a cos (ht 4- /) 4- b cos (h't 4- /')] cos (m — n)t, J

Ces valeurs de s et r' renferment quatre arbitraires, a, b' , l et V ; elles sont donc les intégrales complètes des équations (4).

Quant aux valeurs des quatre constantes a', b', l et P, elles se détermineront d’après les conditions initiales du mouvement, ou, ce qui revient au même, d’après les valeurs qu’ont les six variables 9, 4> />, Y, r> à une

époque déterminée , par exempte , & l’instant où l’on compte t = o. ■ Si l’on nomme y l'inclinaison de l'équateur à l’écliptique, et qu’on suppose l'angle yf. compté de l’intersection de ces deux plans à l’origine du temps t, on aura pour cet instant f> = 4 = o ; nous supposerons, de plus,, que sans l’action, des forces perturbatrices , la Terre tour-; lierait rigoureusement autour de son troisième axe principal; en sorte que les composantes de sa vitesse, par rapport aux deux!* autres axés., sont nulles au même instant ; on. aura donc ainsi p~ o, q = o, et r=n, et les équations (a) et (3) , donneront ainsi

ds ' ds'

r = o, *=y, Tt^nv, - = o.

Si l’on suppose t = o dans les valeurs de s et / et dans leurs différentielles , et qu’on les compare aux précédentes , on trouvera

o’sinf 4- ù'sinT = o, a cos l 4- bcosl' = y,

* [a'A — a(m — n)]cosf 4" \b'h — b (m — n)] cosl' — ny, [ah — a(m — n)] sin l 4* V>h‘ — b'(m — n)] gin l' = o.

Si pour abréger on suppose —, =* ,-p = A' , de ces équations on tirera i . , , .

h' -r- mk' . , A — mk

l>\~ — ^y, /=ov / =o. ,tc)

a~kh' — k'hy' ih’ — k'h

Les valeurs de r et j' deviendront ainsi :

^A' — mk' . , c A — toA

(A — mA . . A — mA . \

ÂÂ^TTÂ sin*' -WZTVh sln htjycos(m- n)t

/A' — mA' . . A — mA . \ . f .

— \ A A* ^^k cas ht ~~'-kh'— k'h * C0S ‘ ‘)y*la (m — n)A f

/A' — mk' . ■ h — rfik . ,\

= Kkhr^TkTi m>h‘~ tîT-TFi ,m/“>9,n(m“

+ (kTr^niwht~ n7zÎA*,co»vt)ycos(m n)/.

Développons ces valeurs. Considérons d’abord le cas où le mouvement de rotation du sphéroïde est supposé anéanti , il faudra dans ce cas faire n = o dans les formules précédentes, qui deviendront ainsi :

/W -mk'

, / h' — mk'

S \kh'—k'h . /A' — mk

En supposant iri

Asin hl —

A — biA . • >

JEÂC-A'A *,n h ‘ y

)y cosm/,

A cos ht —

kh'-k h

)y sin mt,

A — mit . , N

| y sin m/,|

AA'— 'A' A smAlJ

h~mk k-c^h'A

) y cos rrtt , ,

H'— k'h coihl)

zmh zmlï

L’cquation ( a ) en y faisant n — o devient

-.j •«-. < ... . ,».ri

A»— 2 ro> (t-fn’jA* + (t— 2« ) m< = o;

d’où l’on tire

La quantité a* est de l'ordre de l’aplatissement du sphéroïde;) si l’on, suppose donc que 1& figure de la Terre différé peu de celle de la sphère, on pourra regardér à* comme nnc petite quantité, et développer la valeur de A* par rapport à ses puissances ascendantes. Si dans une première approximation on néglige les puissances supérieures à la seconde, on aura . -

d’où l’on tire , en prenant pour A et A’ les deux racines positives de cette équation ,

et l’on aura généralement, en résolvant par approximation l’équation (</) ,

q étant égal à l’unité, plus à une fonction de l’ordre

En substituant cés valeurs et celles de k et k’ dans les expressions (io), on trouve, toute réduction faite }

' = ” L~vr=^r) + Bô=éŸ) cos 2m‘J 7 SM ‘îml

H 7— . — y 8in o.mt coamqmt ,

— ; q) Y^cos 2Tnl]y cos^m<

3mqy

■ y sin 2 mi sin *qmt.

Il sera facile, au moyen de ces expressions , d’avoir les valeurs des et s avec tel degré d’exactitude qu’on vaudra; elles conserveroht toujours la même forme , et l’on voit

4o • THÉORIE ANALYTIQUE

qu’elles se composeront de deux parties distinctes, l’une dépendante dit mouvement du Soleil danà son orbite , et dont la période sera seulement d’une demUannée ou de six mois l’autre dépendante de l’angle uni, qui croit avec une grande lenteur, puisque « est supposé une très petite quantité , et qui fournira par conséquent les inégalités à longues périodes des mouvemens de l'équateur terrestre, les seules qui doivent nous occuper ici. Si pour simplifier les formules , nous supposons qu’on néglige les puissances de * supérieures à la seconde , ce que nous pouvons faire sans nuire à la généralité de la question , puisque ce que nous dirons relativement à cette première approximation pourra, au moyen des valeurs précédentes, s’étendre à toutes les approximations suivantes , eu faisant q = o , on aura , dans ce cas ,

s ^ — - «y sin mml -f- -y y cos mml sin a ml, a 4

/ ==^i-H ^ y cosamt — y

cos mml cos a ml.

Examinons les conséquences de ces expressions relativement aux déplacemens de l’équateur terrestre.

5. L’équation (6), lorsqu’on suppose n=o, donne 0 = 4> on a donc alors, en vertu des équations (3) ,

s = tang 9 sin 4 , «' — tang é cos 4 ; ( 1 1)

d’où l’on tire '

tang4 = j, tang 6 = {/s*

En substituant donc pour s et »' leurs valeurs , on aura.

tang 4 =

— - m sin «ml + y cos mml sin a ml

COS mml

, — y cos mml cos a ml

Si Ton fait abstraction des inégalités périodiques , qu’on

Dü SYSTÈME DU MONDE. 4i

nomme 4’ ce que devient 4 dans ce cas , on aura simple-

ment

tang 4” = — ; * tang «mt ,

et 4' sera la longitude de l’équinoxe moyen comptée d’un équinoxe fixe; d’où l’on conclura, par les formules connues

■ -j cos* «mt sin a mt

ta QP (J ZZZ ■■ ■ — ... I .1 T ■ ! Il » -...a—

® cos* «mi j «“ [i — (i-f- cos 2mt) cos* mmi\'

ou bien aux quantités prés que nous négligeons

tang (4 — 40 ?= -j sin a mt.

L’angle 4 — 4* demeurera donc toujours très petit, c'està-dire que l’équinoxe vrai s’écartera toujours très peu de l’équinoxe moyen , et ne fera autour de ce point que de légères oscillations, dont la durée sera de trois mois à peu près,

et dont l’amplitude ne surpassera pas -j.

Considérons donc uniquement les variations de l’équinoxe moyen ; l’équation

tang 4* = — t«tang«mt

montre que l’angle 4' croit toujours dans le même sens à mesure que l’angle mt augmente depuis zéro jusqu’à 36o°. Le mouvement des équinoxes sera donc révolutif ; et comme l’angle 4 est compté , par hypothèse, en sens inverse du mouvement du Soleil , le mouvement des équinoxes sera direct.

Quant au temps qu’emploie le même équinoxe à revenir à la même position , ce sera celui qui correspond à une augmen-

talion de 36o° de l’angle ami ; il sera donc égal à , et

comme est la durée de l’année sidérale , il est clair que -

tn * rt

4a THÉORIE ANALYTIQUE

exprimera le nombre d’années que la ligne des équinoxes emploie à faire une révolution entière.

Supposons , pour fixer les idées , que la Terre soit un ellipsoïde homogène ; si l’on prend le demi-axe des pôles pour unité, et qu'on représente par r-f-i le demi-axe de l’équateur, en sorte que t soit l'aplatissement du Sphéroïde , d’après les valeurs connues des moniens d’inertie de l’ellipsoïde , on aura ' ’•

A,= g M [«+(.+ 0*3/ Cs=^. (i+0%

M étant la masse du sphéroïde terrestre. En négligeant donc le carré de l’aplatissement < , on aura . ■

.Si Ton suppose l’aplatissement de , ce qui est à très

peu près celui de la Terre, on trouvera - = 1 4 1 24 ; dans ce

Ct

cas, la durée d’une révolution des équinoxes serait donc d’environ quatorze années. Elle serait plus courte , et ne surpasserait guère douze années, si Ton supposait l’aplatissement

de la Terre de , comme dans le cas de l’homogénéité de

cette planète.

Considérons maintenant l’expressiou de l’inclinaison de l’équateur sur l’écliptique fix,e. Si Ton ajoute les carrés des valeurs de s ct s', eu négligeant les termes simplement périodiques , et les puissances de « supérieures à la seconde , on aura

cos a amt

La valeur de l'angle fl sera donc toujours très petite et du même ordre que l’inclinaison initiale y; l’équateur, par. conséquent , s’écartera toujours très peu du plan de l’écliptique.

DU SYSTÈME du monde.

On n , d’ailleurs , à très peu près ,

fl == y cos 2*mi.

A l'origine du mouvement on a < — o et 8 = l’angle l ira ensuite en diminuant jusqu’à ce qu’on ait «ml rx 90%

ce qui donne t — , cos =1—1 et I = — y ; l’angle fl

augmente ensuite de la même manière qu’il a diminué, jusqu’à l’époque correspondante à *mt = t8o° , où il reprend sa première valeur. Le plan de l’Equateur forme ainsi un pendule qui oscille de part et d’autre du plan de l’écliptique fixe ; son plus grand écart est égal à y et la durée d’une double oscillation, c’est-à-dire l’intervalle entre les retours, à la même.

position sera — — . Nous avons vu que pendant ce meme

intervalle la ligne des équinoxes parcourait la circonférence entière d’un mouvement direct : l’équateur terrestre , après chaque double oscillation, se retrouvera donc exactement, par rapport à l’écliptique , dans la même position qu’à l’origine du mouvement , ët recommencera dans les mêmes conditions les oscillations successives. On voit encore que la durée

t = de l’oscillation entière est indépendante de l’angle y,

c’est-à-dire de l’écartement primitif de l’équateur et de l’écliptique, pourvu que cet angle soit supposé très petit; elle ne dépeud que de l’aplatissement du sphéroïde : il en est de même de la précession. C’est ainsi que, dans le mouvement du pendule, La durée des petites oscillations est indépendante de leur amplitude , et que par suite ces oscillations sont isochrones.

6. Nous avons supposé l’angle 4 compté de l'équinoxe cor-' respondant au temps t — o , et comme nous avons représenté par ml -+■ 4 la longitude du Soleil correspondante ait temps t , il en résulte que nous avons supposé qu’à l’origine du mouvement, le Soleil était dans la ligne des équinoxes. Comme on pourrait craindre que ces diverses hypothèses n’altérassent

la généralité des résultats précédens , examinons le Cas où le Soleil se trouverait à une distance quelconque de l’équinoxe à l’origine du mouvement En comptant les longitudes sur l’écliptique fixe, A partir de la droite menée du Soleil à la Terre à l’instant ou »•= o , il est clair qu’il suffira d’augmenter dans les formules précédentes l’angle 4 de la constante £, qui représentera l’angle compris entre la droite fixe et la ligne des équinoxes à l’origine du mouvement ; on aura ainsi <

s = fl sin (4 -f- £ ) ,. a' = t cos (4-4- ®)-

Si l’on développe ces deux expressions , et que pour t sin 4 et 6 cos 4 > on substitue leurs valeurs précédentes , en n’ayant égard qu’aux inégalités séculaires , on aura

’ s = y sin £ cos «ont — ; «y cos £ sin «ml,

, s' = y cos ff cos «ml — i «y sin C sin «ml.

Ces valeurs, substituées dans les équations (u) , donnent

sin 6 cos «ml — ~m cos C sin «mt

tang 4 = f t : — 7-r- .

" cost cos «mt — i « sm C sin «mt

Cette expression , en la différenliant et en observant qu’on a.

cos* 4 — — ri — — donnera

— I «’m* — (sin* £ — cos* C) .

dt 2 I* v '

Cette équation montre que le mouvement des équinoxes sera révolulif et non simplement oscillatoire, puisque la variation ~ ne changeant pas de signe, l’angle 4 augmente

toujours dans le même sens. Cet angle étant compté d’ailleurs, n° 2, en sens inverse du mouvement du-Soleil, il en résulte que le mouvement des équinoxes sera rétrograde si l’on a sin £ > cos £ ; il sera direct dans le cas contraire. Ainsi donc , le mouvement des équinoxes sera direct, c’est-à-dire

qu'il aura lieu suivant l’ordre des signes; tant que la valeur de C se trouvera comprise entre C = o et C = 45° ; il sera rétrograde pour les valeurs comprises entre î=45° etC=go°. En d’autres termes, le mouvement est direct ou rétrograde, selon qu’à , l’origine du mouvement la distance du Soleil à l’équinoxe moyen était moindre ou plus grande que 45°. Le cas de S = o que nous venons de traiter se trouvait compris dans la première supposition.

Le cas où l’on suppose » = 45° demande une attention particulière. Les formules précédentes donneraient, dans ce

cas, ^ = 0 et tang 4 = ^> en sorte que l’analyse dont nous

avons fait usage n’y serait pas applicable. Il faut alors remonter aux valeurs de s et de s\ et les traiter d’une manière particulière. Mais comme cette digression nous mènerait trop loin , nous renverrons sur ce point au Mémoire de M. Poisson , où ce cas singulier a été examiné avec tout le soin qu’il exige (*).

La vitesse ~ du mouvemeut moyen des équinoxes n’est

pas constante, comme on le voit par l’expression précédente.; elle est en raison inverse du carré de l’inclinaison ê de l’équateur à l’écliptique , en sorte que ses maxima répondent aux minimaàe cette inclinaison , et réciproquement. Quant à la durée de la révolution entière des équinoxes, il est clair que l’angle 4 augmentant de 36o° quand mmt croit d’une circon-

férence , elle sera de , c’est-à-dire la même que dans le

mm n

cas que nous avons précédemment examiné. La distance primitive C du Soleil au nœud ascendant de l’équateur n’influe donc pas sur la durée de la révolution des points équinoxiaux, qui est également indépendante de l’inclinaison mutuelle de ces deux plans , quand ou la suppose très petite.

(") Conn. det Tems ponr 1837.

Considérons maintenant l’expression de l’inclinaison. Si . dans Téquàlion 6* = r* -f- /*, op substitue pour s et s' leurs valeurs, on trouvera

*’= tv’ ('+ Z •’) + \ v* (1— 4 O cos 2 *mt — 1 «-/ sia 2C sin i«mi.

Si dans cette expression on néglige d’abord les quantite’s de l’ordre on aura

= -j y’ 4- I y’ cos 2*ror — { «y* sin iC sin a*mt.

Ou voit qu’alors les maxima de la valeur de t correspondent à S —y, et les minima à t = o ; la valeur de 9 ne pouvant devenir négative, le plan de l’équateur oscille toujours du même côté du plan de l’écliplique fixe, entre les deux limites d’inclinaison zéro et y. Si l’on a égard dans l’expression de e1 aux termes de l’ordre on trouve alors pour la limite inférieure des valeurs de 9 , 8 = A «y ; le plan de l’équateur n’atteint donc jamais dans ce cas celui de l’écliptique , et ses oscillations se trouvent comprises entre les limites d’inclinaison y et A «y.

7. Pour comparer les résultats précédens à ceux qui ont lieu dans le cas où l’on suppose le sphéroïde animé d’un mouvement de cotation très rapide relativement au mouvement de l’astre L qui agit sur lui , reprenons les formulés générales (8) , ët développons-les dans cette hypothèse. En faisant ici

Inéquation (a) devient

ftt — [m*4- (m — n)‘ — nin (m — n) -J- 3/nrjù'

-f- m1 ( m — n ) [m — n — 2in(m — n) + 3im] = o.

Cette équation , en la résolvant et négligeant les termes dépend&ns du carré de i , donnera

h * = I [m’-f- (m — //)’ — 2171 (m — n) 4- 3 im’] ± ± [m“ — (m— n)* . / laim*

+ 3",1 (« - «) - W] X v/ « + n[TO,(„,n);r i

d’où Pon «ire <

On aura donc, en extrayant les racines, 3/m*

- , h? = m— h — in

3im'-

an.

Si l'ou substitue ces valeurs dans les expressions de s et s' (8)r on aura , en rejetant les termes simplement périodiques,

l , / iim^S i . f . 3 /'m’\

* — ; «) cos (n + { i:6'-*-*) C0*(IB + ^7t)'*

Déterminons les quatre constantes a, a, b, b', qui entrent dans ces équations.

Si dans les formules (6) on substitue pour /i, h', leurs

• - i 3im* ,

valeurs, en supprimant le terme ---- , parce qu il nen

résulterait, dans les valeurs des et. s', que des quantités de l’ordre de celles que nous négligeons , ou aura

a (2 m‘ — n — in)m a (a m* — n — in)m ’

6 (2m — n — in) (m - y.a — Ht)

A' (m — n — mi)* -|- m (m — n — in)

En substituant ces valeurs à la place . de k et k' dans les équations (c) , elles deviennent

irzrj,

On aura donc, en vertu des valeurs de A et A',

Au moyen de ces valeurs, les expressions precedentes de s et / se réduisent aux suivantes

On a , par le n° 3 ,

s = tang 9 sin p, s' => tan g 8 cos <p ,

et par suite, tang p = et en dilférentiant cette équation, on trouve

c ip =

s'ds — sds' s * ’

Les valeurs précédentes de s et s', en les dilférentiant , donnent , -

En substituant ces valeurs, ainsi que celles de s et s', dans la valeur de dp , et en observant que s * + s'1 = y*, on aura

dp 3wn*

dt ~~ ” an *

mais, en vertu de l’équation (6), on a

On aura donc enfin

dt T dt

dty Sim'1

dt an

“* ‘ DigitizecfBÿ tioôgle

Si à la place de i on substitue sa valeur — — — , ou, ce qui rc-

vient au meme, — 7, — , la différence — entre ces

deux quantités étant de l’ordre de celles que nous négligeons.

3 m'dl /C — A'

formule qui coïncide avec celle de la précession des équinoxes, donnée n° 25, liv. IV, lorsqu’on suppose la Terre un sphéroïde de révolution , et qu’on fait abstraction des inégalités qui résultent des déplacemeus séculaires de l’écliptique. Nous aurions donc pu déduire immédiatement la valeur précédente de son expression generale , 11° cité , ou de l’expression particulière 3 laquelle nous sommes parvenus par une autre voie , n° a ; mais cette reproduction des mêmes formules , par des procédés différons , n’est jamais inutile ; elle donne plus de clarté aux premiers aperçus, et montre dans tout sou jour l’admirable fécondité des ressources de l’analyse. ,

Si maintenant on suppose ici

=—7 , en observant

qu’on a ™ = 355^5533» et Tue 1 désignant un nombre

quelconque d’années juliennes , on a m — 1295975'', 10 ; la formule précédente , en y substituant ces valeurs , donnera

4^ = ty*,5oy23 t.

Ainsi, dans ce cas, la durée d’une révolution entière des points équinoxiaux , serait de plus de y4 02® années , ce qui diffère étrangement des 14 années que cette révolution employait & s’accomplir dans le cas que nous avons d’abord examiné, où le sphéroïde n’a point de mouvement de rotation .

Si l’on supposait m = n, c'est-à-dire la vitesse du mou-