On peut donner aux trois dernières équations (a

m , THÉORIE ANALYTIQUE une forme particulière qui a l’avantage de faire connaître plusieurs propriétés importantes du mouvement de rotation. Pour cela, on rapporte les coordonnées de l'élément dm à trois nouveaux axes rectangulaires fixes dans l’intérieur du corps et mobiles dans l’espace, en sorte qu’il suffit de connaître à chaque instant la position de ces axes, pour assigner celle du solide.

Plaçons l’origine des coordonnées au point fixe , différent ou non du centre de gravité , autour duquel le corps est obligé de tourner, et soient x', y' , z', les * coordonnées de dm , relatives aux nouveaux axes que nous considérons; on aura, par les règles ordinaires de la transformation des coordonnées,

x = axd 4- by -J- cz' , "J

z = a'x' -f- vy -f- cV. J

Dans ces équations, a,b, c représentent les cosinus des angles que fait respectivement l’axe des x avec les axes des x' des y' et des a'; a', b', c', les cosinus des angles que forme l’axe des y avec les mêmes axes , et enfin a", b', c ", les cosinus des angles que fait respectivement avec eux l’axe des z.

Dans les deux systèmes de coordonnées, le camé de la distance de l’élément dm à l’origine est égal à la somme des carrés des trois coordonnées qui déterminent sa position, c’est-à-dire qu’on a

Cette considération donne entre les neuf quantités

a\ c>a > b', c, a, b", c', les équations de condition suivantes :

a% -f- a'\ + a"* = ,, ab + a' b' -f. a" b' = o, b'+V + V'ss », ac -f- etc’ -f- a c“ = o,

+ bc -)- b’c' 4- AV = o.

Réciproquement pour déterminer x\ÿ, z! en fonc- ' * !" ’ • tion de x, y, z, on aura

x' = ax -j- a'y + a'z , y

y = bx + by + b-z, ( (2)

*z' = CX 4- c'y 4- c'a. J

D’où^il est aisé de conclure que les coefliciens a> a> etc., sont encore liés entre eux par les six équations

«* -f- b* 4“ c* = i , aa! 4- bV -f- ce' = o, ] a" + V* 4- c'* = i , ' a«''4- 4- cc" = Q ’ ( (n)

a"* 4. A"* + c"» = , , «'«"-f- b' b" -f- CV' = 0. J

Ainsi donc, des neuf quantités a, b, c, a', b', c' a”, b ”, c ", trois seulement sont arbitraires, et les six autres peuvent être regardées comme déterminées par

les équations de conduion (/«), ou les équations (a)

qui leur sont équivalentes. • . • ’

Enfin , si , par le procédé ordinaire de l’élimination , ou tire des équations (i) les valeurs de x',y' et z’ en fonction de .r, y et z, et qu’on les compare L celles de ces coordonnées qui résultent des équations Tome I. . e

u4 THÉORIE ANALYTIQUE

(a), on aura, entre ces mêmes quantités, ces nouvelles relations,

a=b'c"—bno'; a b" c — bc", a"=:bc'—b'c, j

4=«V— aV', b' = ac" — a"c, b"=za'c—ac', ([) cz^a'W—d’b', ct=a>tb — ab", d — ab' — a'b. \

Comme il n’y a que trois des coefliciens a, b, c, a', b', c', a", b", c", d’indéterminés, il est souvent plus commode d’exprimer ces neuf quantités en fonction de trois autres indépendantes entre elles. En effet, la position des trois plans que forment les axes des nouvelles coordonnées est déterminée lorsqu’on connaît l’inclinaison d’un de ces plans, de celui des x'j', par exemple, sur celui des xj, et les angles que forme avec les axes des x et des x1 l’intersection de ces deux plans. En désignant donc par 0 le premier de ces angles, le second par 4-, et le troisième par ç>, on trouvera aisément, par les formules de la Trigonométrie sphérique ,

<z= cosô.sin 4-sin ç -f- cos4*cos<p, b sas cosfl.sin ■4. cos <p — cos4.sin<p,

c — sin 0 . sin 4 >

«'= cosô.cos4«sin ^ — sin 4 -cos ? >

V— cos ô . cos 4 • cos <p -f- sin 4 • sin $ ,

c': 5= sin 6. cos 4, o"= — sin 0.sin $ ,

A"= — sin 6 . cos <p ,

*"s= cos0. • : .

■G<5S?tle

Si l'on substitue ces valeurs à la place dte a, b, c, etc. , daus les équations de condition précédentes, on verra que ces équations sont identiquement satisfaites, et qu’il n’en résulte aucune relation entre les angles <p, ^ et 8.

29. Cela posé , reprenons les trois dernières équations(a). Si, après les avoir multipliées par dt, on l^s intègre, et que, pour abréger, on représente par M, M', M", la somme des momens des forces qui agissent sur chacun des élémens du corps, et qui se rap-' portent respectivement aux axes des x, des’ jr.ét dès z\ ce qui donne

M — S . [jZ — sY ) dm, M' S.(zX — xïjfdm.

on aura

S . ) - dm = /M . dt , ;

le signe S se rapportant à l’élément dm, et le signe/ uniquement au temps t.

Maintenant, de ce que les axes des x1, des / et des 2' sont supposés conserver pendant toute la durée du mouvement là même position dans l’intérieur du corps, il résulta que les coordonnées x', jl, s' cerout indépendantes du tepips t, tandis que les quantités a, b, c, a', b', c', a", b", c", au contraire, varieront avec lui. Si l’on différencie donc, dans ceüe bypo-

thèse, les équations (i), et qu’on substitue ensuite pour y, t, Yt> ^eurs valeurs dans là première des équations (A), on aura

adb‘— b"da+ b'da — adb‘

).vy

/a' de" — c'da -f- c'da" — a" de

^b'dc"—c‘db'+cdb“ — b’dcS) — fM.dl.

Si , dans cette équation , on remplace al , a", b', etc., par leurs valeurs ( l ) données n* 28, qu’on fasse, pour abréger,

cdb-\-c’db'-\-c"db" = — bde — b' de' — b'' de '= , "J

adc+adc'-\-a"dc" =—cda—c'da' — c"da"=e/dt , > (p) bda-\-b'dd+b"da"—— adb—a'db'— a"db"= rdt ; '

qu’on suppose de plus ,

A=S.(y',+ *',) rf"». B=S.(*'*+«',).rfn», C=S.(*'M -/‘) dm, F «= S.yd ■ dm , G =S.x'* -dm, H =S.*y . <//« ,

on trouvera , après quelques réductions , a.(Sp Gr H,)+i.(%-Fr HW) ^ a -f-c-(Cr — Fÿ — Q>p)\

On aurait, par une analyse semblable,

“Dlgîtïzed by GoogI

(A p — G/— Bq) + b. (B q — Fr — H/>) -f- c'. (Cr — Fÿ — G p)

a". (A p — G r — Bq) +b". (Bq — Fr — Hp) » 4-c'

—fM.dt,

V'dBq—Yr—Bp)) c".(Cr—¥q—Gp) J

En faisant, pour simplifier, #

Ap — Gr — Hc/ = P, B^r — Fr — Hp=Q, Cr — F q — Gp — H ,

ces équations deviennent

(i P — f- b Q 4“ c R /M . dt) j »'P -f- b' Q + c'R = /M'. rft, ( (f) a’P + £'Q -f- e'R = /M*. A. )

Pour faire disparaître les quantités », b, c, etc., je différencie ces équations, et je les ajoute après avoir multiplié la première par », la seconde par la troisième par a,'; je trouve ainsi,

îï — r.Q-j-ÿ.R (i)

Je .multiplie les mêmes équations différentielles, la première par b, la seconde par b', la troisième par i'j je les ajoute ensuite, et j’obtiens

eg + r.P — p.Rr^M + i'M'-fê'M'. (3)

Enfin, j’ajonte les mêmes équations, après avoir multiplié la première par e, la seconde par c', la troisième par c, et je trouve

~ — <7.P-f-/>.Q = eM-|- c'M'-f- c'M'. (5)

Ces trois équations, qui ne sont qu’une simple transformation des équations (A), serviront à déterminer complètement le mouvement de rotation du corps. Leur intégration donnera les valeurs des quantités p, q, r, et en les substituant dans les équations (p), ces équations, réunies aux six équations de condition (ni), donneront, par une nouvelle intégration, les valeurs des neuf variables a, b, c, a', b', c, a", b"f c". On connaîtra donc, à chaque instant, la direction des axes mobiles des x', des^' et des s'; et comme leur situation dans l’intérieur du corps est supposée donnée, la position du mobile sera entièrement déterminée.

5o. Nous avons, jusqu'ici, regardé la position de ces trois axes dans l’intérieur du corps, comme entièrement arbitraire, et nos formules ont, à cet égard, toute la généralité possible; mais les équations (i), (a), (3) prennent une forme beaucoup plus simple, et qui facilite leur intégration dans un grand nombre de cas, lorsqu’on dispose des quantités a , b, c,- a! , b', a', d'y W, c", dont trois sont restées indéterminées n° 28 , de manière à satisfaire aux équations suivantes :

S .j'z'. dm = o , S.x’z1. dm = o, S.x'jr'.dmstzO',

ce qui est toujours possible, comme nous le verrons tout à l’beure. La position des axes des x des y et des z est alors entièrement fixée , et ces axes s’ap-

Dü SYSTÈME DU MONDE. n<>

pellent axes principaux du corps. Dans ce cas, les trois quantités F, G, H, étant nulles, on a Prs Ap, Q = By, R = Cr, et les équations (i), (a), (5) se réduisent aux suivantes :

A. J+(C — B).f=flM + a'M, + n"M", ]

B. g-HA — = (B)