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yC‘ + c’'+c"‘

Les angles l, V , l', sont donc constans par rapport au temps t, et le plan principal de projection reste toujours parallèle à lui-même pendant toute la durée du mouvement , quels que soient les changemens survenus dans les positions respectives des corps du système. C’est à cause de cette propriété remarquable que ce plan a été nommé plan invariable. La découverte de ce plan, que l’on doit à Laplace,. peut être de la plus grande utilité dans la théorie du système du monde, parce qu’il sera facile de retrouver dans tous les siècles sa position, et qu’on aura ainsi un plan stable auquel on pourra rapporter celle des corps célestes.

Il est aisé de fixer à chaque instant la position du plan principal de projection, lorsqu’on connaît, pour cet instant, les coordonnées de tous les corps du système, et les vitesses dont ils sont animés, suivant les axes de ces coordonnées. En effet, soient x, y , 2, les

coordonnées de m dans un instantdonné:^, ~ ,

’ dt’ dt ’ dt1

les composantes de la vitesse dont ce corps est animé.

dans le même instapt; x', jr1, z', ~t t

les coordonnées et les vitesses correspondantes de m', et ainsi de suite; on aura, pour les valeurs des trois constantes c, c', c",

Si l’on prend le plan invariable déterminé par les équations ( g ), pour l’un des plans coordonnés, pour celui des x et des j-, par exemple, les angles V et F' seront chacun de ioo°; on aura donc alors cosZ'=o, cosZ"=o, ce qui exige que c' et c" soient nuis. Les deux quantités -je', je", multipliées par le temps /, représentent les sommes des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des différens corps du système sur les plans des xz et des^-z, et multipliées respectivement par leurs masses. Le plan invariable jouit donc encore de cette propriété singulière, savoir : que cette somme est nulle par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire, puisque la direction des axes des x et desy^ est arbitraire. Il est donc naturel de choisir ce plan pour l’un des plans des coordonnées, de même qu’on rapporte ordinairement leur origine au centre de gravité du système, l’égalité à zéro des deux constantes c' et c" devant rendre en effet les équations dans lesquelles entrent ces constantes beaucoup plus faciles à traiter. Nous en verrons bientôt des exemples.

DigitizêdTSÿ Goügl

a4* Les principes (le la conservation des aires et du mouvement du centre de gravité dérivent naturellement des équations (B), dont iis ne sont, pour ainsi dire, qu’une simple traduction; mais il existe une autre loi générale de mouvement, nommée principe de la conservation des forces vives, qui, n’étant plus comprise dans ces équations, exige que, pour la démontrer, on considère sous un nouveau point de vue le mouvement d’un système de corps.

A cet effet, nous remarquerons que si, aux forces qui sollicitent l’un quelconque des corps qui le composent, on ajoute les réactions qu’il éprouve de la part des aatres parties du système, considérées comme des forces qui agissent sur lui , on pourra faire ensuite abstraction du reste du système, et les mouvemens de ce corps seront déterminés par les équations que nous avons trouvées pour les mouvemens d'un point matériel libre.

Soient donc mX, rnX, niL , les composaules des forces qui agissent sur ni, ces forces étant estimées comme nous venons de le dire ; soient de même m'X', m'X' , m'Zi', les forces qui agissent sur ni, et ainsi de

suite. On aura, pour déterminer les mouvemens des corps m, ni , m", etc., le système d’équations différentielles suivant :

de

n — m X m ■ tn Y m ■ ■

mX- OT rf? = mT'

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mdF mX> '-Je =mZ •

etc.