Tome I

11 faut maintenant, d’après la théorie des équations linéaires, pour avoir la valeur complète de joindre

aux différentes parties de cette valeur que nous venons de déterminer, celle qui a lieu lorsqu’on suppose nuis les trois derniers termes de l’équaticn (8); on a, dans ce cas,

J'.rtY

-J- n'.rSr =

et l’on satisfait à cette «équation , en supposant

m! .je. cos f J e' .cos a') ,

/et /' étant deux constantes arbitraires.

En réunissant doue toutes les parties delà valeur de

Tîl, et en remplaçant r par sa valeur a . [ i -ecos^t-H-^)],

on *ura

-\-m' .fe.(X>s[nl-\-i— .f e .cos(nI+i— « )

. né

,X.h .. / >-g — ;.écos[i(n'/-nf+t'-t)+ni+‘-*'] .

On a , n° 8 1

Mc°> = — 2 i.Ac0 — a ,

M(0 (at— i).A<'-‘>+ ad-~ ,

DU SYSTÈME DU MONDE, d’où, en différenciant, on tire

-, • . x rfACO A(0

■(«+»).— as—^-asr.

■ , , rf'A^'rO

du1

Si l’on substitue ces valeurs dans K(0 et Lw, et qu’ensuite, dans l’expression de -, on remplace Cw, Kw, U‘> par les fonctions que ces lettres représentent, on retrouvera identiquement la valeur de ^ à laquelle

nous sommes parvenus par une autre voie, p* 84, ce qui peut servir à confirmer l’exactitude de ces résultats.

Reprenons maintenant la valeur de JV, u° 89. Si l’on néglige les termes du second ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, et qu’on observe que nous supposons ju. = a.ln* = 1 , on aura

JV=

2 rd.fr + dr.Sr a'ndt

-3an.ffdtdR—2an.fr.(~') . Ht.

A l’aide de cette formule et des valeurs précédentes,

on trouvera aisément , • , ■

-ma^g+«—-yn t

-.xJ n „ACO L \n—n da J |

l" L. Kn-rïy' ^ i(n-nf ). 0

1 m + (nt-f-,-.')

m'r.X .GW *in [i(n't — nt + ,) 4. nt + , — .]

/nV.ÏJHO sin [i(n't—nt+,'~,)+nt+t—J] ,

5oo THÉORIE ANALYTIQUE

En faisant, pour abre'ger,

, 3rf*AW

//==-.aA^---.«*^r

J ' a 2 aa

+ 2ag — a/, ,d*A<0 -,

"fl *f>

et en désignant par Gw et Hw les mêmes fonctions que ces lettres représentent dans le n° 85; le signe intégral 2 devant d’ailleurs s’étendre dans cette ex-

pression , comme dans celle de —, à toutes les valeurs positives et négatives de i , la valeur de i=o exceptée. ,

92. Les équations qui déterminent cfret Sv renferment quatre constantes arbitraires, savoir : les trois constantes g , f, f , et ta constante qui devrait être ajoutée à la valeur de JV et que nous supposons, pour plus de simplicité, égale a zéro; ces équations sont donc les intégrales complètes des équations différentielles (5). Ntous allons nous occuper de la détermination des constantes arbitraires introduites par l’intégration. ,

Si l’on ne considère que la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude, en joignant aux valeurs précédentes de Sr et de «Te, celles de r et de v qui dépendent du mouvement elliptique de /«, on aura

r-f- J'r = a Wa*g -f- A m'.n3 ,

. , V- rfAt°>\

DU SYSTÈME DU MONDE. 5»i

v -J- S v représente la longitude moyenne de la planète an bout du temps t ; elle résulte directement des observations. Si l’on veut donc, comme cela se pratique ordinairement, que cette longitude soit la même dans l’orbite elliptique de la planète et dans l’orbite qu’elle décrit réellement , cette condition déterminera la constante g; on aura ainsi

1 da

et il en résultera

, . m' ,</AW

r + ^r=a--6-.û’-rf-.

On voit que, dans l’hypothèse précédente , la distance moyenne de la planète au Soleil, dans l’orbite troublée, n’est plus représentée par a, comme dans l’orbite elliptique; cette dernière quanti té sedéduit toujours du moyen mouvement ni par l’équation = n%,

mais il faut la diminuer de la quantité

pour avoir la distance moyenne.

93. Il est èssentiel de prévenir ici une difficulté qui peut naître de ce que les astronomes et les géomètres ne définissent pas de la même manière le moyen mouvement d’une planète et de ce que ces mots sont employés souvent dans des acceptions différentes. Les premiers comprennent à la fois, dans le moyeu mouvement, toute la partie de la longitude moyenne qui varie avec le temps, et les seconds, la partie seulement de cette longitude qui dépend du grand axe de l’orbite. Il en résulte une différence essentielle : le moyen

5o2 théorie analytique

mouvement , tel que le définissent les astronomes , n’est plus invariable, sa valeur peut changer dans les différons siècles à raison des termes, proportionnels au carré du temps, qui résultent de la variation séculaire de l’époque, n" ^5; tandis que le moyen mouvement des géomètres, qui se déduit du grand axe par la troisième loi de Képler, est inaltérable ainsi que cetaxe, conformément à ce que nous avons démontré n° 61. Nous nous sommes donc conformé à l’usage adopté par les astronomes dans la détermination de la constante g , parce qu’il est en effet le plus commode dans la pratique, en ce que la valeur de la constante n se déduit alors immédiatement des observations, sans leur faire subir aucune correction; mais il est aisé de voir <fae l’on peut déterminer d’une manière quelconque la constante g sans que la position de la planète , telle quelle résultera des tables construites sur les formules précédentes , en soit altérée. Supposons, par exemple, que l’on fasse g — o , on aura

v-f-JV = (i— *,

et il sera facile , d’après les nouvelles valeurs de at et n/t qui résulteront de ces équations, de montrer, comme dans le n° 85, quelles sont identiques avec les précédentes. La variation du grand axe de l’orbite se détermine, n° 4^, par la formule

<f a = 2a%.fd'R.

igitizedby»

La constante ajoutée à l’intégrale fd'R étant supposée nulle , il s’ensuit que la valeur de Sa ne se compose que de quantités périodiques , et que par conséquent , si l’on en fait abstraction , le grand axe de l’orbite pourra être regardé comme inaltérable ; c’est d’après cette hypothèse que nous avons démontré, dans le n° 61 , l’invariabilité des grands axes des orbes planétaires.

94 . Il nous reste maintenant à déterminer lesconstantes^et f , ou, ce qui revient au même, les constantes ft et /',• Ce qu’il y a de plus simple à cet égard, c’est d’en disposer de manière que les ternies qui dépendent de sin(«2 -f- s — ce) etsin(n£ -)-€ — &/) disparaissent dans la valeur de Sv, en sorte que l’équation du centre soit tout entière comprise dans la valeur de v. On aura ainsi f, — o et /'(=o, et l’on en eouclura

J l\3 da ^ dà‘ )’

du* y

Les valeurs de — et de Sv deviendront donc enfin , a ’

„dA(°) , m' ... , ,

Q + — .2. CtO cos » (n t — nt- f-i — i)

+rri .fe . cos (nt+ 1 — . ft . cos (nt+« — a) + m'c.X . DCOcos p(n'£ — ni- j-é — i)+n£-f-i — «] ■+■ m'e . X . ÉWcOs[t(;t't — ■ — <^] ,

iv— — . X . FW sin i(nt — n£+/' — »)

-f- me . X . GW si n [i(nt — nt-f-i' — tj+nt-f-i — tu] 4- me , X IlWsin[«(n'f — nt-f t— — »],

les lettres C« D«, E(0, F®, G», HÇÔ ayant ici la même signification que d'ans le n* 84» et le signe intégral 2 devant embrasser toutes les valeurs entières positives et négatives de i, la seule valeur i =0 exceptée.

95. Considérons maintenant les inégalités de la latitude. Reprenons l’équation différentielle (7). Si l’on néglige le produit des excentricités par les inclinaisons des orbites, elle' devient

d'.rïs

dt‘

En prenant pour plan fixe celui de l’orbite primitive de m, et en désignant par y l’inclinaison de l’orbite de m sur la première orbite, et par n la longitude de son nœud ascendant , on a , n° 8i ,

i représentant un nombre entier quelconque y compris zéro.

L’équation (9), en y substituant cette valeur, devient

— ; — --J-n .r^«H — ->5<.sin(n t-f-t — n)

Lti* CL

— .a y . 2 .B^-’^sin [if/i't-nt-j-t'-i) n] — o ,

d’où, en intégrant et en observant que a’n* — 1 , ou tire. -

m nm a * ...... .

= -r. ; • — ysin(nt-fi — n)

BCi-0

le nombre i devant s’étendre à toutes les valeurs entières positives et négatives de i , la seule valeur 1=0 exceptée, parce que les ternies qui en résulteraient seraient compris dans ceux qui dépendent des constantes que l’intégration ajoute à l’équatiou (11).

La valeur précédente de ^ est conforme à celle

à laquelle nous sommes parvenus par une autre voie, n° 86. Nous n’avons point eu égard aux constantes arbitraires que l’intégration introduit dans cette valeur, ou du moins nous les avons supposées nulles, ce qui est plus commode pour la pratique. Cette hypothèse n’altère en rien l’exactitude de la formule (B). F.n effet, si l’on rapporte, comme on le fait ordinairement , le mouvement de m à un plan très peu incliné à celui de son orbite primitive , qu’on désigne comme dans le n* 86 , par (s), la latitude de m relative au mouvement elliptique, tous les termes qui ont pour argument la longitude moyenne — n se trouveront renfermés dans

(s), d’après notre hypothèse; mais de quelque manière que l’on détermine les constantes arbitraires qui entrent dans Js, la quantité (s) -f- S~s , calculée par les tables , exprimera toujours la latitude de m au-dessus du plan fixe.

Les trois formules (A) et (B), sont celles dont on fait ordinairement usage poiu' calculer les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude dans l’orbite troublée ; en les réduisant en nombres et en les ajoutant aux parties de ces valeurs qui dépendent du mouvement elliptique, ôn pourra

5j6 Théorie analytique

eu former des tables qui donneront à chaque instant la position dans l’espace des différens corps du système solaire.

9 6. La méthode par laquelle nous venons de déterminer, au moyen des équations différentielles du mouvement troublé, les perturbations planétaires dépendantes de la première puissance des excentricités et des inclinaisons, suffit pour montrer comment, par des approximations successives, et en employant à chaque approximation nouvelle les valeurs du rayon vecteur et de la latitude qui résultent des approximations précédentes, on peut calculer les inégalités de ces deux quantités dépendantes d’une puissance quelconque des excentricités et des inclinaisons, et arriver ainsi à déterminer leurs valeursaussi exactement qu’on voudra*

Lorsqu’on ne porte l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre des excentricités et des inclinaisons, ce procédé est, comme nous l’avons dit, le plus simple que l’on puisse employer pour déterminer les inégalités périodiques des mouvemens des planètes; mais quand ou veut étendre les approximations aux inégalités dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons , les operations numériques se compliquent de plus en plus, et elles deviendraient bientôt impraticables si l’on voulait calculer rigoureusement toutes ces inégalités. Heureusement, la détermination de celles qui dépendent de la première puissancedes excentricités et des inclinaisons suffit en général pour les planètes , et lorsqu’il devient indispensable d’avoir égard aux iné-

galités d’un ordre supérieur, les considérations mêmes qui obligent d’en tenir compte servent à faciliter leur calcul. Ces inégalités, en effet, ne deviennent sensibles que par les petits diviseurs, dépendans des rapports qui existent entre les moyens mouvemens des différens corps du système, que l’intégration leur fait acquérir ; on peut donc prévoir aisément la circonstance qui rendra sensibles quelques-uns des termes de ces inégalités, et se borner à les calculer , en négligeant tous les autres.

Considérons , par exemple, dans R un terme quelconque de la forme

M . cos [i(n't — nt-\-d — e)] -f- i’nt -f- K] ,

i et t représentant des nombres entiers quelconques et K une quantité constante , fonction des élémens des orbites de m et ni .

R en résultera dans — - le terme suivant : a*

rir

- . oM+o1^- 1 . n*

da J

cos[t(n'f —

Le dénominateur de cette expression peut se mettre sous la forme

[(i7 — t-f-i . [f i — — in~] ,

et l’inégalité qui précède pourra acquérir une valeur sensible , si l’un de ces deux facteurs est peu considérable.

Il suffira donc de calculer les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude quiout l’une

Co8 THÉORIE ANALYTIQUE DU SYSTÈME DU MONDE.

des deux quantités précédentes pour diviseur ; niais alors il est plus commode d’employer, pour leur détermination , la méthode de la variation des constantes arbitraires. En effet, il suffit de considérer dans R les termes dépendans de l’argument auquel on veut avoir égard, et au moyen des formules du n° 4 2, on aura immédiatement les inégalités correspondantes des élémens de l’orbite elliptique ; en les substituant ensuite dans les formules de ce. mouvement, on aura, de la manière la plus simple, toutes les inégalités du mouvement de la planète qui peuvent devenir considérables.

La plus grande difficulté de la détermination des perturbations planétaires, de l’ordre du carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, consiste donc dans le développement de la fonction perturbatrice R. Mais plusieurs géomètres zélés se sont déjà occupés de cette recherche. M. Burhardt a poussé ce développement jusqu’aux termes du sixième ordre (*); M. Binet l’a depuis étendu jusqu’aux septièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. Ces approximations sont plus que suffisantes pour toutes les recherches que peut présenter la détermination théorique du mouvement des centres de gravité des corps célestes.

(+) Mémoires de l'Institut , annee 1808.