X.nv. [ydz — xdy) = c*. dt

La différentielle xdy—ydx représente le double de l’aire décrite autour de l’origine des coordonnées pendant l’instant dt par la projection du rayon vecteur de m sur le plan des x et des/; les différentielles zdx — xdz et ydz — zdy sont le double des aires décrites pendant le même instant par les projections de ce rayon vecteur sur les plans des xz et des /s. Les premiers membres des équations précédentes représentent donc la somme des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des différens corps du système sur chacun des plans coordonnés, multipliées respectivement par les niasses de ces corps ; cette somme est par conséquent proportionnelle à l'élément du temps, et dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. Ce théorème constitue la loi générale du mouvement qu’on a nommée principe de la conservation des aires.

Lorsque la seule force qui agit sur le système est l’attraction mutuelle des corps qui le composent , et

que par conséquent la force F est nulle , on peut choisir arbitrairement l’origine des coordonnées , et le théorème que nous venons d’énoncer a lieu pour tous les points de l'espace. Dans les deux cas , le principe des aires subsiste pour tous les plans que l’on peut mener par le point que l’on a pris pour l’origine des coordonnées.

Les aires décrites par les projections des rayons vecteurs de m, m' , m , etc., sur chacun des plans coordonnés, sont évidemment les projections sur ces plans des aires décrites dans l’espace par ces mêmes rayons. Ces projections changent de valeur selon la direction des plans coordonnés ; et comme nous venons de voir qu’on pouvait choisir ces plans à volonté , il y en a nécessairement un pour lequel la somme de ces projections, multipliées respectivement par les niasses m, m', m', etc., est un maximum. Proposonsnous de déterminer ce plan.

Soient /, l'j t', les angles qu'il forme respectivement avec les trois plans coordonnés ; désignons par L la somme des aires tracées sur ce plan par les projections des rayons vecteurs des différons corps du système , et multipliées respectivement par leurs masses, somme que nous supposons être la plus grande possible. On aura , par les propriétés connues des projections,

l.m. (xdj — ydx) — L cos l, t.m.^zdx — xdz ) = Lcos/',