C) F + DE

COS fa — ; y

(t — B)E + DF

cos y = - »

où l’on fait, pour abréger,

a> — [(t — B) (t — C) - D’]’ + [(< — C)F +DE]‘

+ [(r B)E+DF]*.

3. Lorsque le second membre de l’équation (7) se réduit à zéro, la surface est un cône; en comparant, dans ce cas, cette équation à l’équation (6), on a

A=k — mb'—nc \ B = m(k — n* — ne*) ,

C z=n(k— a*— mb%), V — mnbc, ,

E — nac, F = mob.

a . i ' *.i> sm> isjui

En substituant ces valeurs dans les formules (9), elles devieunent

(-<OT(*û’7ic*)][(— n(k— a'— mô*)]— m\

cos * 1

f t — n(i — a1 — mb')\ mob 4- mn'abc ’ eos C — 1 ; >

[* — nt(k — a1 — ne •)] nac 4- m'nab'ç co s y = »

et A* est égal à la somme des carrés des numérateurs de ces trois expressions.

L équation (8), en la développant, devient par les mêmes substitutions

P—? [( , +m + n)k — (m-f n)a' — ( i + n)mb‘-( 1 -f m)nc')] 1 -^.^(k—a'—mb'—nc%(mn-^-m+n)k—mn(a^‘-^^b%-^-c,)] > (u) — mnk{k — a' — mb'—nc')' — a. )

Le dernier ternie de cette équation étant négatif, les racines sont ou toutes trois positives, ou l’une positive et les deux autres négatives; or, dans le premier cas, la surface se réduirait à un point; le second cas est donc celui qui a lieu ici , et c’est en effet ce qu’il est facile de vérifier.

Soit par conséquent p. la racine positive de l’équation précédente, — p et — q les deux racines négatives. L’équation (a) deviendra

fix1' — pf* — qz'‘ = o ,

et l’on aura par conséquent pour l’expression de R* réduite à sa forme la plus simple ,

R* = p, cos" 6' — (pcos'ai1 -f- <7sin*ûi')sin*0',

6' et ai' étant ce que deviennent 9 et o relativement aux nouveaux axes des coordonnées. L’angle 0' se compte à partir de l’axe des x , c’est-à-dire de l’axe du cône tangent à la couche elliptique , qui répond à une valeur déterminée de À*; à la surface du cône on a R* = o, et par conséquent,

p cos’ «'4 ■ q sin’ »'

cos* Ô = ; — r-; r—.

f* -f- p cos v -+■ q sm *

Or, les intégrales (9) devant être prises entre les limites qui répondent à R = o, il est clair qu’il faudra, après y avoir substitué, pour ô et «, leurs valeurs en & et u> , les étendre depuis 0 = o jusqu’à 6 = 8', et ensuite depuis co' —o jusqu’à e/= 17t. Mais si l’on change ô et a en 0' et a>' dans les for-» mules (4), on aura les suivantes :

f'fdVdm sin 6' cos 6'

JJ

J'J'dà'dmaiu' (f cos •' dÜ dm sin’ 6' sin*'

A' , B', C' représentant ici les attractions de la couche elliptique décomposées, parallèles aux axes principaux du cône tangent.

Or les deux dernières formules' se réduisent à zéro, parce que si, après avoir effectué l’intégration relative à G', on substitue pour G' et R leurs valeurs, elles deviendront de la forme

' , jrj . . « ,

A' P cos œ'da' , B '=J~ P sin »W»',

P étant une fonction de sin*»' et cos*»', et que les angles cm' étant pris à égale distance au-dessus et au-dessous de deux angles droits, les valeurs correspondantes de Pcos&i' et de Psinco' sont égales et de signes contraires. L’attraction de la couche est par conséquent dirigée tout entière suivant l’axe du cône tangent; et si l’on représente cette attraction par K dk, on aura ses trois composantes parallèles aux axes de l’ellipsoïde, en multipliant K dk par les cosinus des angles que forme l’axe du cône avec les axes des x, desj' et des z ; en faisant donc

V d'i' si n fl' cos Ô

on aura A, = K cos a, B/ = Kcos£, Cy=Kcos^,

IO

et par suite,

A '—f Kdkcos*, B =/" KdkoosC, C= Ç KdAcosy. (la) J o J o J o

4. Cela posé , occupons-nous d’abord de la fonction K. En substituant pour R sa valeur, on trouve

(f </â'siu6'cosfl'

y' ft — y' fi— (^+pco3,»'+yjin’«/)sinîÔ'

ft-j-fJ cos’» -f-çaia’m

ou bien en substituant pour sin’ô' sa valeur tirée de l’équation ( b ) ,

e'dS'sinfl'cosô'

fi -\-p cos’ »' -f- ÿ sin’»'

on aura, par conséquent,

t* p cosa * + q sin** *

Cette intégrale doit être prise depuis af — o jusqu’à =^3'7f, ce qui revient à la prendre depuis »' = o jusqu’à e/= 7f , et à doubler les résultats. Or, on sait

que dans ces limites on = “fi

on aura donc

V^+p) V ie+q)

L’équation (11), dont ft, — p et — q sont les trois racines, donne, sans être obligé de la résoudre,

^ — p — q — (i +m-f-n)À: (m-f-n)n* — { 1 -f -n)mb*

— (1 -f m)nc' ,

ftpq — mnk ( k—a * — mb‘ — ne*)*. 1 -

Si l’on tire de ces équations les valeurs de p~\-q et de pq, qu’on les substitue dans l’expression de K, en faisant , pour abre'ger ,

H‘= ifi? — — (m+n)a' — (i-f n)mA’-(«

+ mnk (k —

ou bien, en vertu de l’e'quation (u),

H1 = — (i-f-n)mô* — (i-f-mjrac*] )

— 2 p(k — a* — mb' — nc*)[(mn-f OT-f-n)A— mn(a*-f-6*4-c*)l >(i3)

-f- 3 mnk(k — a* — mi’— nc’)% .. j

on aura

La quantité K se trouve ainsi exprimée en fonction de la seule racine positive p de lequation (i i) , et de quantités toutes connues.

Pour obtenir maintenant l’intégrale fKdk, il faudrait déterminer p en fonction de k, ce qui obligerait à résoudre l’équation ( 1 1) ; mais il est beaucoup plus simple d’exprimer k et p en fonction d’uûe nouvelle variable, et de substituer cette variable à la place de k et de p dans les formules de l’attraction.

Faisons

l = a‘-f- mb'+nc* — k ,

h étant ainsi une quantité nécessairement positive^ puisque le. point dont les coordonnées sont a, b,c, est situé en dehors de la surface de l’ellipsoïde, l’équation (i i) , en y introduisant cette valeur, peut s’écrire ainsi * . ..

(t+l) (t+ml) n/ )— /) (t+nl)

-n’c'(t+l)(t-{.ml)=;o,

ou bien

a* . m'b* . n'cx

t+l’' ‘ t+nl *'

Si l’on multiplie le premier membre de cette équation par l, et le second par sa valeur, on en tire

mb't

nc't

f-f- ni ’

Soit = «*, ce qui donne

l + mlz=L 7rt)u*], t+nl—~ [n + (j— n)u>].

d’où , en différentiant et faisant , pour abréger,

on tirera

dk

nQ’udu

Exprimons de la même manière la quantité H. En substituant pour k sa valeur précédente en A dans l’expression (i3), on trouve

H’ a’(t + ml) ( t + nl ) m’b’(t + l) (t + ni)

i(f+7) "t" l(.t + ml)

i ( l + ml ) ^

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

et en mettaot pour < + /, et t + ni leurs

valeurs, on trouve

on aura donc ainsi

Si l’on introduit de même la quantité u dans les formules (10), on trouvera

(t + ml) (t + ni) — m’ft’fl 4- ni) — n’c’ (t -\-ml) cos a — — 1 ,

a mab{t 4- ni)

COS G == : i

nacltA-ml )

cos>= 1

La première de ces équations peut s’écrire ainsi

cosæ =

— (a*~*) (*4-wO ( t+nl) + mb‘t(t+nl)+nc'l(t+ml )

et en vertu de l’équation (m) , elle devient simplement

a\l 4- ntl) (/ 4- ni)

cos a =

en vertu de la relation cos * a - f- cos* G -f- cos * y ? ,

on a d’ailleurs

A’= (< ^7)v [*'(< 4- miy (t+Hiy + m'b' ( i+l)‘(t+ ni y

+ n'c'(t + ly(i+ml)'].

on bien , en mettant pour t sa valeur en u, A = ~t Q ,

et par suite.

et. — -h(,~ m>’1 [» + («-

cos S — mbtm + (* — ”)“J1

cos y — y[«+fi ->■)«•].

Si l’on substitue maintenant ces valeurs et celles de K dk dans les formules (ia) , et qu’on fasse

on aura

r* u'du

y mnj

' 0 y , -f. vu* y , 4- A'*u> '

fu' u'du

y mnJ

u'du

y mnj

y 1 4- Aau* ft -t. »

Les intégrales relatives à k devant s’étendre depuis ^ 0 jusquà k = k' , les intégrales précédentes

devront être prises depuis u= o jusqu’à u = ur, en supposant que u' soit la valeur de u qui répoud à la surface (*).

(*) Ces formules correspondent à celles qu’avait obtenues Legendre dans ses savantes recherches sur les attractions des sphéroïdes elliptiques ( Mémoire, de V Académie de,

DU SYSTÈME DU MONDE. i5

En introduisant dans ces formules la masse du sphéroïde M — y . , on verra qu’elles sont

identiques avec les formules relatives aux points intérieurs, n° 9, liv. V ; seulement, les limites des intégrales sont différentes. Dans le premier cas, les limites des variables comprises sous le signe f sonto et i, et dans le second o et u' •

Si l’on veut que dans les deux cas les intégrales soient comprises dans les mêmes limites, on supposera à la surface du sphéroïde w'* = > et l °n

fera respectivement dans la première, la seconde et la troisième, (

hx — hx —

hx —

uk^+1, u\/h ’ •+ j u y/ 1 -+- a*u* ’

Sciences , 1 988 ) ; mais ce n’est qu’à travers une série de calculs inextricables, et en altérant même les expressions primitives des attractions par des considérations qu’il justifie, il est vrai, mais qui laissent toujours quelques doutes dans les esprits, qu’il y est parvenu. La comparaison de sa méthode à celle que nous avons suivie , est curieuse pour tous ceux qui s’intéressent aux progrès du calcul intégral. L’artifice si simple qui fait disparaître des expressions de l’attraction des ellipsoïdes sur les points extérieurs le radical qui eu avait rendu jusqu’ici l’intégration directe si difficile , si ce n’est tout-à-fait impossible, par les méthodes ordinaires, mérite surtout de fixer l’attention , comme l’une des plus heureuses idées que l’histoire de l’analyse nous présente.

j6 théorie analytique

Qu’on remplace ensuite m et « par leurs valeurs ^ ~ , dans A* et A*, et qu’on introduise la masse M de l’ellipsoïde à la place de sa valeur — , on trouvera

* 3 y mn

A 3«M Ç x'dx

~ yh'+çJ y a*+£-k"a'’— A'jiÿi'+j+f*'*- h')x' *i R 3JM r x'dx |

V V fc'*+{+(À*r -T*)** V V<+ ’ |

r 3cM Ç x'dx j

Ces formules, que l’on pourrait aisément déduire des valeurs de A, B, C, n® i3 , liv. V, sont absolument semblables aux formules du n° g, relatives aux points intérieurs; elles n’en diffèrent qu’en ce que les trois quantités h1, h’*, h"‘ sont augmentées ici de la constante £; pour déterminer cette constante, il faut observer qu’à la surface de l’ellipsoïde on a «*=«'•=

en substituant cette valeur et celles de m et r dans l’équation (i3)* et faisant k — h‘f on aura

On démontrerait , comme on l’a fait pour l’équation («) , n° 1 3 , livre V, que cette équation n’admet qu’une seule racine réelle et positive; elle ne donne donc aussi qu’une valeur unique pour l’indéterminée x,.

Si le point attiré était à la surface du sphéroïde , on aurait

üïgitizètTb

et par conséquent jj = o ; dans ce cas , les formules (16) coïncident avec les formules relatives au point intérieur, comme cela doit être.

Les formules (i6') mettent encore en évidence le théorème de M. Ivory ; en effet , si l’on nomme h/} A /, h” les trois demi-axes d’un ellipsoïde passant par le point attiré, et qu’on fasse

on en tirera

L’ellipsoïde déterminé par la valeur de la quantité £ et l’ellipsoïde donné se correspondent , par conséquent, de telle sorte que les sections principales situées dans le même plan sont décrites des mêmes foyers. Les attractions de ces deux ellipsoïdes sur le point dont les coordonnées sont a , b , c , sont proportionnelles à leurs naisses , et les composantes de leurs attractions , respectivement parallèles à chaque axe, sur des points conàispondans de leurs surfaces , sont entre elles comme les produits des deux autres axes.

5. On peut exprimer, d’une manière très simple, an moyen des fonctions elliptiques, les attractions de l’ellipsoïde, soit par rapport aux points intérieurs, soit relativement aux points extérieurs.

Pour cela, en supposant, comme dans le n* io Tome II. a'

du livre cité, que le plus petit des trois demi-axes du sphéroïde soit h , h! l’axe moyen , et h" le plus grand, en sorte qu’on ait h" > h, h' > k" ; si l’on fait

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