Tome I

Maintenaut, si l’on multiplie l’équation en x par idx, l’équation en y par zdy, l’équation en z par ad3 , puis l’équation en x1 par idx\ et ainsi de suite , qu’on ajoute ensuite les équations résultantes, et qu’on intègre leur somme, on aura

^ =c + ïZ.r.m.QLdx+'ïdy+Zdz)t ( p )

c étant une constante arbitraire.

Si la quantité ’2..m.ÇX.dx-\-Ydy-\-2,dz) est la différentielle exacte d’une fonction des coordonnées x , y, z , x', y', z', etc. , que nous désignerons par <p(x , y, z, x’,y', z', etc.), le second membre de l’équation précédente s’intégrera immédiatement; et en nommant v la vitesse du corps m , on aura

= c -f- 2<p[x , y, z, x', y', z ', etc.), (?)

Cette équation est semblable à celle que nous avons trouvée n° i3, en considérant le mouvement d’un point matériel isolé, elle conduit à des résultats analogues.

On appelle force vive d’un corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse. 11 résulte de l’équation précédente que si le système que l’on considère n’est sollicité par l’action d’aucune force accélératrice, la somme des forces vives des corps qui le composent, ou la force vive totale du système est constante, et que, s’il est sollicité par des forces quelconques, l’accroissement de la force vive du système, en passant d’un point à un autre , est indépendant des courbes

Digitizod byT^oO1

DU SYSTÈME DU MONDE. gg

décrites par ces différens corps; cet accroissement est nul , et la force vive totale redevient la même toutes les fois que le système reprend la même position. Ce théorème constitue la loi de mouvement qu’on a nommée principe de la conservation des forces vives.

[L 'équation (y), d’où l’on déduit le principe que nous venons d’établir, suppose que la fonction 2.m.(Xr£r -f- Xdy-r- Z dz) est une différentielle exacte. Cette condition est remplie, ainsi que nous l’avons fait voir n° 1 5 , lorsque les composantes X, Y, Z , etc., proviennent de forces attractives dirigées vers des centres fixes, et représentées en intensité par des fonctions de leurs distances à ces centres. Elle léserait encore si ces composantes résultaient de l’attraction mutuelle des différens corps du système, cette attraction étant supposée s’exercer proportionnellement aux masses, et suivant une fonction quelconque de la distance.

Four le fairç voir, soit p la distance des deux corps m et m' du système, en sorte qu’on ait

Soit P, une fonction donnée de p, représentant l’action réciproque de deux élémens des masses m et m', cette force étant dirigée suivant la droite qui joint ces points ; m! P sera la force accélératrice de m provenant de l’action m'; mY, la force accélératrice de m' provenant de l’action m. La première donnera suivant les axes des x, desj' et des z les trois composantes

— — ot'P.^, —m' P.^.

dx ’ dy ' de,

Ioo théorie analytique

La seconde les trois composantes

ÛL

' dy

En ne considérant donc que l’action mutuelle de m et m', on aura