dt

Cette équation étant une différentielle du premier ordre, a encore lieu dans l’ellipse troublée, et ne doit pas changer de forme lorsque les élémens de l’orbite varient ; on aura donc en la différenciant par rapport à la caractéristique d

eie

.dl-D.. y/ a.( i

d’où Ion tire, en intégrant et négligeant le carré des forces perturbatrices,

J'v = ~.J'j'a.dv — — a (a)

On peut donner à cette équation une forme plus simple encore. En effet, Jetant le demi-paramètre de l’orbite, on a k— \Ja . ( i — e'), d’où en différenciant on tire

ik

Sa

-,.C Te.

On aura donc ainsi

formule très commode qui donnera immédiatement les perturbations de la planète en longitude lorsque celles du rayon vecteur seront connues.

84. Occupons-nous donc uniquement de déterminer la valeur de Sr. Nous avons trouvé n* 24, en négligeant les cubes et les puissances supérieures des excentricités.

. cos(ni-f- • — «) — - .r’.cos i(nt -f 1

En différenciant par rapport à la caractéristique S cette valeur , on aura

/r=[f«-aJe.co9(rai-f

— 3^JVi.cos(n/-p • — u ) -f- 2 aei'e-^-ae. f«).sin (ut- f- ■ — «).

Si dans cette expression on substitue, pour Sa, Se, cScù , SC, et Js leurs valeurs, et qu’on n’ait égard qu’aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités, on trouvera

Diqiti

-r=— — f AO4.--- ■* ■— .MC°)~].Co8.i(nt'-nt+.,>i) a 2 Lu —71 i{n -7i)-f-J* .J

i(/i -n) 4 »-» 2 i(n-n)* Hn-nJ da

X cos. [i(n'< — ni-f- «' — «) -f-7»£+« — «]

-77* W'.f — .MCO+ 1. , - -.NO--. — L-.NC0-1 '

Lh71 2 l(n -7l)-f-27l 2 2 7(/I-7i;

X cos . — Tït -f- i l) 71/ -f- 1 — </] .

Si l’on remplace dans cette expression Mw, Mc ), Nto), N(0, NC3), N(4), Nc-y, par leurs valeurs , on aura , après les réductions convenables ,

— = — . 2 . CO . cos . ifn’t — nt + t — «) a a

+ 77»'.*. 2. DO. cos. [»(7»'t— Ttt -f % — «)-4-nt +« — i ' +77»'.«'.ï.Ec‘5.cos.[[»(7i'£ — 7it+i'— «) + ni + t — •'].)

En faisant pour abréger

n‘ r in . JA o-i

CO=— — r,-y —, r;. j.aAO+o*— 7 —

7la— »*.(7t Tl) L" TT da J

n’ t 3 71 »’.(n'-7i).[i.(7i'-7i)-nl-3n*

i.(n'— 7l)+7»]’— 71*" J Tl'— 71* ‘ n * — i‘ . (/»' 7l)*

i*.(7l'-7t)+7» ,JAC‘-0 , 3 J»A«-0-[

i.(7»'- 7i)+n’n da ’ da?

DO

Le signe intégral 2 devant s'étendre dans l’expression de J V à toutes les valeurs positives et négatives de t, la seule valeur 7 = 0 étant exceptée , parce que nous examinerons ce cas séparément.

47G théorie analytique

Après avoir ainsi déterminé la valeur de JV , on aura celle de JV au moyen de la formule (a'). En faisant pour abréger

F<0= ~tîÎ — -j.aAtO +■

[. „ -.[i.(n'— n)— n]+3ra*

L(n'-n)-{-n ( n'-n n* — i‘.{n' — iïÿ

X [^ cACi)+a,^-)] “ 2DC°} *

rfAC'-O

— (/-i)(2i-l).n.oAO~0-(i-i).n.av — -y —

au

-aE^

on trouvera pour JV la formule suivante

Jy = — . £ . F^O . sin . i(nt — ni •+- «' — «) )

+ ï .GW , jin . ['(n’t” ni-}- t — «) + nt+ i — «] f

•f mV.I.HW.tin. [i(n,t — nl-f- 1’ — i)-f- nt + « — « ]• 3

Le signe 2 devant s’étendre comme précédemment à toutes les valeurs entières positives et négatives de i , la valeur i = o exceptée.

11 est bon de remarquer que les expressions de — et

de JV deviennent convergentes dans le cas même où la série représentée par 2.Aw.cos i(n'l — nt- f-s' — e l’est peu, par les diviseurs quelles acquièrent. Cette observation est surtout importante pour la détermination des perturbations des planètes dont les rapports des distances au Soleil diffèrent peu de l’unité.

' 85. Déterminons maintenanten particulier les termes des valeurs de Sr et de S v qui naissent de la supposition de t=o. Reprenons l’équation («), et ne considérons d’abord que la partie non périodique de son second membre. Si l’on fait i=o dans la valeur de la fonction R n° 81 , en ayant soin de rejeter, comme nous l’avons dit, la partie constante de cette valeur, on verra aisément que la seule partie semblable qui

en résulte dans S r est celle-ci : — (ja La cons-

tante jointe à la valeur de l’intégrale Sa introduira un nouveau terme constant dans cette même expression , en déterminant cette arbitraire d’après les principesdun°82; et supposant, afin de fixer les idées, que pour l’époque où commence le temps, c’est-à-dire pour l’origine de la période pour laquelle on veut calculer les perturbations causées par m1 sur le mouvement de m , on choisisse l’instant d’une conjonction de ces deux planètes, ce qui donne alors

n't — nt-\- — 6=o,

on trouvera

Sa = — a m'a% . -r— — . 2 . A(0, n — n

le signe intégrale 2 s’étendant à toutes les valeurs positives de i depuis i— i jusqu’à i = oo.

On aura donc, en vertu des deux termes précédons.

Si l’on substitue cette valeur et celle de Sa dans l’é-

quation (a), on en tire

j'v = m'a . . 2 . Aw — a . J * nt.

En joignant à ces valeurs les parties non périodiques de r et de v, relatives au mouvement elliptique, on aura pour la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude dans l’orbite troublée,

-f- ty = a — a m'a' . ~/^n ■ 2 ■ AW •+• ^ ■ m'a3 . ^ >

+ ïv—nt-^-t + m'a . n ■ 2.AW — a ■ Ç nt.

Telles sont les expressions de la distance et de la longitude moyennes qui résultent directement de nos formules ; mais on peut leur donner une forme plus simple qu’il est bon de connaître. En effet, d’après les suppositions précédentes , les constantes a, n, e, e, a sont celles qui répondent à l’époque où l’on compte t— o, et qui seraient les élémcns de l’orbe elliptique décrit par la planète m , si à cet instant les forces perturbatrices cessaient leur action; supposons que l’on désigne par ntt le moyen mouvement de m, tel qu’il résulte de l’observaliou , d'après la seconde des équations (o), on aura

Soit a/ , la valeur du demi-grand axe correspondant au moyen mouvement nt, et qui se déduit de lcquatiou

DU SYSTÈME DU MONDE. /[■jg

si l’on substitue dans celte équation /t+ra, — n et a-\-at — a à la place de nt, et de at, en négligeant les carrés des quantités très petites nl — n et at — a , on en conclura

d’où en substituant pour n , Sa valeur , on tire

im'a'

Les deux équations (o) deviendront donc, en observant qu’on peut remplacer a par at dans les termes multipliés par m! ,

r + JY= a— g . m'a* . {j^)î v-|-JV=n,H-e. ( d )

Ces valeurs de la distance et de la longitude moyenne dans l’orbite troublée ne sont qu’une transformation de celles que donnent les équations (o) ; mais l’introduction des constantes af et np à la place des constantes1 a et n, fait que la partie JV de la longitude vraie ne contient plus aucun terme proportionnel au temps , en sorte que le moyen mouvement de la planète troublée est contenu tout entier dans la partie v de cette longitude, ce qui est un avantage.

Pour déterminer les termes de la valeur de J'r qui

dépendent de la première puissance des excentricités,

fa ^ . .