P s= o, I.Yp = o

D’où il suit que pour l'équilibre d’un système de forces agissant dans le même plan et dans des directions parallèles, il faut i*. que la somme de ces forces soit égale à zéro ; 2*. que la somme de leurs momens, par rapport à un point quelconque du plan, soit nulle.

7. Considérons enfin un système de points de forme invariable , sollicités par des forces dirigées d’une manière quelconque dans l’espace, et déterminons les conditions à remplir pour qu’un pareil système soit en équilibre. Soient P, P', P", etc. , les intensités des forces appliquées au système; x, y, z, x?, y', a', etc. , les coordonnées respectives de leurs points d’application ; a, b, c, les angles que forme la direction de la force P avec les axes des x , des j- et des z; d , b', c, les angles que forme avec les mêmes axes , la direction de P', et ainsi de suite. Je décompose chacune des forces P, P', P", etc. , en trois autres , P cos a, P cos b, Pcosc, P'cosa', P'cos b', etc., respectivement parallèles aux axes des coordonnées. Je prolonge la direction de la force P cos a jusqu’à ce quelle rencontre le plan des y z en un point dont y et z sont les coordonnées ; je décompose ensuite cette force en deux autres égales entre elles et parallèles à sa direction, agissant l’une dans le plan des xy, l’autre dans le plan des xz. Chacune de ces composantes sera , n° 6 , égale à J P cos a ; la première

agira perpendiculairement à l’axe des y, à une distance 2/ de l’axe des x, la seconde perpendiculairement à l’axe des z, à une distance 2Z du même axe.

J’opère une décomposition semblable sur les forces P' cos a', P" cos a", etc., en sorte que le groupe de forces Pcosa, P' cos a', etc., parallèles à l’axe des x, se trouve ainsi remplacé par deux groupes de forces, {P cos a, {P'cosa', etc., agissant parallèlement au même axe, l’un dans le plan des xy , l’autre dans le plan des xz, aux distances respectives a y, ay', etc., az , az', etc. , de l’axe des x.

Je remplace de même le groupe des composantes P cos b, P' cos b', etc., parallèles à l’axe des/, par deux groupes de forces j P cos b, \ P cos b', etc. , agissant parallèlement au même axe, l’un dans le plan des xy, l’autre dans le plan des yz, à des distances respectives, 2X, axf, etc., 2 z, 2z', etc. , de l’axe des/, et le groupe des composantes P cos c , P' cos c , etc. , parallèles à l’axe des z , par deux groupes de forces a P cos c, A P' cos c', etc. , agissant parallèlement au même axe, l’un dans le plan des xz, l’autre dans celui des/z, aux distances respectives ax, 2x', etc., 2/, a/', etc. , de l’axe des z.

Ainsi donc , toutes les forces qui agissaient dans des directions quelconques sur le système que nous considérons, se trouvent remplacées par des forces, agissant dans les trois plans coordonnés , et partagées sur chacun d’eux en deux groupes de forces respectivement parallèles aux axes que renferment ces plans.

Il est clair, d’après cela, que si l’équilibre a lieu sur chacun des plans coordonnés , il aura lieu dans le

DU SYSTÈME DU MONDE. ag

système entier. Or les conditions dequilibre sur chacun des plans des xy, des xz, et des y z , seront exprimées n° 5 par les équations respectives

£2. P cos a = o, ^2. P cos# =s o,

^2. [P (2 y cosa — 2X cos #) ] = o,

1 2. P cosa = o, ; 2 . P cos c = o, j 2 . [P ( 2X cos c — 22 cos a ) ] = o,

£2. P cos# = o, j2.P cosc = o,

{ 2. [P ( 2Z cos # 2 Y cos c ) ] = o.

Ces neuf équations n’en forment véritablement que six différentes entre elles ; l’équilibre du système sera donc assuré, lorsque les forces P, P', etc., satisferont aux équations suivantes :