m'n'tCe sin (nt + t
-f- m'n VDe'sin ( nt -4- »— »') ,
JV = q sin (n/ -f" * ) — p cos (nf + * )
— —j— (/>' — p ) «<BC0 sin (n£ 4- *)
— — ?) rc<B(0sin(n< 4- *)•
On a substitué à la longitude v sa différentielle
pour éviter que l’intégrale , lorsqu’on fait abstraction des forces perturbatrices, ne contint le temps t sous forme algébrique , ce qui serait contre la supposition pur laquelle est fondée la méthode que nous allons employer à faire disparaître les arcs de
cercle, n* a. On sait, d’ailleurs que la valeur de ^ ne
peut contenir aucun terme semblable , et par conséquent l’expression de la longitude t», aucun terme proportionnel au carré du temps, quelque loin que l’on pousse l’approximation par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, du moins tant qu’on n’a égard qu a la première puissance des forces perturbatrices, conformément au théorème relatif à l’invariabilité des moyens mouvemeps planétaires démontré n*58, livre U.
Les valeurs précédentes de r, ^ et r, pour être
complètes, devraient contenir encore une suite de fonctions périodiques du temps U mais on peut les supprimer, parce qu'il n’en résulterait, comme il
WJ SYSTÈME DU MONDE. n
est aisé de le voir, dans les expressions différentielles des constantes devenues variable^, que des termes d’un ordre supérieur à celui que nous considérons par rapport aux excentricités, ou de l’ordre du carré des masses perturbatrices.
Il faut observer encore que les équations différentielles des mouvemens planétaires étant du second ordre, il faudrait, d’après ce que nous avons dit n° a, pousser les approximations jusqu’aux termes multipliés par le carré du temps, et, par conséquent, de l’ordre du carré des masses perturbatrices, pour avoir en géuéral autant d’équations de condition qu’il y a d’arbitraires introduites par l'intégration j mais l’approximation précédente suffira, comme on le verra, pour déterminer les variations des six élémens de l’orbile elliptique. On peut doue se dispenser de ce pénible calcul.
Considérons d’abord l’expression de en la comparant à celle de la fonction j = \ — j— /Y —J— etc. ,
on aura ■ r • ( ' -f- ’ \ >
X = n -f- sue cos (nt f(-e —
Y =/ra'«*Cesin(«t-f-£ — co) -+-m'«*De'sin (nt- f-e — a).
On aura dope, en différenti?nt , n ; c. : ^ ;= i-f-aecos(nt-f-e — &) — 2ntesip(tff+e— <a>)h
JV
-r- — — ines\n(nt -f- t — o) t ‘
2* ■ ; tin *»! •. : : , .'tint
dX ,
s/i cos (nf -fr *-t- «) , ■. i ir.r;.”.- 1 n i
dX. • ' • . . ; " *'• •
i THÉORIE ANALYTIQUE
L’équation de condition
t • ! t>!> tMÎB J»
<ix, <jx „ jx, v
fa aa ~h m “b de etc. = l ...b
>v >/:.■ TÜ9 lior.<{Oi i«q
J . i nrJiun ..i&.Gin «b
devient ainsi
tin
[i + ae cos(n< -f- t — rj)]
;-do Inel II
— 2M(* îiï Ti ) e s'n (nt
de
dm
+3 cos ( nt-\- 1 — <u)4-an esin(»<-|-Ê--ai)
=Ht'n’Cesiu(/i<+« — u)-{-m'n'Y)e's\n(nt-\-t — a').
En égalant séparément à zéro les coelHciens des sinus et cosinus semblables , on aura
( dn d,\ de . dm
-Vdï + di)ecosa> +â*in*+3teco*0- *1
= — (Ce cos ce -f- De' cos &>') ,
(. dn , dt\ . | de dm .
tdï + dt)esmc° + dïCOSC}-dïesma>
= — — (Ce sin eo + De' sia co').
La première de ces équations montre que le moyen mouvement n est inaltérable, ainsi que le grand axe de l’orbite qui en dépend , c’est-à-dire que ces deux élémens ne sont assujettis à aucune variation séculaire, comme nous l’avons prouvé directement n° 58, en étendant les approximations à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, et jusqu'aux, termes dépendans des carrés des masses.
DU «SYSTÈME DU MONDE. i3
Les deux autres équations ne suffiraient pas , en général, pour déterminer les trois constantes », e et ça ; mais on peut s’imposer une nouvelle équation de condition; posons, par exemple.
Puisqu’on a ^ = o, il en résultera = o, c’est-
à-dire que t sera constant ainsi que n, ce qui revient à supposer , comme on le fait ordinairement , n" 74, livre II, que le terme proportionnel au temps t de la variation séculaire de la longitude de l’époque , s’ajoute au moyen mouvement dans l’expression de la longitude moyenne déduite des observations. En effet, la longitude moyenne, dans l’orbite elliptique comme dans l’orbite troublée, peut être représentée par fndt -f- t, et l’on pourra , dans les deux cas, regarder «comme constant, lorsqu’on n’a égard qu’à la première puissance de la force perturbatrice , pourvu qu’on comprenne dans l’intégrale f ndt la variation séculaire de *.
Si l’on observe maintenant que, d’après les valeurs de C et D , on a (*)
On aura
[a,o, 5L! d - - [srg.
(*) Voir n* 90, livre VI.
*4 THÉORIE ANALTTIQÜB
ST8"** + if* cos' = l*> a'l * cos. - [£2j e cos m ,
dt eos. — ~ g tin « ^ — fa, u'J e sih . -f [a, à*] e' sih d’où J’on tire
% — CT e' «,n (* «) ,
^a±[«, rt ] — [a, a j.-.eos
Ces expressions sôht identiques avec Celles que nous avons trouvées directement n6 63 , livre II , pour déterminer les variations séculaires de Fexeentricité et du périhélie.
L’ex pression de la longitude ayant ainsi suffi pôüt déterminer les variations des quatre élémens qu’elle renferme , il est évident que l’expreSsion du rayon Vecteur, traitée de la même maniéré, ne ferait qué reproduire les formules précédentes. C’est, èn effet, ce qu’il est facile de vérifier, et l’on trouve que l’équation de condition ~ da -f- ~ db -)- etc. =a Y, devient, dans ce ca9,
— a di e,in i"1 + * ~ ") — a ‘lft C<M (m •+■ • — .)
£"*“ [Ce «xn (/if -f- • — m) 4. D«*in
En comparant les termes des mêmes sinus et cosinus dans les deux membres, on aura des équations de condition analogues à celles qu’a fournies l’expression de la longitude. Enfin, en introduisant
DD SYSTÈME DU MONDE. i5
dans les intégrales approchées les termes multipliés par le carré du temps, on aurait le nombre d’équations nécessaires pour déterminer la variation séculaire de la longitude de l’époque dont la valeur absolue reste encore indéterminée, mais nous l’obtiendrons bientôt par un procédé plus facile.
Considérons maintenant l’expression de la latitude. Si on la compare à la valeur de^= X tY-f-ctc., on aura
X = q sin(nt + t) — p cos (nt *) ,
Y as — ■ 6e0 (p'— p) «in [nt + «)
— m naj^ B(0 ( q'— q) cos(rat -f- 1).
On aura , par conséquent ,
dj ~ sin ("* + •)» TP = “ cos(nt + h
et comme n et i sont cûnstans, d’après ce qui précède,
dy± dY
l’équation de condition ~db etc. ss Y ,
deviendra simplement
~ sin ( nt +0 — ^ cos ( nt 4- i)
+ ~a'aW\ p' — p) sin (nt + t)
-+■ ~ àtarBi'\ q1 -**- q) cos (nt -f- t) = o.
En égalant séparément à zéro les coefliciens des sinus et cosinus semblables , on aura donc
dJL —
dt
dq
dt ~
a*a'i}CO(çr' — g) ,
.j*L A tiq
«mit
formules identiques avec les formules (a) , n° 68 , livre II , en observant que, d’après la valeur de B0*, n* 5i , mèfcie livre, on a
Les valeurs des arbitraires e, a , p, q étant déterminées par l’intégration des formules précédentes, on les substituera dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, et l’on pourra ensuite effacer les termes affectés de l’arc de cercle nt.
4. Les termes proportionnels au temps t, que l’intégration introduit dans l’expression du rayon vecteur, produisent dans l’expression de la longitude de nouveaux termes dépendans de l’anomalie moyenne, Auxquels il faut avoir égard. En effet, si l’on suppose
— = - m’ntCe sin {nt + 1 — •) -J- i m’nlDe sin (nt • J- 1 — «') , a 7l 2
en vertu de l’équation (6), n° 89, livre II,
tnrd.fr-}- drtr
a’ndt
— etc. ,
il en résultera dans J'v les deux termes suivans :
r.Jly I. </. J.l,.. .
J' v = m' Ce sin (nt-f- t — 0) -f- m'De sin (nt -f- 1 — o>') }
ces termes s’ajouteront aux termes semblables que contient déjà l’expression de J'v, eu sorte que, d’après la signification que nous avons donnée à / et J', n° 91 , livre II, on aura
/-c+*--Tr
+ a “f ?ag —
' 2 2 ûfl1 “
rfa’
Si l’on veut donc, comme nous l’avons dit «1*94, que tous les termes dépendans de l’anomalie moyenne , qui ne sont pas compris dans le mouvement elliptique, disparaissent de l’expression de la longitude; en sorte qu’ils se trouvent tous renfermés dans le premier terme de l’équation du centre, il faudra supposer les deux quantités/ et /' égales à zéro, ce qui donnera, en substituant pour D, C et g leurs valeurs, pour déterminer les arbitraires f et /', les deux équations suivantes :
</AW
d‘kn
da *
Wt-
Telles sont donc les valeurs qui doivent servir à déterminer f et /' lorsqu’on réduira en nombres l’expression du rayon vecteur, et c’est en effet celles que nous avons employées dans le VI* livre, en faisant l’application des formules qui déterminent les inégalités planétaires, à toutes les planètes principales. Les expressions de /et /', trouvées n° 94, livre II, Tome I.
i8 THÉORIE ANALYTIQUE
comme on voit , n étaient pas complètes. Au reste , les valeurs de ces deux arbitraires étant à très peu près insensibles, excepté dans la théorie de Jupiter et Saturne, l’erreur que l’on pourrait commettre en employant les premières formules au lieu de celles que nous venons de donner, ne serait guère appréciable.
~). Comme cet artifice d’analyse, par lequel on fait disparaître les termes dépendans de l’anomalie moyenne , non compris dans le mouvement elliptique, qui se trouvent dans l’expression de la longitude , pour les introduire dans l’expression du rayon vecteur, me paraît avoir donné lieu à quelques difficultés, il ne sera pas inutile d’ajouter ici quelques mots sur ce sujet. Si l’on ne considère dans l’expression de la longitude que le premier terme de l’équation du centre, par les formules du mouvement elliptique , on a
v = nt -f- * -f- ae sin ( nt -f- s — ai).
En ne faisant varier que l’excentricité e et la longitude du périhélie a , et en nommant V la lon gitude dans l’orbite troublée , on aura
V = nt + «+ ae sin (nt -f- 1 — a)
-f- aefe sin (nt -f- * — ai) — aej'a cos (nt -f- e — »)•
Or, par les formules du n° 91, en observant que
V = v -f- JV , ori a
V = nt -f- 1 4- ae sin (nt -f- 1 — &►)
-+- mfes\n(nt-^t — a) + m'fe' sin (nt.-\- s — a')-
DU SYSTÈME DU MONDE. it,
Si l'on développe ees deux valeurs de V , et que l’on compare ensuite séparément les coefficiens de sin ( nt -f- t ) et cos {nt -}- t ) , on aura
m'fe cos a + m'fe' cos co' = aJVcos&j — a ej'a sin u mfesmro -J- m'fe' sin»’ = acTesin co-f- aesPcjcosw,
équations d’où l’on tire
aie = m'fe + m'fe' cos {co' — a ) , ) ae/a) = m'J'e' sin (e/ — «). j '
Cela posé, j’observe que l’excentricité e et la longitude du périhélie a , qui conviennent au mouvement elliptique, ne se déduisent pas immédiatement des observations; mais les observations font connaître les valeurs des mêmes quantités relatives au mouvement troublé; si donc on appelle e, et a>i ce que deviennent e et a> dans l’orbite troublée, considérée comme une ellipse variable, ,011 aura
et — e J'c , co t =" co - Sa,
équations d’où l’on déduira les valeurs de e et de a qui conviennent à l’orbite elliptique, ef et a>, étant des quantités données par l’observation. Ces valeurs ■dépendront donc de celles qu’on attribuera aux deux arbitraires f et f. Si l’on suppose, comme nous le faisons ici , j\ — o et // = o, ce qui donne cTe=o et e£a = o, on aura e = e(, m — u,, c’est-à-dire que dans les formules du mouvement elliptique il faudra substituer immédiatement, pour l’excentricité et la longitude du périhélie, les valeurs résultant des observations, et alors le premier terme
2o THÉORIE ANALYTIQUE
de l’équation du centre sera le même dans l’orbite elliptique et dans l’orbite troublée. Si l’on veut déterminer f et j' par toute autre considération, par exemple , si l’on demande que les termes dépendans du sinus et cosinus de l’anomalie moyenne disparaissent de l’expression de Sr, ce qui donne f—o et /'= o; on substituera dans les équations (5) les valeurs de j,etf données par les équations (4) privées de leur dernier terme , et en observant qu’au lieu de e, ce, e', o', on peut substituer les quantités e,, eu', e', a/, données par l’observation, puisque l’on néglige les carrés de la force perturbatrice ; on en déduira les valeurs de /'e et de Sce , et l’on aura ensuite celles de e et o qui conviennent à l’orbite elliptique, dans cette hypothèse, au moyen des équations e=se, — Se, ® = c>/ — Sa. Mais comme c’est l’expression de la longitude et non celle du rayon vecteur que l’on compare aux observations , il est plus commode p comme nous l’avons dit, de faire disparaître les termes dépendans des sinus et cosinus de l’angle nt t — o de l’expression de Sv que de
celle de" Sr.
On voit donc que l’on pourra disposer comme on voudra des deux arbitraires f et f introduites par l’intégration et qui entrent dans les valeurs de j, et f‘, pourvu qu’on ne suppose pas nulles à la fois ces quatre quantités, parce qu’alors les équations fa) ne pourraient être satisfaites. Selon chaque hypothèse que l’on fera , les élémens e et o du mouvement elliptique auront des valeurs différentes; mais ces élémens, augmentés de leurs variations, c’est-
fc'
Ir
2 * f r^,.PPÜ., JP1.. (PP
Dü SYSTÈME DU MONDE. . ai
à-dire les quantités e -f- Je, co-\-Sco conserveront* les mêmes valeurs ; les formules qui résulteront de ces diverses suppositions relatives au mouvement troublé seront donc identiques.
Ce que nous disons ici relativement à l’excentricité et au périhélie , est analogue à ce que nous avons dit dans le n° 9S* livre II, par rapporta la longitude moyenne. On peut observer que ce résultat tient uniquement à cette considération, que ce n’est point le mouvement dans 1 orbite elliptique qui aurait lieu si les forces perturbatrices venaient à cesser leur action , qu’il est nécessaire aux astronomes de connaître, mais le mouvement dans une orbite telle, qu’en corrigeant ses éléineus de leurs variations déterminées par des formules connues, on retrouve les expressions de la longitude, du «rayon vecteur et de la latitude qui conviennent- au mouvement trcitiblé.
6. Nous avons supposé que la partie constante de ~ développé en série «le cosinus d'angles proportionnels au temps, était égalé q 1 unité dans le mouvement troublé comme dans le mouvement elliptique, c’est ce qui a lieu en etl’et lorsqu’on n’a égard qu’à la première puissance des excentricités et des inclinaisons et qu’on détermine comme nous l’avons fait. u°92, la constante g, introduite par l’intégration dans l’expression de la longitude ; mais quoique les termes de l’ordre du carre et des produits des excentricités et des inclinaisons, soient insensibles en euxmêmes, il est nécessaire d’y avoir égard , parce que
■nü
-ap»
VS r
THÉORIE ANALYTIQUE ce sont eux qui produisent, par leurs variations, les termes proportionnels au carré du temps, dans l’expression de la longitude moyenne, et d’où résultent, comme on l’a dit n° 75, les équations séculaires qui affectent le mouvement de la Lune. La considération de ces termes nous dounera d’ailleurs la véritable valeur de la constante t dont la variatiou est encore arbitraire, et nous permettra d’établir ainsi la parfaite identité des formules précédentes avec celles que nous avons obteuues par la méthode de la variation des constantes.
On a , n“ £9, livre II,
■JT .
d.fv
HT
d. ( ird . <Tr drir)
a‘ndl‘
■ianfd'K — za’n^ da
Déterminons tous les termes de cette fonction indépendans du temps t et qui sont de l’ordre du carré û 4 des excentricités et des inclinaisons.
En n’ayaut égard qu’à la première puissance de ces ji.,/-*; • ’ quantités , on a
- = i — e cos (nt -f- e — eo) ,
Bfr ;/ *• *
— = — C nte si n (nt -f- « — m) ,
D nte' sin ( nt -f- e — a').
Au moyen de ces valeurs et de leurs différentielles, eu rejetant tous les termes périodiques , on trouve
ard.fr + drtr~—— C t>tdt + -j~ D ce' cos(.' — ,)tdt.
rr •>
DU SYSTÈME DU MONDE. a3
On aura donc
\ d.(*rd}r+<W "g j~Ce. Dce> cos (M> __ a) ]. '-V
à'ndcÿ I — e‘ 4 '
Considérons le terme — , *£ ■■-■- de la même for- y. t; V/i — e*
mule. En nommant m'g une constante arbitraire
jointe à l’intégrale J'd R, il en résultera le terme
3m ggr qui par le développement de son diviseur
pourrait donner un terme de genre du ceux que nous considérons ; mais ce terme est détruit par le terme
rr\
rfA<°>
- qui résulte de la fonction - —
r ^ qui entre dans la valeur de En efl’et , en vertu
de ces deux termes réunis , on aura
^r-=-ÿ-,-cV*+“Tr>
quantité égale à zéro, puisqu’on a, n° 92,
1 rfA.C> S=-la~d7-
JH
\ tH
v Jl
En ne considérant que la partie non périodique de .
la fonction R qui dépend des carrés des excentricités 1 et des inclinaisons des orbites, on a, n° 53 , . ai
m' / dA<°> d' iW\
, m , , , ./...x dh.C* 1 irf‘A(,)>r
+T* «>*(*— )(AC»fl __
On aura donc aa j
■ '"'mt
V J. ^ v- "'«jr
! V. v>g - ■ . A.. ; . .. ». . • jX % \ ..v A
•v f •* âx' . -^Û.' ,
• ■■■ . - - JL
ififalLu
THÉORIE ANALYTIQUE ’n , ; / </A'°> , /AO . I
.y AO ; « y au;
La fonction [p — p')* + (<l — <l)%, lorsqu on ne considère que l’action réciproque des deux planètes m et m', est égale à une constante indépendante du temps ; on peut donc ici en faire abstraction , puisqu’elle ne produirait dans «/.«Te qu’une quantité également indépendante du temps et qu’on peut la supposer comprise dans la valeur de ndt.
En réunissant cesdifl’érens termes et en substituaut au lieu (le Cet I) leurs valeurs
m'ndt / rfAO , y AC»)
= — r-'V* ûr+^-dï-
m'ndt / .dm . , * À« , aWkW
on aura
rjf 2aA<')-2a*
Lorsqu’on n’a égard qu’aux termes dépendans de la première puissance des masses, cette fonction est constante , et l’on peut en faire abstraction , parce qu’elle se confond avec le moyen mouvement ndt dans l’expression de la longitude moyenne, mais lorsqu’on a égard aux quantités de l’ordre du carré des masses
DÜ SYSTÈME DU MONDE. a5
que la constante n ne soit sujette à aucune variation séculaire, conformément à ce que nous avons démontré n° 58, il faudra comprendre dans la constante « la partie variable de la longitude vraie JV, en sorte qu’on aura dé — d.J'v; en rejetant toute la
