etc.^ dz

mT6-p+CIC">*

— etc.

Si l’on intègre cette expression depuis z=h jusqu a s = o, on aura le temps que le mobile emploie à parvenir au point le plus bas. Ce temps, d’après les conditions du problème, doit être indépendant de la hauteur h dont le corps est descendu, ce qui exige que l’on ait i~f- 1 = }, et que tous les termes de la valeur de dt soient nuis, à l’exception du premier. Or, il est évident que cette condition ne peut être

satisfaite à moins de supposer b = o, etc.; l’équation

dilférentielle de la courbe tautochrone devient donc

ainsi

ds — az~^dz‘,

d’où l’on tire , en intégrant , s — laz ï, équation d’une eycloïde à base horizontale. La eycloïde est donc la seule courbe tautochrone dans le vide.

Soit r le double du diamètre du cercle générateur de la eycloïde , ce qui donne, d’après les propriétés connues de cette courbe, /•= la.', et substituons la valeur de ds dans l’expression (n) de dt ; nous aurons

dt= —

i fr dt â* V g' v/1

d’où l’on tire , en intégrant ,

Nous n’ajoutons pas de constante, parce que nous supposons que l’on compte le temps t de l’origine du mouvement, ce qui donne / = o quand z=h.

Si l’on nomme £ . T le temps que le mobile emploie à descendre au point le plus bas de la courbe, z étant nul en ce point, on aura

Le temps de la chute par l’arc de eycloïde est donc égal à la demi-oscillation du pendule, dont la longueur serait r, et dont l’écart de la verticale serait

, très petit. C’est ce qui doit résulter en effet de ce qu’au point le plus bas l’arc ds de la eycloïde se confond avec l’arc infiniment petit du cercle osculateur dout le diamètre est vertical et égal à ar.

Il est un autre problème du même genre que celui que nous venons de résoudre , et qui a long-temps exercé la curiosité des géomètres du dernier siècle, c’est de déterminer la courbe que doit suivre un corps pesant pour parvenir d’un point donné à un autre dans le temps le plus court. Us ont trouvé que cette courbe , qu’on a nommée brachjstochrone , ou ligne de plus vile descente, était une eycloïde dont l’origine était au point le plus élevé.

19. Après avoir considéré le mouvement d’un point matériel dans les trois cas qui peuvent se présenter, c’est-à-dire lorsqu’il est libre, et lorsqu’il est astreint à demeurer sur une courbe ou une surface donnée, nous allons, pour terminer ce chapitre, résoudre une question très importante dans la théorie du système du monde. Nous nous proposerons de déterminer l’attraction qu’une couche de figure sphérique exerce sur un point situé dans l’intérieur ou à l’extérieur de sa surface , en supposant cette action en raison inverse du carré des distances.

Soit a la distance du centre de la couche au point attiré; si l’on joint par une droite ces deux points, il est évident que tout étant symétrique autour d’elle, 1 l’action totale du sphéroïde sur le point attiré sera nécessairement dirigée suivant cette ligne. Nommons dm l’un quelconque des élémens du sphéroïde, et

dm

soit f sa distance au point attiré; y- exprimera l'ac-

tion que l’élément dm exerce sur ce point suivant la droite f, et en nommant y l’angle que forment entre

dm

elles les deux droites f cl a, p .cos y sera la com-

posante de cette action parallèle à cette dernière droite. * Soit donc A l’attraction totale que le sphéroïde exerce sur le point attiré, on aura

. rdm

A — .cos>;

le signe intégral se rapportant à l’élément dm et aux quantités qui varient avec lui, et devant être étendu à la masse entière du sphéroïde.

Cela posé, soit r le rayon mené du centre du sphéroïde à l’élément dm, 9 l’angle que forme ce rayon avec la droite a, et a l’angle que forme le plan passant par ces deux droites, avec un plan fixe quelconque passant par la droite a. L’élément dm peut être considéré comme un petit parallélépipède rectangulaire. dont les trois dimensions sont dr, rdQ et rsin 6 dj> ; en supposant donc, pour plus de simplicité , la densité du sphéroïde constante, et égale à l’unité, on aura dm—r * dr di do> sin 9 ; on aura ensuite, en considérant le triangle formé par les trois droites a , f, r ,

r. , o . , a — r cos 8

f* — a' — 2 ar cos a -f- r’ , cos^ = y .

L’expression précédente de A deviendra donc ainsi

A = fr* dr du d9 sin 8. - — yT~~ •

Tour étendre la valeur de A à la masse entière de la couche, il faut intégrer, i”. par rapporta r, depuis la valeur de ce rayon à la surface intérieure, jusqu’à sa valeur à la surface extérieure; a°. par rapport à ce, depuis a — o jusqu’à a> égal à la circonférence ; 5°. enfin relativement à 0, depuis 0=o jusqu’à 0 égal à deux angles droits.

On peut donner une autre forme à l’expression précédente. En effet, si l’on différencie par rapport à a la valeur 'de f, 011 a

on aura

donc

df a — r cos 6

•~dâ ~ 7 ;

A = — fr* dr da>

sin

df

da ’

ou bien , comme les variables r, ce et 0 sont indépendantes de a,

, /V* dr du di sin fl

d’où il suit qu’on aura l’action entière du sphéroïde sur le point attiré^ en différenciant, par rapport à a,

l’intégrale J'>* 8in ? , et en divisant sa diffé-

rentielle par da.

Faisons, pour abréger,

■dr du dà sin fl

Si l’on intègre cette formule par rapport à ce, depuis

8o THÉORIE ANALYTIQUE

a> = o jusqu’à « = 27 r, tt étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité , on aura

dr rf9 sin 6

Pour intégrer maintenant, par rapport à 0, remarquons que la valeur de f différenciée relativement à cette variable , donne

d& sin 9 1 , r

d’où il résulte, par conséquent, .

\ = ^.frdrdf.

L’intégrale relative à 0 doit être prise depuis 0 = o jusqu’à 0==tt; à ces deux limites on a y*=(a-r-/')* et /* = («-+-r)‘, ce qui donne , en remarquant quey

doit toujours être positif, f = a et f= a -f- r,

dans le cas où l’on a r >■ a , c’est-à-dire dans le cas où le point attiré est placé dans l’intérieur de la couche sphéricjue ; f = a — /• et y = a -f- r, dans le cas où l’on a r<a, c’est-à-dire dans Je cas où le point attiré est extérieur au sphéroïde. Ainsi , dans le premier cas on aura

V = rdr,

et dans le second

V = —.y >Adr.

La différentielle de V, prise par rapport à a, et divisée par du, donnera, comme nous l’avons vu, eu

changeant son signe, l’attraction du sphéroïde sur le point attiré; or, la première des formules précédentes étant indépendante de a , donne

d’où il faut conclure qu’un point placé dans l’intérieur d une sphère creuse nen éprouve aucune action, ou ce qui revient au même, qü’il est également attiré de toutes parts. ■ .

La seconde des mêmes formules, différenciée par rapport à a, donne

dV *r r.,

Soient l et V les rayons des surfaces intérieures et extérieures du corps attirant; en intégrant l’expressicfn précédente depuis r= / jusqu’à r~ on aura

c’est la mesure de la force attractive qui agit sur un point extérieur au sphéroïde, suivant la droite a. Mais , si l’on désigne par M la masse de la couche sphérique dont l’épaisseur est /' — /, M sera évidemment égal à la différence des deux sphères dont les rayons sont l et l'; on aura donc

et par conséquent