chapitre y
Du Mouvement dun corps solide.
37. Les six équations que nous avons trouvées dans le chapitre précédent, pour déterminer les mouvemens d’un système de points matériels liés entre eux d’une manière quelconque, peuvent aisément s’étendre au cas où ce système forme un corps solide. En effet , il suffit alors de supposer que les distances mutuelles des parties du système sont inaltérables, et de substituer aux masses m , m' , m", etc., les élémens infiniment petits du corps que l’on considère.
Soit donc dm un de ces élémens ; désignons par X, Y, Z, les forces accélératrices qui agissent sur lui, parallèlement aux trois axes de ses coordonnées rectangulaires x , jr, z , et remplaçons dans les équations (B) du u° 3 1 , le signe 2 qui désigne des intégrales finies , par le signe S , relatif aux intégrales ordinaires ; ces équations deviendront
S.^.dm = S.Xdm, S .~^.din=S.Y dm ,
dt* ’ dt* ’
S.^.dm = S.Zdm.
at
S ‘dm = S.(xY — fX).dm,
S • • dm = S . (zX — xZ).dm,
s (y^—)-dm = S.(rZ- z\).dm;
le signe intégral S se rapportant à la molécule dm, et devant s'étendre à la masse entière du corps.
Ces six équations serviront à déterminer complètement les mouvemens d’un corps solide de figure quelconque. Les trois dernières renferment le principe des aires. Si le corps était retenu par un point fixe , elles suffiraient pour déterminer son mouvement de rotation autour de ce point.
Si, au lieu de prendre arbitrairement l’origine des coordonnées, on fixe cette origine au centre de gravité du corps , qu’on désigne par x , y, z , les coordonnées de ce point, par x' , ÿ , z', les coordonnées de l’élément dm rapportées au centre de gravité,- en sorte qu’on ait
x = x + xf, jr — x+y, x = z -f- s'; (/) »
qu’on substitue ensuite ces valeurs et leurs différentielles dans les trois premières équations (a) , en désignant par m la masse entière du corps, et en observant que x, y, z, étant les mêmes pour tous les élémens, on a
S. -y- .dm = m.-r- , . b.-r- .dm = m.-r- ,
dt * de 7 de de 7
S-d?'dm==m’dê'7
que de plus, par la nature du centre de gravité,
S . x'dm — o , S .y' dm = o , S . z'dm = o ;
ce qui donne
(ÿ.dm = o, S.~,dm=o.
no THÉORIE ANALYTIQUE
Ces équations deviennent • *.
m.^ = S.Xdm, m~==S.Ydm, (A)
On déterminera par leur moyen le mouvement du centre de gravité du corps. On voit que ce point se meut dans l’espace comme si la masse entière du corps y étant réunie , toutes les forces qui sollicitent le corps lui étaient immédiatement appliquées. Cette remarque est analogue à celle que nous ont fournies , n° 22, les équations différentielles du mouvement du centre de gravité d’un système de corps.
Substituons de même , dans les trois dernières équations (a), à la place des variables x,y, z, et de leurs différentielles, leurs valeurs tirées des équations ( f ). La première de ces trois équations deviendra ainsi
= S.[(x + x').Y — (y +y>).X].dm.
Mais, x, y, z, étant les mêmes pour tous les élémens du corps, on a
S . (xd‘ y — y d'x) . dm = m . (xd‘ y — y d‘x) , S.(xY — xlty.dm == x.S.Y dm — y. S .Xdm, et enfin.
S . (x'd‘ y — y' d'x + xdy1 — y d'x' ) . dm = d‘ y . S . x' dm — d*x.S.ydm x.S.dy' . dm — x.S.d'x’.dm.
Les variables x', f , z’, se rapportant au centre de
DD SYSTÈME DU MONDE, gravité de la masse m , pris pour origine des coordonnées, tous les termes du second membre de cette équation sont nuis; la quatrième des équations (a), devient donc simplement
S.C^/^dm = S.(j/Y — yX).dm.
On trouverait de même que les deux dernières équations (a) se réduisent aux suivantes :
S ' (— -Z') dm = S.(zlX-xlZ).dm,
S'-(r'Z7/'<V')-dm = S-(^Z - ‘J^-
Les trois équations précédentes sont les mêmes que celles qui détermineraient les mouvemens du corps autour de son centre de gravité si ce point était immobile; or les équations ( b ) font connaître à chaque instant la position du centre de gravité dans l’espace; on pourra donc le regarder comme un point fixe autour duquel le mobile est obligé de tourner, et en déterminant la position du corps par rapport à ce point, sa situation dans l’espace sera entièrement fixée. Quelles que soient donc les lois du mouvement d’un corps, on pourra toujours le décomposer en deux autres mouvemens, l’un de translation relatif à son centre de gravité , l’autre de rotation autour de ce point. Envisagés de cette manière , les mouvemens les plus compliqués deviendront faciles à saisir, et c’est ainsi que nous considérerons les mouvemens des corps célestes.
