CHAPITRE X
Inégalités périodiques du rayon vecteur , de la longitude et de la latitude dépendantes des puissances supérieures qles excentricités et des inclinaisons.
fc ' * ' * - * *
88. Quoique la méthode que nous avons suivie jusqu’ici dans la théorie des perturbations planétaires , et qui consiste à regarder l'orbite troublée comme une ellipse dont les élémens varient à chaque instant, soit extrêmement ingénieuse, ensemble résulter naturellement des phénomènes observés , on ne peut disconvenir cependant que, lorsqu’on se propose simplement de déterminer les inégalités périodiques qui résultent dans le mouvement des planètes de leurs actions mutuelles, il ne soit plus expéditif de les déduire directement des équations différentielles du mouvément troublé. Les variations des trois coordonnées , d’où dépend à chaque instant la position de la planète , sont alors données immédiatement sous leur forme la plus simple , sans qu’on soit obligé de recodrir aux réductions pénibles qu’exigent les autres méthodes, et il ne reste plus
qn’à appliquer ces corrections au rayon vecteur, à la longitude et à la latitude calculés dans l’orbite elliptique. Comme ce procédé est très en usage parmi les géomètres, et qu’il peut être utile dans beaucoup d’occasions , nous allons en développer ici les formules.
Désignons par r, v, s les trois coordonnées qui déterminent dans l’orbite elliptique la position de la planète ni , c’est-à-dire son rayon vecteur, sa longitude et sa latitude , et par r J'r, v -f- JV , s -f- J\s ce que deviennent ces trois quantités en vertu des perturbations qu’éprouve cet astre dans son mouvement autour du Soleil. Nous avons trouvé, par une première approximation, les valeurs du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, en faisant abstraction des forces perturbatrices; dans une seconde approximation , nous aurons simplement égard aux termes du premier ordre, par rapport à ces forces, et nous négligerons tous les autres. J'r, JV, S s seront alors de, très petites quantités du même ordre, et ce sont ces quantités qu’il s’agit de déterminer. :
8g. Reprenons pour cela les trois équations différentielles (A), n° 37,
’rf’x . pi rfR 1
dt% r* dz* I
de r3 dy* f
(l'z . fti </R V
de r3 ~~ 3jc " )
Si l’on multiplie ces équations, la première par
adx, la seconde par zdjr , la troisième par 2 dz, qu’on les ajoute ensuite, et qu’on intègre leur somme, on trouve
a étant une constante arbitraire qui représente le demi grand axe de l’orbite dans le mouvement ellip— . tique ; et d! R désignant , comme précédemment , la différentielle de la fonction R prise par rapport aux seules coordonnées de m, ou au temps introduit par la substitution de leurs valeurs, en sorte que l’on a
d'R=<^.dx+~.dr + ~.dz.
ax dy J 1 dz
Si l’on ajoute les mêmes équations après avoir multiplié la première par x, la seconde par y , la troisième par z , on aura
xd'x+ jdy 4- zd’z , n fd
dr *+" r — Wrl' W
En observant qu’aux quantités près du second ordre , par rapport aux inclinaisons, on a
x=rcosv, y=rsim>, z = rsi,
et qu’en prenant pour plan fixe des x, y celui de l’orbite primitive de m, on peut négliger ces quantités qui sont de l’ordre du carré des forces perturbatrices, ce qui donne, dans ce cas,
i/R , rfR * dx'^ ’ dy ' di
49o théorie analytique
Si l’on ajoute entre elles les équations (i) et (2) , en observant que l’on a
xd'x + J ydy -f- zd'z -f- dx'-\- dj% -f- dz*
= d.{xdx-\-jdj -f- zdz)=i\.d' .i*,
on trouve
Si l’on désigne par dv l’angle compris entre les deux rayons vecteurs consécutifs r et r -j- dr , on aura dxt-\-djr%-{- dz* — r*dv%-\-di* , et par conséquent ,
xd'x-±-jrdy-\-zd‘z=d.{xdx-\-ydjr-\-zdz)-(dx'-\-dj%-\-dz')
zx^rd'r — r*dv*.
L’équation (2) peut donc prendre cette forme
nPr — r* .dv' ft /rfR\
— i? — + ; = d’où l’on tire
dS dV ft 1 MRS ..
dt* rdt * r3 r " \dr/'
Si l’on suppose nuis les seconds membres des équations (3) et (4), on aura les valeurs du rayon vecteur et de la longitude qui se rapportent au mouvement elliptique; en y substituant donc r-f- JV et à la place de r et t> , et en effaçant la partie relative à ce mouvement qui serait nulle d’elle-même , d’après l’hypothèse , la partie restante servira à déterminer les valeurs de JVet de $v. Nous ne nous occuperons ici , comme nous l’avons dit , que des inéga-
Dü SYSTÈME DU MONDE. 49i
lités du premier ordre, par rapport aux masses perturbatrices; en effectuant donc la substitution précédente et négligeant les puissances de S'r et de dV supérieures à la première, ce qui revient à différencier , par rapport à la caractéristique cf , les équations (3) et (4), on aura les deux formules suivantes :
a t*dv.d.lv
d'.rïr fi. riy „ /rfR\
r.&.ïr — d^r.ty 3 /t.rîr . /dR\
La première déterminera la variation du rayon "vecteur r, et la seconde donnera celle de l’angle v , lorsque J'r sera connu. On peut faire prendre à cette dernière équation une forme plus simple. En effet, si
l’on élimine à l’aide de la 'première la quantité et qu’on remarque que par les formules du mouvement elliptique on a i*dv = — e%).dt et
fx = a3n‘, on trouve
d.(%rd.&)r+dr.ir) an
~dt~
a'ndf
d’où , en intégrant, on tire a rd.ïr-\-dr.h
*ndt
Nous avons nommé dv l’angle compris entre deux positions consécutives du rayon vecteur r, cet
492 THÉORIB ANALYTIQUE
angle doit se compter par conséquent dans le plan même de l’orbite troublée ; mais il est aisé de voir qu'il ne diflérc de sa projection sur le plau fixe des x, y qu’aux quantités près du second ordre, par rapportaux inclinaisons; nous pouvonsdonc, puisque nous négligeons ces quantités, le prendre pour cette projection même. L’angle v représentera alors la longitude de la planète ni comptée sur le plan fixe , et l’équation (G) donnera aisément scs perturbations, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées.
Il nous reste à considérer les inégalités du mouvement en latitude. Supposons que l’on prenne pour plan fixe celui de l’orbite primitive de m, et qu’on nomme Js la latitude au-dessus de ce plan résultante des perturbations ; on aura z = rJs, et en substituant cette valeur dans la troisième des équations (A), elle donnera
d'.rîs ft.rS's dH
dl * r3 dz ~~ °"
Cette équation servira à déterminer J s : si l’on veut rapporter ensuite la position de la planète à un plan très peu incliné à celui de son orbite primitive, en joignant à la valeur de Js celle de la latitude de la planète dans le cas où elle ne quitterait pas le plau de sa première orbite , on aura, à très peu près, l’expression de sa latitude au-dessus de ce nouveau plau.
90. Il ne s’agit donc plus que d’intégrer les formules (5) et (7). Occupons-nous d’abord de la première. On verra plus lias qu’en ordonnant l’équation (5) par
DU SYSTÈME DU MONDE. 4g3
rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons , on peut toujours faire dépendre la détermination de la valeur de rdV de l’intégration d’équations de cette forme :
+ n*.r«fr — P = o,
ai
P représentant une fonction rationnelle et entière de sinus eide cosinus d’angles proportionnels au temps t. Si l’on intègre cette équation linéaire par les méthodes ordinaires, on aura (Lacroix, Êlémens de calcul différentiel , n° 28a )
. . . , . sin nt , cos ni .
r£r~c sinnt 4- c cos nt-j .Jrdlcosnt ./Pat sin nt,
c et c' étant deux constantes arbitraires.
Il suit de là que chacun des termes de P étant de la forme H.sin(m< H- 6) , il en résultera, dans la valeur de rJV , le terme suivant :
Sln (ml -f- 6).
cos ' '
Si m — n, le terme II sin produira dans
/•JV , i°. le terme — ~ . s'n (nt + 6) qui se trouve
compris dans ceux qu’ajoutent à la valeur de rSr les constantes introduites par l’intégration, et qui par conséquent peut être négligé ; a°. un terme de la
forme =fc — . ^ ( nt 4-6), le signe supérieur se rapportant au cas où le terme de l’expression de P est
un sinus, et le signe inférieur, au cas où ce terme est un cosinus. On voit ainsi comment s’introduit dans la valeur de rJV le temps t, hors des signes sinus et cosinus, quoiqu’il ne se trouve pas sous cette forme dans l'équation différentielle qui la détermine. La considération de ces termes, proportionnels au temps t , a d’abord embarrassé les géomètres ; mais ils ont bientôt reconnu qu’ils n’existaient pas réellement dans la valeur rigoureuse de rJY, et qu’ils n’étaient que le développement en séries d’une certaine classe de sinus et de cosinus qui y sont contenus. Les termes de cette espèce, quelle que soit la lenteur avec laquelle ils croissent, rendraient à la longue fautive l’expression des variables qui déterminent la position des planètes ; aussi a-t-on cherché à les faire disparaître, et l’on a imaginé pour y parvenir plusieurs moyens ingénieux, qui conduisent par une voie nouvelle à la détermination des variations séculaires des élémens de l’orbite elliptique. Comme nous avons donné, dans le chapitre VIII , la théorie complète de ces inégalités , nous n'y reviendrons pas ici, et nous ferons abstraction, dans l’expression de nfr, de l’espèce de termes dont nous venons de parler , ce qui revient à supposer que , conformément aux usages astronomiques , les élémens de l’orbite elliptique quelle renferme, sont déjà corrigés de leurs variations séculaires.
L’équation (7) étant absolument de même forme que l’équation (5), ce que nous venons de dire relativement au rayon vecteur s’applique identiquement à la valeur de la latitude.
— DtgttTÆd
gi. Cela posé, déterminons les variations du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude de m, en portant l’approximation comme nous l’avons fait nos 84 et 86, jusqu’aux termes de l’ordre du carré des excentricités et des inclinaisons. Reprenons d’abord l’équation (5) ,
D’après les formules du mouvement elliptique, on a
^ = s*, r = a.[i — e cos («2 -J- g — «)].
L’équation précédente, au moyen de ces valeurs, devient
+»* • riy+ Zan'.ïr.e cos(n(-f-< — ®) — 2 pi'R — =0. (8)
En ne poussant l’approximation que jusqu’aux termes du premier ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, on a, n° 81 ,
R=^-.2.AC0.cos i(n't— nt-\-s' — t)
-j- ^-.2.Mw.e.cos[t(nV — nt-f-/ — — &>]
+ . 2. MCl).e'.cos[t(ra'f — a'],
i étant susceptible de toutes les valeurs positives et négatives y compris zéro. Pour avoir la valeur de fetK, il faut différencier l’expression précédente,
tr
par rapport h ni, en y regardant n't comme constant, et intégrer ensuite l’expression résultante. On a d’ailleurs , en substituan t dans R au lieu de r sa valeur «(* +«)» n° 48,
D’après cela, on trouvera aisément
/r/R\ , ni rfAW , m' an . ... <fAU)~|
R+r<a:)=’“*+T-“ -sr + T1' L?y il>+“ t J
X cos i(n' t-nt+i'-i)
- .S.p ■; .2 ■— v n-.M°4-a —7 — ‘n.^cos[i(n'f-7ii+i'-«)+n/+e-«]
2 qû J
.Z rjlfciî" .MCO +a^-~|. /cos[i(nW-4-.,-«)+nt+^.'],
2 L.iC,z“71 —J
m'g étant une constante arbitraire ajoutée à l’intégrale f a"R.
Le signe intégral 2 doit s’étendre ici à toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de i, la valeur i =0 exceptée, parce que nous avons fait sortir de dessous le signe 2 tous les termes , correspondais à cette supposition, qu’il nous sera utile de considérer, d’après ce qui a été dit n° 90. L’équation (8), en y substituant cette valeur et en faisant d’abord abstraction des termes qui dépendent des excentricités, deviendra
d’.ri'r , , m' dA(°)
-r+a’.rlr-,n,g-r.a
- £ï.rî2,.*'>+„ *T]
2 L Jl~n «</
Xcos i(n'l — n^+f'~i)=o ,
et l’on satisfera à cette équation , en supposant
.oTACO
— Î^AW + o’
rtr . . m d Ac“) . m n * n-n da ... .
— =su» OÿH -O1— -, h— — -s. i— ,r; .cosi(n l-nt+i -<)■
a* a rfcz 2 »*-( (ra-n )* '
Considérons maintenant dans la valeur de rj'r les termes de l’ordre des excentricités et des inclinaisons.
Si l’on substitue dans l’équation (8)pour
les termes de cette fonction qui sont du même ordre,
et pour ^ sa valeur tirée de l’équation précédente,
valeur que pour abréger nous écrirons ainsi
* J AC°) m?
— = am'ag + — . aa "~j~ + — .Ï.C^.cosf (ra'f— n£-f- • '— «) ,
on aura d'.rfr
'yi'+nKrtr+^-.sf
dt 2 L *(n — n ) — n da J
X « co s [»(n't — nt + < f) -f-n<+ 1 — »]
~ ’M(,) + a^zrD' ' Wh'r0 +»<+-•'] ■
Si, pour abréger, on suppose .
K® = 3C® — aMM-Æ , .
i[n — /»)— ■» .. da
Lw = — aW>— a'^-, *
i(n — n) — n da 9
et qu’on observe que a,n,= i , on verra aisément qu’on satisfait à cette équation en faisant
m n' ( -f- K.CO e co* f i(n't — nt- f- 1 — — »]l
y 3 1 -f- lé1* è CO* [i(nft — nt- f- 1 — i) -+■ — «'] /
