m . {\dx + Y df + Z ds) = — mm' . P dp

quantité qui est une différentielle complète, puisque P est fonction de p.

Ainsi l’équation (7), et le principe des forces vives que nous en avons déduit, ont lieu dans le mouvement de tout système de corps soumis à leurs actions mutuelles et à des attractions dirigées vers des centres fixes, ce qui comprend à peu près toutes les forces de la nature.

a5. Il nous reste à démontrer une dernière loi générale qui s’observe dans le mouvement d’un système de corps , et qu’on a nommée principe de la moindre action. Pour cela, reprenons l’équation (p); en la différenciant par rapport à la caractéristique S , on aura

S.m.eJV = 2.ni.(XJ'a: 4- Y Sj + Z<fz).

Mais si après avoir multiplié les équations (m), la première par Sx , la seconde par Sj, la troisième par Sz, et ainsi de suite, on les ajoute, on trouve

\dt * Partant ,

Z.m.vdt.ty = ■ îx + ^7 ■ h + • ^)-

Dü SYSTÈME DU MONDE. >°i

Soient ds l’élément de la courbe décrite par m , ds' l’élément de la courbe décrite par m', etc. , on aura

vdl = ds, ds = \/djc* 4- dj- -f- dz% ,

v'dt — ds' , ds' = \Jdx/% -f- dj'% -j~ dz K , etc.

Par conséquent

Mais en diflërenciant l’expression de ds, on a

Et comme les caractéristiques «T et d sont indépendantes , «

Z.mv.dJ's — T m^V*** + dy*y + d.t,y

— . «Ta: -f- ÿ 4 jy 4- . J'z.) . |

Ajoutons les deux équations (a) et (i) , en remarquant que