Tome

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formules du mouvement troublé ne contiendront

donc en définitive, comme celles du mouvement elliptique, que six constantes arbitraires, et par là disparaîtra ce que pouvait avoir d’étrange l’introduction des six nouvelles constantes a/t e , a>,, g,, p/t q/t dans une question qui, par sa nature, n’en comportait que six.

Quant à la détermination de ces arbitraires, elle se fera très simplement de la manière suivante: supposons que l’on veuille connaître les perturbations que subit la planète m pendant un intervalle de temps donné, on déterminera les constantes a , e, etc. , d’après sa position , sa vitesse et sa direction à l’instant que l’on a choisi pour époque, et les constantes at, e/f etc., par les équations

a, H- Sa = o , e, + Se = o , etc. ,

dans lesquelles on substituera pour Sa, S~c , etc., leurs valeurs relatives au même instant.

L’effet des forces perturbatrices, pendant la période qucl’on considère sur chacun desélémens elliptiques, sera alors exprimé, tout entier, par les quantités a^Sa, e7-f- Se, etc., qui ne contiendront plus rien d’arbitraire. Ce procédé est le même, comme nous le verrons, que celui que l’on suit dans la théorie des comètes, où l’on est forcé de calculer par des quadratures les variations que subit chaque élément de l’orbite pendant l'intervalle de temps qui s’écoule entre deux retours successifs de l’astre à son périhélie.

Eu réunissant les valeurs de Sa, SÇ , Se, St, Sot, Sp , Sq déterminées par les formules précédentes, à

DU SYSTÈME DU MOiNDU. 471

celles qui dérivent des équations différentielles (1 1), n° 46, et que nous avons considérées avec étendue dans le chapitre précédent, on aura les deux parties dontse composent les variations des élémens de l’orbite elliptique, résultant de l’action des forces perturbatrices ; l’une de ces parties dépendant', n° 47» de la configuration mutuelle des corps m , //»', etc., et l’autre indépendante de cette configuration.

Variations périodiques de rayon vecteur , de la longitude et de la latitude.

83. La position d’une planète dans l’espace est fixée lorsqu’on connaît son rayon vecteur projeté sur un plan fixe, sa longitude vraie ou l’angle que fait la projection de ce rayon avec une ligne fixe, et sa latitude, ou l’angle ^ue forme le rayon vecteur de l’orbite vraie avec celui de l’orbite projetée. C’est donc à la détermination de ces trois élémens que doivent finalement aboutir toutes les recherches qui ont pour objet les mouvemens de translation des corps célestes. Nous avons donné dans le n° 24 les expressions du rayon vecteur, de la longitude vraie, et de latitude dans l’orbite elliptique, en séries procédant suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons; il nous suffira donc de substituer à la place des élétnens elliptiques dans ces formules, ces élémens corrigés au moyen de leurs variations périodiques et séculaires que nous venons de déterminer, pour avoir la vraie valeur du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude dans l’orbite

troublée. Or, on voit par les formules du n° 25 que la valeur du rayon vecteur et de la longitude dans l’orbite projetée, ne diffère de celle du rayon vecteur et de la longitude dans l’orbite vraie, qu’aux quantités près du second ordre relativement aux inclinaisons, quantités très petites qui ne produisent que des variations insensibles, lorsqu’on prend, comme nous le ferons , pour plan fixe , celui de l’orbite de la planète à une époque donnée. Il en est de même des termes de l’expression de la latitude qui sODt de l'ordre du produit des excentricités par les inclinaisons. Il résulte de ces observations que , dans la recherche des variations dta rayon vecteur et de la longitude, on pourra faire abstraction des inclinaisons des orbites, et dans celle des variations de la latitude faire abstraction de leurs excentricités, ou, ce qui revient au même , regarder dans le premier cas les orbites comme étant toutes dans le même plan , et dans le second, les regarder comme circulaires, ce qui facilitera le calcul de leurs perturbations.

Reprenons les valeurs du rayon vecteur et de la longitude développées dans le n° 25 ; on a généralement par ces formules ,‘-yj .-.jjHM

r= fonc. (a, Ç, e, e, co), v= fonc. (£, e , e , &>).

Si à la place de a, Ç , e, e, ai on substitue dans ces équations, leurs valeurs corrigées , a j'a , Ç -f- JÇ ,

, e-| -efe, e j' e , a Sco, en désignant par la caractéristique cf les variations périodiques dépendantes de la première puissance des masses, on aura, en ne considérant que les termes de cet ordre.

Jigitiz'êcTby

Pour la variation du rayon vecteur,

<rr= Ta • Sa + 75 * ‘k + S * *t+zl * ^

Pour la variation de la longitude,

Il ne s’agira plus maintenant que de substituer dans ces deux expressions, à la place des variations d'à, J Ç, de, de et dco, leurs valeurs développées précédemment, pour avoir celles du rayon vecteur et de la longitude vraie, exactes aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Mais, au lieu d’effectuer ces substitutions dans l’expression de JV, il sera plus commode de faire dépendre la détermination des inégalités de la longitude de celles du rayou vecteur, au moyen de l’équation (Ji) n° 20, que nous avons déjà employée dans un cas analogue n° i/\. En effet, cette équation donne pour le cas de l’ellipse invariable