CHAPITRE IV

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Du Mouvement d'un système de corps.

aO. Jusqu’ici , les corps dont nous avons déterminé les mouvemens ont été regardés comme des points matériels, et nous avons vu que la force motrice avait alors pour mesure la vitesse quelle produit dans un temps donné, divisée par ce temps. Mais, lorsqu’on veut comparer entre elles des forces qui agissent sur des corps différens, il n’est plus possible de faire abstraction de leur nature, et leurs masses doivent entrer nécessairement dans l’évaluation des forces qui les sollicitent. Considérons en effet un corps que nous supposerons se mouvoir en ligne droite, comme un assemblage de points matériels qui forment les élé- ' mens de sa masse ; tous ces points seront animés de vitesses égales dirigées suivant des droites parallèles • les forces qui les produisent seront donc aussi égales et parallèles entre elles, leur somme représentera la force totale qui agit sur le mobile ; d’où il suit que cette force est égale à la masse entière du corps, multipliée par la force qui anime chacun de ses élémens. Si le mobile se meut uniformément, la vitesse de chacun de ses élémens est constante, et peut représenter la force qui la produit ; ainsi , les forces

donl l’action est instantanée ont pour mesure le produit de la masse par la vitesse du corps sur lequel elles agissent. Ce produit est ce qu’on nomme la quantité de mouvement du corps, parce que c’est en effet la somme des mouvemens de toutes les parties matérielles qui le composent. Si le mobile se meut d’un mouvement varié quelconque, la force accélératrice qui sollicite chaque élément de sa niasse est représentée par la différentielle de la vitesse, divisée par 1 élément du temps; les forces qui agissent d’une manière continue sur un corps matériel, ont donc pour mesure le produit de la masse du mobile par l’élément de la vitesse quelles lui impriment, divisé par l’élément du temps. Ce produit est ce qu’on nomme spécialement force motrice ; on réserve le nom de force accélératrice à celle qui agit sur l’unité de masse. Cette même quantité prend le nom de près sion quand la force motrice agit sur un corps qui se trouve arrêté par un obstacle, et qu’elle ne produit qu’une simple tendance au mouvement.

Lorsque l’on considère dans l’état de mouvement plusieurs corps liés entre eux d’une manière quelconque , on voit que le mouvement de chacun d’eux dépend à la fois de la force qui le sollicite, et de la réaction que les autres corps du système lui font éprouver. 11 suit de là qu’en général aucun de ces corps ne prend le mouvement qu’il aurait , s’il était libre, en vertu de l’impulsion primitive qu’il a reçue, et des forces accélératrices qui l’animent. 11 faut donc connaître les variations que ce mouvement subit par la liaison du corps au système dont il fait partie, pour

déterminer le mouvement réel qui doit avoir lieu. Cette appréciation délicate a long-temps embarrassé les géomètres, et ils s’étaient contentés de résoudre cette dilliculté dans quelques cas particuliers, par des considérations trop restreintes pour rien apprendre sur les lois générales du mouvement, lorsque d’Alembert établit le premier un principe applicable à toute espèce de système, quel que soit le mode de liaison des parties qui le composent, et propre à rendre facile la mise en équation de tons les problèmes relatifs à ses mouvemens. Voici l’énoncé de ce principe.

a Si l’on imprime aux différons corps d’un système des mouvemens qui se trouvent modifiés par leur liaison mutuelle, il est clair qu’on pourra regarder ces mouvemens comme composés de ceux que les corps prendront réellement, et d’autres mouvemens qui sont détruits; d’où il suit que ces derniers doivent être tels que les corps du système animes de ces seuls mouvemens se fassent équilibre. »

Ce principe a également lieu, soit que le mouvement soit produit par des forces qui agissent instantanément sur les corps, ou par des forces dont l’action est continue; et toutes les questions de mouvement peuvent ainsi être réduites » de simples questions d’équilibre. Cette manière de ramener les lois de la Dynamique à relies de la Statique, imaginée par d’Alembert, est extrêmement ingénieuse; mais la dilliculté de déterminer les forces qui doivent être détruites , et les conditions d’équilibre entre ces forces, rendait souvent l’application de son principe embarrassante. Pour éviter cet inconvénient, les géomètres*

qui sc sont empresses de l’adopter, l’ont modifié d’une manière heureuse en l'énonçant ainsi :

« Si l’on imprime à chaque corps d’un système un mouvement égal, mais dirigé en sens contraire de celui qu’il doit prendre, le système entier sera réduit au repos ; par conséquent il faut que ces mouvemens détruisent ceux que les corps avaient reçus, et qu’ils auraient suivis sans leur liaison mutuelle. Ainsi , il doit y avoir équilibre entre ces différeus mouvemens, ou entre les forces qui peuvent les produire. »

Ce second énoncé du même principe a l’avantage d’éviter les décompositions de mouvement que le premier exigeait, et d’établir immédiatement l’équilibre entre les forces qui agissent sur le système , et qui sont les données du problème , et les mouvemens engendrés qui en sont les inconnues. Nous avons donné, dans le chapitre deuxième, les conditions d’équilibre d’un nombre quelconque de forces appliquées à un système de forme arbitraire ; il suffira donc d’y introduire les forces qui animent le système , et les mou— vemens qui en résultent, pris dans des directions contraires, pour former les équations de son mouvement. Ces équations, jointes aux conditions dépendantes de la nature du système, fourniront toutes les données nécessaires à la détermination du mouvement de chaque corps, et il ne restera qu’à intégrer ces équations, ce qui n’est plus qu’une simple question d’analyse.

ai. Ces notions admises, considérons un système de corps réagissant d’une manière arbitraire les uns sur les autres, et sollicités par des forces accélératrices quelconques.

Soient m , ni, m', etc., les masses des différais corps du système ; x,j, z, x', y , z' , etc., les coordonnées rectangulaires qui déterminent leur position respective; soient X, Y, Z, les trois forces accélératrices qui agissent sur l’unité de la masse m, parallèlement aux axes de ses coordonnées ; mX, mY, mZ, seront les forces qui sollicitent le corps m dans la même direction. Soient niX', ni Y', m"Z’ , les forces qui sollicitent m' parallèlement aux mêmes axes , et ainsi de suite ; désignons par t le temps dont nous supposerons l’élément dt constant. Les vitesses qui animent le corps m, à la (in d’un instant quelconque, serout

représeutées par <~, les forces qui le sollicitent, suivant les axes des x, des y et des z, seront

donc m ^ , m ~ , m ~ , et ces forces , eu vertu de dt ’ dt’ dt ’ ’

l’action des forces accélératrices, deviendront, dans

l’instant suivant,

m.‘^-\-mX.dt, ni.^j-J-inY.rff, mL.dl.

Mais les accroissemens véritables que prend parallèlement aux axes coordonnés la vitesse du corps m, à cause de sa liaison avec les autres parties du système,

et qu’il s’agit de déterminer, sont ^ les

forces motrices effectives qui sollicitent le corps m, à la (in de l’instant dt, sont donc

88 THÉORIE ANALYTIQtJE

En supposant donc les trois premières forces appliquées au corps m, en sens coutraire de leur direction» les forces motrices qui agissent sur ce corps seront

en marquant successivement d’un accent, de deux accens, etc., les lettres m, x, z, X, Y, Z, on aura les expressions des forces semblables qui proviennent des variations de mouvement de chacun des corps m', m", etc.

Or, en vertu du principe de d’Alembert, le système entrer est en équilibre sous l’action de toutes ces forces réunies; il suffit donc, pour exprimer cette condition, de substituer leurs valeurs dans les six équations générales du n° 7. En remplaçant ainsi respectivement par les forces (A) les trois composantes \ ■. ' P cos d, P cos b, P cos c, on aura

ï.mX, X.m.1—- — ï.njY, X.m.~=

2 • m ' (Xd ydî^—) = ^ . m . (x Y — jX),