s’écartera toujours très peu du plan de d’écliptique.

On a, il’aiileurs, à très peu près,

0 = y COS 1*mt.

A l'origine du mouvement on a t = o et S — y; l’angle < ira ensuite en diminuant jusqu’à ce qu’on ait *mt = 90%

ce qüi donne t = 2^ , cos 2 xmt = — 1 et ( = — y ; l’angle fl

augmente ensuite de la même manière qu’il a diminué, jusqu’à l’époque correspondante à *mt = i8o°, où il reprend sa première valeur. Le plan de l’équateur forme ainsi un pendule qui oscille de part et d'autre du plan de l’écliptique fixe; son plus grand écart est égal à y et. la durée d’une double oscillation, c’est-à-dire l’intervalle entre les retours à la même

position sera — — . Nous avons vu que pendant ce meme

intervalle la ligne des équinoxes parcourait la circonférence entière d’un mouvement direct : l’équateur terrestre , après chaque double oscillation, se retrouvera donc exactement, par rapport à l’écliptique , dans la même position qu’à l’origine du mouvement , et recommencera dans les mêmes conditions les oscillations successives. On voit encore que la durée

de l'oscillation entière est indépendante de l’angle y,

c’est-à-dire de l’écartement primitif de l'équateur et de l'écliptique, pourvu que cet angle soit supposé très petit; elle 11e dépend que de l’aplatissement du sphéroïde : il en est de même de la précession. C’est ainsi que, dans le mouvement du pendule, la durée des petites oscillations est indépendante de leur amplitude , et que par suite ces oscillations sont isochrones.

6. Nous avons supposé l'angle 4 compté de l’équinoxe correspondant au temps t ~ o , et comme nous avons représenté par mt -}- 4. la longitude du Soleil correspondante au temps t, il en résulte que nous avons supposé qû’à l’origine du mouvement, le Soleil était dans la ligne des équinoxes. Comme on pourrait craindre que ces diverses hypothèses n’altérassent

la généralité des résultats précédera , examinons le cas où le Solêil se trouverait à une distance quelconque de l'équinoxe à l’origihe du mouvement. En comptant les longitudes sur L’écliptique fixe, à partir de la droite menée du Soleil à la Terre à l’instant où t r= o,f ibest clair qu’il suffira d’augmenter dans les formules précédentes l’angle 4- de la constante C, qui représentera l’angle compris entre la droite fixe et la ligne des équinoxes à l’origine du mouvement ; on aura ainsi

r = â siu (4 +£)> s' = * cos (4 ■+* fi)*

Si l’on développe ces deux expressions, et que pour I sin 4 et 6 cos 4, on substitue leurs valeurs précédentes , en n’ayant égard qu’aux inégalités séculaires , on aura

s = y sin C cos ami — t ay cosC tin amt, s’ — y cos C cos *mt — i «y sin C sin a mt .

Ces valeurs, substituées dans les équations (i i) , donnent sin C cos ami — 4 * cos C sin amt

tang 4 =

cos C cos amt — 4 a sin C sin amt

Cette expression , en la différentiant et en observant qu’on a

cos* 4 = — i — r = —

donnera

^ - «’m* y-r (sin*C — cos* C).

dt i tf*w ’

Cette équation montre que le mouvement des équinoxes sera révolulif et non simplement oscillatoire, puisque la variation <~ ne changeant pas de signe, l’angle 4 augmente

toujours dans le même sens. Cet angle étant compté d'ailleurs, n° 2 , en sens inverse du mouvement du Soleil, il en résulte que le mouvement des équinoxes sera rétrograde si l’on a sin £ > cos C ; il sera direct dans le cas contraire. Ainsi donc, le mouvement des équinoxes sera direct, c’est-à-dire

qu’il aura lieu suivant l’ordre des signes, tant que la valeur de C se trouvera comprise entre £ = o et G = 45° ; il sera rétrograde pour les valeurs comprises entre î*= 45° et£=go°. En d’autres termes, le mouvement est direct ou rétrograde, selon qu’à l’origine du mouvement la distance du Soleil à l’équinoxe moyen était moindre ou plus grande que 45°. Le cas de £ = o què nous venons de traiter se trouvait compris dans la première supposition.

Le cas où l’on suppose £=45° demande une attention particulière. Les formules précédentes donneraient, dans ce

cas, ^ = o et tang4 = ^> eu«orte que l’analyse dont nous

avons fait usage n’y serait pas applicable. Il faut alors remonter aux valeurs de s et de s', et les traiter d’une manière particulière. Mais comme cette digression nous mènerait trop loin , nous renverrons sur ce point au Mémoire de M. Poisson , où ce cas singulier a été examiné avec tout le soin qu’il exige (*). *

La vitesse ~ du mouvement moyen des équinoxes n’est

pas constante, comme on-le voit par l’expression précédente ; elle est en raison inverse du carré de l’inclinaison fl de l’équateur à l’écliptique , en sorte que ses maxima répondent aux minima de cette inclinaison , et réciproquement. Quant, à la durée de la révolution entière des équinoxes, il est clair que l’angle 4 augmentant dë 36o° quand mmt croît d’une circon-

férence , elle sera de , c’est-à-dire la même que dans le

mm 1

cas que nous avons précédemment examiné. La distance primitive C du Soleil au nœud ascendant de l’équateur n’influe donc pas sur la durée de la révolution des points équinoxiaux, qui est également indépendante de l’inclinaison mutuelle de ces deux plans , quand ou la suppose très petite.

(*) Conn. tics Tcms pour 1837.

Considérons maintenant l’expression de l’inclinaison. Si dans l’équation 6“ = s* -|- a'*, on substitue pour s et s' leurs valeurs, on trouvera.

i y’ (i+ i «*) + ^ y* (i — {-«*) cos *«mt — J *y’ sin 7.C sin a «.ml.

Si dans cette expression on néglige d’pbord les quantités de l’ordre *\ on aura

— i -y* -f- i y1 cos 2 *mt — i «y1 sin aC sin ikttH.

Ou voit qu’alors les marima de la valeur de t correspondent à t = y , et les minima à 6 = o ; la valeur de 9 ne pouvant devenir négative , le plan de l’équateur oscille toujours du même côté du plan de l’écliptique fixe, entre les deux limites d’inclinaison zéro et y. Si l’on a égard dans l’expression de eu aux termes de Vordre «% on trouve alors pour la limite inférieure dbs vtdeurs de 9 , 9 = -j «y ; le plan de l’équateur n’atteint donc jamais dans ce cas celui de l’écliptique , et ses oscillations se trouvent comprises entre les limites d’inclinaison y et ^ «y.

■j. Pour comparer les résultats précédens à ceux qui ont lieu dans le cas où Ton suppose le sphéroïde animé d’un mouvement de rotation très rapide relativement au mouvement de l’astre L qui agit sur lui , reprenons les formules générales (8), et développons-les dans cette hypothèse. En faisant ici

L’équation (a) devient

— [m* -j- (m — n)* — 2 in ( m — n) -f-

-f- ma (m — n) [m — n — 2 in ( m — n ) -J- 3zm] =s o.

Cette équation , en la résolvante t négligeant les termes dépendans du carré de i , donnera

b“ = [»»’•+■ (m — - n) ’ — 2 in (m — n) -f- 3/m'] îh i [m4 — (m— n)*

d’où l’on tire

A. = n>. + !^, V. - (~ - (w w) (3 /ma -f- 9/w4)

On aura donc, en extrayant les racines,

Si Ton substitue ces valeurs dans les expressions de s et $'(8), on aura , en rejetant les termes simplement périodiques,

s='-(a'+a) sirt (n + “"(*' + *) («" ~h ~ )* ,

s,= ^(a'+ a) cos + ^ (ù'4-ù) cos ^/n -f-

Déterminons les quatre constantes a, a', b , 6', qui entrent dans ces équations.

Si dans les formules f6) on substitue pour h, h', leurs

i • i 3/ma

valeurs, en supprimant le terme — — -, parce qu il n’en

résulterait , dans les valeurs de s et /, que des quantités de Tordre de celles que nous négligeons , ou aura

a (2m4 — n — in)m

a' (2m4 — n — in)m * ’

, j b (2m — n — in) (m — n — in)

b' (m — n — in)x -j- m (m — n — in) 1 '

En substituant ces valeurs à la place de k et k' dans les équations (c) , elles deviennent

* = b ~ v~nr~h v"

On aura donc, eir vertu des valeurs de h et h',

Au moyen de ces valeurs, les expressions précédentes de s et / se réduisent aux suivantes

/ 3mr\ , f 3 im%\

j = ysin(»+— y, s = ycos(n-f- — y.

On a , par le n° 3 , •

s = tang S si n p, s — tan g 6 cos p ,

et par suite» tang p = - , et en différentiant cette équation,

on trouve

dp =

s'ds — • sds' s% s* *

Les valeurs précédentes de s et /, en les différentiant , donnent ,

En substituant ces valeurs , ainsi que celles de s et s', dans la valeur de dip , et en observant que s’ + /* x= y*, on aura

Uni1 zn '

mais , en vertu de l’équation (6) , on a

On aura donc enfin

dt ^ dt

dt a n

Si à la place de i on substitue sa valeur . ou, ce qui re-

vient au même, ^-^-^, la différence ^ — -AÜ entre ces

deux quantités étant de l’ordre de celles que nous négligeons, on aura ■ - , • - <

Zm*dt /G — An

formule qui coïncide avec celle de la précession des équinoxes, donnée n° 25, liv. IV, lorsqu’on suppose la Terre un sphéroïde de révolution , et qu’on fait abstraction des inégalités qui résultent des déplacemens séculaires de l'écliptique. Nous aurions donc pu déduire immédiatement la valeur précédente de son expression générale, n? cité, -où de 1 expression particulière a laquelle nous sommes parvenus par une autre voie , n° ; mais cette reproduction des mêmes formules, par des procédés différens, n’est jamais inutile; elle donne plus de clarté aux premiers aperçus, et montre dans tout son jour l’admirable fécondité des ressources de l’analyse. , • .

Si maintenant on suppose ici ^-==3^, en observant , m / 1

quon a ^ 3<î5> 25638’ et ^ue 1 ^es*8nant bn nombre

quelconque d’années juliennes , on a m =. 1295977", i0; la formule précédente, en y substituantes valeurs, donnera

Ainsi, dans ce cas, la durée d’une révolution entière des points équinoxiaux , serait de plus de 74926 années , ce qui diffère étrangement des 14 années que cette révolution employait à s’accomplir dans le cas que nous avons d’abord examiné, où le sphéroïde n’a point de mouvement de rotation . •

Si l’on supposait m = n, c’est-à-dire la vitesse du mou- Toue II. /

5o THÉORIE ANALYTIQUE

veinent de rotation du sphéroïde , égale à celle du mouvement de l’astre L dans son orbite , comme cela a lieu pour la Lune, on trouverait 4 => 63g4",6a t , et la durée d’une révolution entière de la ligne des équinoxes, serait alors de 202 ans i , a peu près,

On voit donc, par ces deux exemples, comment l’intégration, en introduisant dans l’expression de 4* le diviseur 2 n, qui devient très grand en vertu de la rapidité du mouvement de rotatioff, et qui n’existait pas dans le premier cas, rend alors très petits les termes qui en sont affectés , et comment le mouvement de rotation de la Terre change ainsi d’une manière si extraordinaire la valeur de la pi écession , qui aurait lieu si la Terre était immobile. Mais ce sont là de ces secrets que l’analyse seule peut nous révéler, et que la faiblesse de notre esprit ne nous permettrait pas de pénétrer sans son puissant secours.

Addition à la page 263, ligne 12, II* volume.

36. Considérons maintenant les parties de 8 et de 4 , que nous avons négligées dans une première approximation.

' Si l’on substitue dans les formules (m) , n* 24 , les valeurs

complètes de ^ et ^4 » t »° *5, en n’ayant égard qu’au»

termes dont nous avions d’abord fait abstraction, et en considérant à la fois l’action du Soleil et de la Lune , on aura

ain 4 [*in a (mt •+• I 4- 4)