ma,' .— 4-— r •Nt*).sin.[i(n'/-n<4",,“,)-*+* J

Enfin, la troisième formule du n® 45 donnera, pour la variation du demi-paramètre k ,

tk = — — . -7-^ — . . cos . » . (rc't-n* + 1'-«)

— — .e. — .MW.co».[»(n'<-/i<+i'-i)+7»*+«-«]

2 ïQ/l —

— — . e'. .. /■ * — . MU).cos.[i(n,<-n<+«'-«) + nt

11 nous reste à déterminer les variations des quantités p et q. Nous avons trouvé , n° 53 , z= — px-\-qy ; si l’on suppose donc la fonction R développée par rapport à s, on aura

rfR /rfR\ dz /dR\

dp \dz)'dp ;r' \dz)’

dR /c/R\ dz /aTtN

dq ~~\dz)‘dq \dz)'

Prenons pour plan des xy le plan de l’orbite de m à une époque déterminée j lïnclinaison de son orbite mobile sur ce plan fixe , ainsi que l’ordonnée z, seront de l’ordre des forces perturbatrices : on

dIX

pourra donc supposer z = o dans la différence -j- ,

puisqu’on néglige le carré de ces forces. L’expression de R du n® 48 donne de cette manière,

dR fil % fit Z n.l. */#. . f 1 \

■^=-^3 — . 2 . Bw . cos . i(nt — nt-\-t — «),

la valeur de i s’étendant à tous les nombres positifs et négatifs, depuis 1=1 jusqu’à l’infini.

Nommons y la tangente de l’inclinaison de l’or-

hite de m' sur le plan fixe , n la longitude de son nœud ascendant, et désignons, comme dans le n“ 53, par r1, la projection du rayon vecteur de m' sur ce même plan, et par v', la longitude de r', comptée à partir d’une ligne fixe : on aura

z' — r', .y . sin (•>', — n).

Substituons pour r', et v', leurs valeurs numéro cité , et négligeons les produits des excentricités par les inclinaisons, nous aurons

*' = a! . y . sin (n'i e' — n) ;

et la valeur de ^ deviendra par conséquent

-J- = — “ 7^ • y . 31D * (il t + i — n)

-J- .a' . . si n . [i (n'f — nt + 1 — i) -f - af-f- • — rtj ,

la valeur de i devant s’étendre ici , comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres positifs et négatifs , la seule valeur i = o exceptée.

Si dans les formules (g) et (io) du n* 44 on substitue pour et ~ leurs valeurs ainsi déterminées, et que l’on néglige le produit des excentricités par les inclinaisons, ce qui permet de supposer as=a.cos(nl+€), y=a.sin(n/-f-«) dans ces valeurs, on aura , pour la variation de p ,

<ï'/>=— ^sin.^'t-nZ+i'-t-in)-^— - -sw. (nt+nt+i -j- i-ri)^J

+ ^-.a’n'n.2.B(,— -.sin.ri(n'/ — nt-f- 1 — i) — ni

-.V=4+^-sin [‘(",‘-"‘+«'-0+^+2--n] J -,

et pour la variation de q ,

iî=^r^TT-y- F ^r-cos.(n'/+«/+.'+«-n)+-7i--.cos. (n'z-n<+ i'-<-n)~J 2 a \n -j-n n — n |

—’—.a'an.y.. tE1- D.y. f t — ; .cos.rj(n'Z — nt- f-t' — «) — n]

4 l*Cn — n )

j(ra — n)-f-2n

cos.[t(/i f — nZ-pi' — «)-f-2n(-f-2« — II] j .

82. Nous n’avons pas ajouté de constantes aux valeurs de <Pa, J'e, . Jo>, d e, S'p, £q, parce que leur considération était inutile à l’objet que nous nous proposons, et que l’on peut d’ailleurs les supposer comprises dans les valeurs des élémem a, e, u> , e, p, q du mouvement elliptique , qui deviendront ainsi ,

« + «;» e+e,> “ + »,* «+«,» P+P't 7 + 7/» cn représentant par af, et, a,, £(, pt, q{ de très petites quantités de l’ordre des forces perturbatrices. Les élémens de l’orbite troublée seront donc

a ~1— of — f* Sa, e — f -6t-\-Se, a> -4- -f- cfai ,

£ -f-€/ ~\~Si , p -f- pt -j- Sp, q + q, + Sq.

Comme at, et, etc., ainsi que d'n, cfe, etc., sont de l’ordre m!, on pourra substituer dans ces dernières quantités a-\-at, e etc., à la place de a, e, etc. ; elles deviendront par conséquent des fonctions du temps et des six constantes a-\-nn etc. Les