fmvds — o

c’est-à-dire que la fonction 2 . fm . vds ou 2. fm. v'dt est un minimum; ce qui constitue le principe de la moindre action dans le mouvement d’un système de corps. Ce principe, qu’on avait long-temps cherché à déduire de considérations métaphysiques, résulte directement, comme on voit, des équations différentielles du mouvement, et l’on peut l 'énoncer ainsi : la somme des forces vives d’un système de corps , pendant le temps qu’il emploie à passer d’une position à une autre , est un minimum. Si les corps ne sont sollicités par aucune force accélératrice , la force vive du système, pendant un temps déterminé, est proportionnelle à ce temps; le système parvient donc alors, d’une position donnée à une autre , dans le temps le plus court.

26. Nous avons, jusqu’ici , regardé comme fixe l’origine des coordonnées auxquelles nous rapportions la position des corps du système, dont nous considérions les mouvemens ; mais il est aisé de démontrer que le principe de la conservation des aires , celui de la conservation des forces vives, et celui de la moindre action , auraient encore lieu en supposant à cette origine un mouvement rectiligne et uniforme dans l’es-

DU SYSTÈME DU MONDE. ' io3

pace. En effet, soient x, y, z, les coordonnées de cette origine mobile, par rapport à un point invariable quelconque, pris pour l’origine des coordonnées x , y, z, x',y', etc.; si l’on désigne par x,,?,, z„ x\, y n z',, etc., les coordonnées des corps m, m' , m", etc., relatives à la première origine , on aura

x = x-t- xjf yz=Y+jt, z=z-f-z/, î

x'= % -+-x'/f y=x+ylt z'—z+z't, etc.

Différencions deux fois ces valeurs, et substituons les valeurs résultantes dans les six équations (B). Les trois premières deviendront

Mais, en vertu du mouvement rectiligne et uniforme supposé à l’origine des coordonnées, on a

<Px afx d* Z