O THÉORIE ANALYTIQUE
et qui résultent de l’hypothèse i — o , il snflira de calculer les valeurs correspondantes de JVi, cTç, etc. , avant de les substituer dans l’équation (a); en sc conformant à ce que nous avons dit n° 81, on trouvera ainsi
et l’équation (a') donnera pour la partie correspondante de cfv
T’“ [3o'(x) + ï “' (t)] •sin-(n/+ • ~ •)
En réunissant les différentes parties des valeurs de cTr et de <JV que nous venons de déterminer, et faisant pour abréger
on aura enfin, pour la variation du rayon vecteur
m - A/AOK m ... ,
6*a' aie: sc •cos-,(n i~ntJri
— m'.ef. cos. (n i -f- 1 — *>) — m'.e f. cos. (ni-p t — •') -J- m’.r.2.I)U). c»s . [Hjî t — — ni ■+■ t’ — «) + ni -f- i — »]] -p m'.e’.Ï.EW.foSi [i'n'i — nt-f- \ — i)-j- ni ■ — *'J.
* * DU SYSTÈME DU MONDE, ét pour la variation de la longitude
^V = — . S.F^.sin . i(n' t — nt+ t — i)
-j- 2m.'.e/.sin.(nt+ i — •O + am'.e'/'.siii.f/jf-bi + m'e.S.GCO.sin. [t (n't — nt + t — «) + n<+ *
-f- 7rfV.S.Hc9.»in.4*(n,ï — nt+t — «) 4" nf+ 1 ■
Les formules (A) et (B) serviront à déterminer les inégalités périodiques d’une planète quelconque m troublée par l’action d’une autre planète m1 ; chaque planète perturbatrice introduira dans ces deux formules des termes semblables aux précédons, et la somme de tous ces termes exprimera l’effet total des perturbations.
Si l’on veut que dV et dV expriment les effets produits par la force perturbatrice pendant un temps donné sur la longitude et le rayon vecteur de la planète troublée, on déterminera les constantes arbitraires qui doivent servir à compléter les valeurs de cTe , «A», J'e et que nous désignerons par et , de manière à ce qu’on ait .
e/-t-d'€=o, a>/ -f- d'aï = o , €/ + dé = o,
en même temps que t — o. C’est ce que nous avons déjà pratiqué à legard de la constante jointe à l’intégrale j'a.
On substituera ensuite ces quantités à la place de J'e, d'aï, j'i, dans l’équation fa), et les valeurs qui en résulteront serviront à compléter celles de dV et dedV, qui ne contiendront plus rien d’arbitraire et qui exprimeront alors les augmentations totales de la Tome I. 3r
48a THÉORIE ANALYTIQUE •
longitude et de la distance au Soleil résultant de l’action des forces perturbatrices.
En ajoutant ensuite les valeurs de J'r et de JV à celles du rayon vecteur (r) et de la longitude (e), calculées dans l’orbite elliptique , corrigée au moyen des variations séculaires de ses élémens, on aura les valeurs totales du rayon vecteur de la planète et de son mouvement en longitude. On trouvera ainsi , ,«*
. r=(r)-f-cJV, v = (t-) 4- JV.
86. U nous reste à déterminer les perturbations dumouvement en latitude. Nommons s la tangente de la latitude de m au-dessus du plan fixe des xjr , nous aurons z = r,s, en désignant par r, la projection du rayon vecteur de m sur le même plan : on tirera de là
et l’équation z—qy — px donne pour déterminer J'z
$zz=.y.£q — x.J'p + q.J'y — p.J'x.
Supposons, comme nous l’avons fait jusqu’ici, quel’on prenne pour plan fixe celui de l’orbite de m à une époque donnée; l’ordonnée z et les quantités p et q seront de l’ordre des forces perturbatrices; en négligeant donc le carré de ces forces, les deux équations précédentes donneront
£sz=—, J'z—y.â'q — x.Sp.
Les coordonnées x et y se rapportent au mouvement
' ✓ . DU SYSTÈME Dü MONDE. 483
elliptique; on peut donc substituer à leur place leurs valeurs icr(. cos v et sin v ; et si l’on néglige,
comme nous le ferons, le produit des excentricités par les inclinaisons, il suffira de faire x=a . cos(nt+£) et f = a. sin on aura ainsi
— — a) — cfp.cos («/+« — «).
Si pour Sp et S'q on substitue leurs valeurs données n° 81, on trouvera
/S mr. n a' f* I I ~1
y désignant la tangente de l’inclinaison de l’orbite de m! sur l’orbite primitive de m, Il la longitude de son nœud ascendant comptée sur ce plan, et i désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif, la seule valeur i = o étant exceptée.
Si l’on réduit cette expression, et que l’on observe qu’en négligeant les produits des excentricités par les inclinaisons on a <Pz = aJ's , on en tirera
*=^ï— Tji + , — n)
