G THÉORIE ANALYTIQUE
fraisent, on aura les équations de condition sui-
T3îltÇS •'
dX di i dX
dÛfi+db
fdtXda tlY\ da fd*X dX\db dX
\Jddadt +dï)ït+\ttb + ü)dt+'lC-=dï + 'i7j'
etc.
Le nombre de ces équations sera égal à i, qui marque l’ordre de l’équation différentielle proposée; elles suffiront donc pour déterminer les variations des i constantes arbitraires que doit contenir l’intégrale complète de l’équation (i). Les équations précédentes seront d’ailleurs toutes du premier ordre; il sera donc facile de les intégrer par les méthodes ordinaires; et comme cette intégration ajoutera une constante arbitraire à l’expression de chacune des arbitraires a, b, c, etc., l’équation y— X, lorsqu’on y aura substitué ces valeurs, sera encore l’intégrale complète de la proposée.
Lors donc que l’équation différentielle (i) s^ra du premier ordre, il suffira d’avoir égard au ternie proportionnel à t dans la valeur de y , puisqu’il n'y a alors qu’une arbitraire à déterminer; lorsque l’éqyation sera du second ordre, il faudra avoir égard aux termes de y multipliés par le carré du temps, puisque la seconde équation de condition dépend de la fonction Z, et ainsi de mite.
Il est* claif que la méthode précédente s’appliquerait encore à un nombre quelconque d’équations différentielles entre les variables t , x , y, t, etc. Les valeurs complètes de ces variables , déterminées
par la méthode précédente d’approximation , fourniront entre les variations des constantes arbitraires a, b, c, etc., uu nombre d’équations de condition égal à l’exposant de la plus haute différence de chacune des variables x,J't z, etc. , dans les équations différentielles proposées; en sorte que le nombre de ces équations ?era toujours égal à celui des indéterminées a, b, c, etc., qui outrent dans les intégrales complètes des équations proposées.
IJ résulte donc de ce qui précède, que quel que soit le nombre des équations différentielles données, on pourra effacer les termes contenant les arcs de cercle introduits parla méthode ordinaire d’approximation, dans leurs intégrales approchées, lorsqu’on aura substitué aux constantes arbitraires quelles renferment , leurs variables résultantes de l’intégration des équations (2) et des autres équations de condition formées de la même manière.
Nous avons vu qu’en ordonnant, par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons, les expressions différentielles du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, dans l’orbite troublée des planètes , on pouvait les ramener à des équations de cette forme
% 4- ay 4- <*Q = o.
On pourra donc appliquer aux valeurs de la longitude, du rayon vecteur et de la latitude, résultantes de l’intégration directe de ces équations , la méthode précédente, pour en faire disparaître le
temps t hors des signes sinus et cosinus. Dans ce cas, les constantes dont la variation doit servir à faire disparaître les arcs de cercle, sont les élémens de l’orbite elliptique ; on aura donc un nouveau moyen de déterminer leurs variations séculaires, et les expressions qui en résulteront devront s'accorder avec celles que nous avons obtenues par la méthode directe qui donne à la fois toutes les variations de ces élémens, tant séculaires que périodiques.
3. Reprenons les valeurs de J>, J'vet J's, en conservant dans leurs expressions les termes multipliés par le temps t.
L’équation (8) n" gt, livre II, donne
st* i
- -f- n% . rJV -f- Zan'S’re cos (nt + 1 — a>)
en ne considérant que les termes dépendans de Fargument nt-j-e, on trouve, même numéro.
lia
d*AW
da*
^ e co* (n£ -f- t — •)
nï f ... dKK'\ daA(‘>\, ,
On a d’ailleurs, n°ga , en n’ayant égard qu’aux termes indépendansdes excentricités, «Pr=— ^ a? Si
l’on substitue ces valeurs dans l’équation (3) et qu’on l’intègre ensuite, en n’ayant égard qu’aux termes qui sont multipliés par le temps t , hors des signes périodiques, en faisant, pour abréger,
DU SYSTÈME Dü MONDE.
c = »:tt + i
d'tSa> da' *
D = aA(,) — a*
da
On trouvera (voir n° 90, livre II),
— = — ~ nlCe sin (nt -f- £ — ®)
* — — ntOe' sin (nt -+- c — a>') ;
d’où l’on déduira , au moyen de l’equation (6 ) , n° 89, livre II,
JV= — in'nlCecos(nt-\-t-a) — m'ntDe1 cos(nt-{-£ — a»').
Enfin, l’expression différentielle de la latitude, n® 95, eu y supposant 1=0, et en l’inte'grant ensuite, donnera
= — J a'aW>nty cos (nt + t — II). p [
Si l’on re'unit ces valeurs aux parties de r, p et J, relatives au mouvement elliptique, en ne considérant que les termes dépendans des premières puissances des excentricités et des inclinaisons , qu à la place des constantes y et O on introduise dans l’expression de la latitude les constantes p, p', rj , </', d’après les valeurs rapportées n° 86, livre II.
t 1 — e cos(n* -f- e — a) r = a < — g m'n/Ccsin (nt £ — e»)
( — \ m'ntDe' sin (ni -f- 1 — g/)
bituncft
^ = n -f- ane cos (n< 4- « — < u)
