SUPPLÉMENT AU LIVRE II

Sur le moyen de faire disparaître les ares de cercle introduits par les méthodes ordinaires cT approximation dans les formules des mouvemens planétaires.

i . Comme l’intégration directe des équations différentielles du mouvement troublé est la plus simple de toutes les méthodes que l’on peut employer pour déterminer les perturbations des planètes, il confient de donner le moyen de faire disparaître les arcs de cercle que la méthode ordinaire d’approximation introduit dans les expressions de leurs coordonnées, et qui finiraient par rendre, au bout d’un •ertain temps , leurs valeurs fautives. Le procédé que 1 ous allons indiquer, fondé sur la variation des constintes arbitraires, a l’avantagé de faire servir les termes que ut éliminer à la détermination des varia-

zr

a THÉORIE ANALYTIQUE

tions séculaires des élémens du mouvement elliptique, eu sorte qu’on peut ainsi déterminer toutes les inégalités séculaires et périodiques d’une planète, sans recourir à aucune autre méthode.

Soif, en général, l’équation différentielle de cette forme

% + P + aQ = o, (,)

P et Q étant des fonctions algébriques de t , y et de ses différences, jusqu a l'ordre i 1 inclusivement, et et un très petit coefficient qui, dans la théorie des mouvemens planétaires, est de l’ordre des forces perturbatrices.

Pour intégrer cette équation d’après la méthode connue d’approximation, on commencera par faire et s= o, et nous supposerons que l’on peut toujours obtenir, dans ce cas, l’intégrale finie de l’équation précédente. On aura ainsi une première valeur approchée de y.

On substituera cette valeur dans Q , qui deviendra Une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d’angles proportionnels au temps t. En intégrant l'équation différentielle , on aura une seconde valeur de y exacte jusqu’aux quantités de l’ordre a inclusivement.

On substituera de nouveau cette valeur dans Q, et en intégrant l’équation différentielle, on aura urè troisième valeur dey approchée jusqu’aux quantité de l’ordre a*, et ainsi de suite indéfiniment.

Cette manière d’intégrer les équations ^fiÜeren-

DU SYStftMt DU MONDÉ. 3

tielles a> comme on l’a dit n° 80, l’iricofivénierit d'introduire dans l’expression des variables le temps t hors des signes sinus et cosinus , dans le cas même où les intégrales finies ne doivent contenir t que soüS la Corme périodique. On conçoit, en effet, qûe si ces intégrales renferment des sinus ou cosinus d’an-* gles proportionnels à ces fonctions devront se présenter sous la forme de séries, dans les intégrales approchées trouvées par la méthode précédente » puisque les valeurs de plus en plus approchées dè^ sont ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de a. Or, ces termes croissant indéfiniment avec le temps t , peuvent devenir Considérables par la suite des siècles, quelque petit qu’on suppose le coefficient cl, la valeur de^", quelque loin qu’on pousse d’ailleurs l’approximation , ne pourrait donc servir que pendant un temps plus ou moins long, avant et après l’époque que l’on aurait choisie, et il est nécessaire, par conséquent, de faire évanouir les termes dont il s’agit , pour que les intégrales approchées puissent s’étendre à un temps illimité.

a. Supposons que l’intégrale finie de l'équation(i), quand on y fait et = o , ne contienne pas t hors des signes sinus et cosinus, et qu’en appliquant à cette équation la méthode d’intégralion précédente , on ait

y = X *Y 4- t‘Z + -f- etc. ,

X, Y, Z, etc., étant des fonctions de sinus et de cosinus d’angles proportionnels à t, et de constantes arbitraires a, b, o , etc.j en sorte que les diffé-

rendes de ces fonctions relatives à t ne contiendront jamais cette variable sous une forme algébrique. Les puissances du temps t peuvent d’ailleurs s’étendre

indéfiniment par les approximations successives, et leurs coefïicicns deviennent d'autant plus petits que et est une quantité moins considérable. Ainsi, dans la théorie des planètes, et étant du même ordre que le rapport des forces perturbatrices aux forces principales qui les animent, le terme proportionnel au temps t sera de l’ordre de la force perturbatrice, le coefficient du terme en t% de l’ordre du carré de ces forces, et ainsi de suite.

En différentiaut successivement i fois la valeur précédente de/, on aura

dr dX

~di ~di

dr ~ dr etc.

+ Y + (ï + 2Z)‘ + (S + 3V) e + etc- ' 4 - 2 J + aZ +(ï + 3 S + 6V) 1 + u,c-'

Si l’on substitue ces valeurs dans l'équation (i), elle doit être identiquement nulle; or, par cette substitution , il est clair que cette équation prendra cette forme

X' + /Y'.+ t'Z' + <’SV' H- etc. = o ,

et comme on suppose que l’équation différentielle ne contient le temps / que sous la forme périodique, il faut que tous les termes multipliés par les différentes puissances de t disparaissent d euxièmes , ce qui donne X'= o, Y' = o, Z'=o, etc. Or, X' n’est évidemment que le résultat de la substi-

tutSon dans l’équation (i) de la partie des valeurs

de etc., indépendante du temps, ou qui

du moins ne contiennent cette variable que sous la forme périodique; en faisant donc abstraction des termes multipliés pari, on aura

djr dX

et ces valeurs devront encore satisfaire à l’équation différentielle (i). Or , les équations précédentes ne peuvent subsister ensemble, tant que l’on suppose constantes les indéterminées a, b, c , etc., que renferme l'expression dey; mais si l’on suppose ces quantités variables, et qu’on égale les nouvelles valeurs de

ïït’ etc> » *1**' en résulteront, aux valeurs précédentes , on aura autant d’équations de condition entre les variations des arbitraires qui serviront à les déterminer, et l’équation y — X , qui ne contient plus d’arc de cercle , sera l’intégrale de la proposée, quelque loin qu’on pousse l’approximation relative à CL.

En différentiant de cette manière, on aura

dy dX dX da dX db dX de dX y

(JT dt da dl db dt de dt ClC* dt *

d'Y d OÇ d*Xda d*X db

<ft* dt dl dlda dt dtdb dt

d\ da . d\ db , dY de , d>X , d\ , *

+ 7iâdi +db’dï + dc'7t + c,c- = ÏÏT + 3 JT +

et ainsi de suite.

En supprimant maintenant les termes qui se dé-*