LX -f- MY + TNZ = o

C’est l’équation de condition nécessaire pour que les trois dernières équations (8) puissent appartenir à une même droite , et par conséquent pour que les forces P, P'» etc. , aient uue résultante unique. Lorsqu’on sera assuré que cette équation est satisfaite, les trois premières équations (8) serv iront à déterminer immédiatement la grandeur et le sens d’action de cette force.

Si les forces P, P', etc. , n’ont pas une résultante unique, on pourra toujours les réduire à deux forces, mais ces forces seront indéterminées de grandeur et de direction. Soient en effet R', R", R"', les trois résultantes partielles que l’on obtient par la composition

3a THÉORIE ANALYTIQUE

de toutes les forces qui agissent sur chaque plan coordonné, par les directions des forces R", et R"', menons deux plans parallèles à la direction de la troisième force R'; menons ensuite par cette dernière un nouveau plan qui coupe à la fois les directions des forces R" et R"' : la force R' pourra se décomposer en deux autres agissant dans les plans parallèles à sa direction que nous avons rtiênés suivant les forces R" et R'". Les trois forces R', R", R'", se trouveront ainsi réduites à deux couples de forces agissant dans le même plan , lesquels pourront par conséquent se réduire à deux forces agissant dan* des plans différens.

Si le système que nous considérons n’était pas libre, s’il était, par exemple , retenu par un point fixe autour duquel il serait obligé de pivoter, les six équations (8) ne seraient plus nécessaires pour assurer l’équilibre de ce systètne. U suffirait, dans ce cas, que la résultante des forces P, P', etc., passât par le point fixe. Si l’on prend ce point pour l’origine des coordonnées, la projection de R sur les trois plans coordonnés passant par l’origine, on aura

Cç sont les seules conditions nécessaires pour assurer dans ce cas l’équilibre du système , et la valeur v'x* + Y* -F Z* de la résultante sera la mesure de la pression que supporte le point fixe.

Si le système était retenu par deux points ou par un axe fixe, toutes les forces perpendiculaires et parallèles à cet axe seraient détruites par sa résistance. En prenant donc cet axe pour l’un des axes coor-

tîigitizêd b“(JbdgTe

donnés, pour l’axe des z, par exemple, tout l’effet des forces qui agissent dans les plans des yz et des xz sera annulé; il suffira donc, pour assurer l’équilibre du système, que la résultante des forces qui agissent dans le plan des xy soit dirigée sur l’axe des z, ou passe par l’origine des coordonnées , ce qui réduit les conditions d’équilibre à l’équation unique

C’est-à-dire qu’il faut simplement, dans ce cas, que la somme des momens relatifs à l’axe fixe soit nulle.

8. Supposons maintenant que toutes les forces qui agissent sur le système soient parallèles entre elles; si l’on fait dans les équations (8), a = a' = a"=. etc., b = b' = U' = etc. , c = c' = c''= etc. , on aura, pour déterminer la valeur et la direction de la résultante, les équations suivantes,

cos b. [z. 2. P — 2.Pz] = cosc.[y.2.P — 2.Py], cos c. [x.2.P — 2 ,Px] = cos a.[z.2.P — 2.Pz], cos a. [y. 2. P — 2.Py] = cos A. [x. 2. P — 2.Px].

D’où il suit : i°. que la résultante est parallèle aux composantes , et égale à leur somme ; a*, que les momens de la résultante, par rapport à chaque axe coordonné, sont égaux à la somme des momens des composantes, relatifs à cet axe.

On satisfait aux trois dernières équations précédentes, indépendamment de toute valeur donnée aux Tome I. « • - 5