P ( z cos# — y cos c)] = o

C’est-à-dire qu’un système de forme invariable, sollicité par des forces dirigées d’une manière quelconque dans l’espace , est en équilibre toutes les fois que la somme des composantes de ces forces respectivement parallèles à chacun des axes coordonnés est nulle , et que la somme de leurs momens sur chacun des plans perpendiculaires aux mêmes axes est respectivement égale à zéro.

Ces conditions suffisent pour assurer l’équilibre du

3o THÉORIE ANALYTIQUE

système, et il est aisé de démontrer que cet équilibre ne saurait avoir lieu sans elles. En effet, il existerait nécessairement sur celui des plans coordonnés pour lequel les équations d’équilibre (7) ne seraient pas satisfaites , une force libre. Si les trois plans coordonnés se trouvent dans ce cas, le système sera -nécessairement mis en mouvement, parce que trois forces situées dans des plans différens ne peuvent jamais se faire équilibre. Si les équations d’équilibre sont satisfaites sur l’un des plans coordonnés , sans l’être sur les deux autres, les résultantes des forces agissant sur ces plans ne sauraient se faire équilibre, â moins d'être situées toutes deux sur leur intersection commune, égales et de direction contraire; ce qui est impossible d’après la transformation précédente. Enfin , si les , conditions d’équilibre étaient satisfaites sur deux des plans sans l’être sur le troisième , les forces situées dans ce plan mettraient nécessairement le système en mouvement.

Si le système n’est pas en équilibre, et si les forces P, P', etc., qui le sollicitent ont une résultante R, il est clair que l’on rétablira l’équilibre dans le système en ajoutant aux forces P, P', etc. , une force égale et directement opposée à la force R. Soient donc A, R, C, les angles que forme avec les axes coordonnés la direction de R; soient x, y, z, les coordonnées d’un point quelconque pris sur cette droite; désignons de plus, pour abréger, par X, Y, Z, la somrrie dés composantes des forces P, P', etc. , respectivement parallèles aux axes coordonnés, et par L, M, N, la

somme de leurs moraens relatifs aux mêmes axes. Les

DU SYSTÈME DU MONDE. • 3i

six équations de'condition (7) devront être satisfaites en y introduisant la force R en sens inverse de sa direction ; on aura donc

X — R. cos A = 0, Y — R.cosB = o, 1

Z — R.cosC = o; I

L — ( \i - Zy) = o, M — (Zx — Xz) =! o, ( ^ N — (Xy — Yx) = o. '

Les trois dernières équations qui appartiennent aux momens , expriment aussi une relation qui doit exister entre les coordonnées d’un point quelconque de la résultante R; elles peuvent être regardées par conséquent comme les équations des projections de cette force sur les trois plans coordonnes, t# 1 on élimine entre ces équations les variables x, y, z, on aura