C. J -+- (B — A).pq = cM + c'M' + e"M". J

Nous avons désigné par M, M', M", la somme des momens respectivement relatifs aux axes des x, des y et des z, des forces accélératrices qui agissent sur chacun des élémens du corps. Par une propriété connue , on aura la somme de ces mêmes momens rapportés aux axes des x', des y' et des z\ en ajoutant les trois quantités M, M', M", après les avoir multipliées par les cosinus des angles que forment respectivement les nouveaux axes avec les premiers. En nommant donc N , N', N", ces trois sommes , on aura

N = aivt-f- fl M' + a” M", N' S= m + bW + b" M",

N"=cM-f- c'M' -f c"M".

Les trois équations (B) deviendront ainsi,

Adp-\- (C — B ).qr.dl = N . dt BJ<7-f-(A— C)./p.<fc = N'.<*,( (C)

C dr+ (B — A).pq.dl= N'.cfo.)

C’est sous cette forme que nous emploierons ces

équations, dans la recherche des mouvemens de rotation des corps ce'lestes.

Ces trois équations donneront, en les intégrant, les valeurs des trois inconnues p, q, r, et celles-ci feront connaître ensuite , comme nous l’avons dit n° 29, la direction dans l’espace des trois axes principaux qui passent par l’origine des coordonnées, et, par conséquent, la position du corps. Mais, au lieu de recourir, pour cela, aux équations (p), et aux équations de condition (m) , il est plus simple de substituer dans les premières, pour a, b, c, etc., da,.db, etc., leurs valeurs en fonction des trois quantités indépendantes <p , 4 , 0 » données n° 28, de manière à n’avoir plus qu’un seul système d’équations à considérer. On trouvera ainsi, après quelques réductions ,

sin <p.sinfl.<3?4 — cos <p.dQ=pdt, 1

cos p.sin 0.^4 -f-sin^.<20 -=-qdt, V (c) d<p — cos 0 . <*4 = rdt ; )

et l’on déterminera par ces équations les valeurs des trois angles <p , 4 > S , lorsque celles de p, q , r seront connues. ,

En substituant les mêmes valeurs dans les expressions des trois quantités N , N', N", elles deviendront des fonctions des angles p , 4 » 8- La recherche du mouvement d’un corps solide , de figure quelconque , autour d’un point .fixe conduit donc finalement à six équations différentielles du premier ordre entre les six indéterminées p,q, r,q>, 4> ô et la variable t. En

éliminant les trois premières quantités, au moyen des équations (c) et de leurs différentielles, on n’aurait plus à considérer que trois équations différentielles du second ordre entre les trois angles <P, 4 , 0 et le temps t. C’est sous cette forme que cfAlembert a donné les équations du mouvement de rotation; mais il est plus simple de s’en tenir aux six équations du premier ordre (C) et (c).

3 1 . Les trois équations (C) supposent que l’on a S.x'y'.dm^o, S./z'. dm=o, S.xV .dm=o. (o)

Nous Allons démontrer qu’il est toujours possible de déterminer les trois angles <p, 4» Ü qui fixent la position des axes des x1 , des y' et des z' par rapport aux axes fixes des x, des y et des z, de manière à satisfaire à ces trois conditions. En effet , si dans les équations (a) qui donnent les valeurs des coordonnées x’, y1 et z en fonction des coordonnées x,y, z, on substitue pour a, b, ct etc., leurs valeurs en <p, 4> 0, on aura

x1 = x . (cos 9 . sin 4 .sinp -f- cos 4 . cos <p) -f-^.(cos0. cos-4/.sin<p — sin 4 . cos <p) — z.sin0.sinp,

y' se= x.(cos 0.sin4-.cos<p — cos 4 . sin <p)

(cos 9. cos 4 .cos<p-f-sin4 .sin<p) — z.sin0.sinp,

z' = x. sin 0. sin <p -f-y'.sin 0.cos4 + 2- cos 0.

Si l’on substitue ces valeurs dans les trois équations (o), et qu’on fasse pour abréger

A=S.(-y*+s’).f//B, D=S.(i‘-(-ï*bd'n,

F— G=S .xz.dm, M=&.xy.dm.

THÉORIE ANALYTIQUE Les six quantités A, B, C, F, G, H étant des constantes qui dépendent de la nature du corps et de la direction des axes des x, des/ et des z, que l’on a choisis arbitrairement, il est facile de se convaincre que ces équations prendront la forme suivante >

sin a<p.L4-cos a<p.M = o, 't cos <p . N — sin <p . P = o , s (ç) sin <p . N -f- cos <p . P = o; )

L , M , N , P représentant des fonctions des angles 4 > 0, et des constantes A, B , C, F, G, H indépendantes de l’angle <p.

% La première de ces équations détermine l’angle Q , - et il est évident que les deux autres ne peuvent avoir lieu en même temps, indépendamment de toute valeur donnée à ep, à moins qu’on n’ait séparément

Si l’on met à la place de N et de P les valeurs que ces lettres représentent, on aura les deux équations suivantes :

a sin 2<.(A.sin’4 — aH.sin ^.cosiè + B.cos’-l — C) ,

— cos 2 1. (F . cos 4 -f- G . sin 4) = o ,

sin<.[(A — B). sin 4* 008 4 — B (009*4 — ®ina4)J -J- cos#. (F. sin 4 — G.cos4) = ®-

Ces équations serviront à déterminer les angles Set 4- Si l’on tire de la première la valeur de tang.aS, de la seconde celle de tang 0, et qu’on les substitue dans la formule ,*

tanga8 = -4-^64a

- ” 1 — taDg 6

*.rt*

DU SYSTÈME DU MONDE. n3

que pour abréger on fasse tang 4 s= u , ce qui donne

sin 4:

après les réductions convenables, on trouvera l’équation suivante du troisième degré

[(A — B).« — H.(i — u*)] . [(AG — CG + FH) . u — BF+CF — GH] — (Fu-f-G). (Gu— F)* = o.

Cette équation donnera au moins une valeur réelle pour u ; on en tirera une valeur semblable pour l’angle 4 > et en la substituant dans l’une des deux équations («,), on aura la valeur correspondante de 9.

Concluons de là qu’il est toujours possible de trouver pour les angles f, 4 > ® un système de valeurs réelles qui satisfassent aux équations (q) , et que par conséquent il existe dans tout corps solide un système

d’axes par rapport auxquels on a

S.x'y .drn = o, S .x'z'.dm — o, S.y'z'.dm = o.

L’équation qui détermine u étant du troisième degré, on pourrait croire qu’il existe dans chaque corps trois systèmes d’axes semblables; mais il faut observer que « représente généralement la tangente de l’angle compris entre l’axe des x et les intersections du plan des æ y, avec les plans relatifs aux coordonnées x>,y et 2', puisque rien n’indique en effet lequel de ces angles on a considéré , et que les équations précédentes sont également satisfaites lorsqu’on Change les uns dans les autres les trois axes des x', des/' et

• Bigltized by Godgle

u4 THÉORIE ANALYTIQUE

des 2'. La valeur de u doit donc être donnée par une équation du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, et il n’en résulte généralement qu’un seul système d’axes.

Ces axes, dont on doit la connaissance à Euler, ont été nommés, comme nom l’avons dit, axes principaux; on les appelle aussi axes naturels de rotation, à cause d’une belle propriété du mouvement qui leur est particulière , et que nom ferons bientôt connaître.

3a. On nomme moment d inertie d’un corps par rapport à un axe , la somme des élémens dont ce corps se compose , multipliés respectivement par le carré de leur distance à cet axe. Ainsi les trois quantités que nom avons désignées n° 29 par A, B, C, représentent les momens d’inertie du corp6 qui se rapportent respectivement aux axes des :r', des y‘ et des z'. La .valeur du moment d’inertie varie avec la position de l’axe auquel on le rapporte; mais lorsqu’on connaît les momens d’inertie relatifs aux axes principaux , il est facile d’en conclure le moment d’inertie relatif à un axe quelconque.

En effet, soient comme précédemment x',jJ et 2' les coordonnées de l’élément dm relatives aux trois axes principaux , et soient .r,^ et zles coordonnées du même élément rapportées à des axes quelconques ayant la même origine. Proposons-nous de déterminer le moment d’inertie relatif à l’un de ces nouveaux axes, à celui des z, par exemple. Si l’on désigne par C' ce moment , on aura

C' = S.(x* -f- j%).dm.

Si l’on substitue dans cette formule pour x et y leurs valeurs (i), on aura, en vertu des e'quations (m) ,

C' = (i — a"‘) . S . xf'dm + (t —

H- ( i — c''% ) . S . z'%dm.

, Mais a"* -f- t>"‘ -4- c'* = i ; en substituant pour i — a**, i — £'*, i — c"%, leurs valeurs , ll’équatiou précédente donnera

C'sfl'SA + ^.B + AC.

Les trois quantités a, b', c ' représentent les cosinus des angles que forme l’axe des z avec les axes des xf , des y et des z' : le moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque passant par tin point donné, est donc généralement égal à la somme des momens d’inertie relatifs aux axes principaux qui se croisent en ce point, multipliés respectivement par le carré du cosinus que forme avec eux l’axe donné.

Le plus grand et le plus petit des trois momens d’inertie A, B , C, seront un maximum et un minimum relativement à tous ceux qui se rapportent à des axes passant par l’origine des coordonnées x' , z'. En

- effet , soit A la plus grande , et C la plus petite des trois quantités A, B, C, en mettant i — b'% — c** à la place de a,% dans la valeur de C', on aura

Les différences A — B , A — C , sont positives par hypothèse; donc C' est plus petit que A, quelle que

i2Ô THÉORIE ANALYTIQUE

soit la valeur de b " et c". Si l'on donne à la valeur de C' cette forme 1 ■

C' = C -+- «'*. (A — C) -f- bH . (B — C), ■

on voit au contraire que C' est toujours plus grand que C.

Si les deux momens d’inertie A et B étaient égaux , on aurait • . . \ >■ ,

Cette valeur ne dépendant que de c" , le moment d’inertie est le même par rapport à tous les axes formaut un même angle avec taxe des z'. Les momens d’inertie relatifs à tous les axes compris dans le plan des x' ÿ , qui font un angle droit avec l’axe desz', sont donc alors égaux entre eux ; mais , dans ce cas , tout système d’axes composé de l’axe des z' et de deux axes perpendiculaires entre eux et à cet axe, forme un système d’axes principaux, c’est-à-dire que l’on a par rapport à ce système

S.ayfdm =?= o, S.xz.dmzzzo , S .yz . dm = o.

En effet, si l’on substitue pour a?, y, i, leurs valeurs n* 28 dans ces équations, on a ■ ' •

aa! . S. s’ dm -4- bb' , S .y1 dm ce'. S.s'Vn» = a,j

aa“ . S.if'dm -J- bb" .S.y’dm + ce*. S.t'dtn =3 o,i ( « ) a a" . S . x'%dm -f- b/b' .3 .y •dm -f* c'c" . S . J%dm = o. )

La supposition de A = B, donne i S . x'%dm = S.jr'*dm.

Les trois équations précédentes en vertu des rela-

fions (n), peuvent donc s’écrire ainsi :

cc' .{S.x'‘dm — S. z ‘dm) ss= o, ce" . (S .x'*dm — S.z'*dm ) = o, ce". (S .x'*dm — &.z'*drri) s*= o.

Ou satisfait à ces équations en supposant c = o , c'—o, ce qui donne e"= 1. Tous les axes situés dans le plan des X* y sont donc des axes principaux , et le corps a une infinité de systèmes d’axes semblables qui ont tous pour axe commun l’axe des a’.

Enfin, si l’on a en même temps A = Br=iC, l’équation ( k ) donnera généralement C' = A : tous les momens d’inertie sont donc égaux, et tous les axes du corps sont des axes principaux. En effet, les équations (s) sont alors satisfaites, indépendamment de toute valeur donnée aux quantités a, b, c, etc. On a donc, par rapport à tout système d'axe rectangulaire passant par l’origine des coordonnées x'ty' et z'f

S . xy . dm = o , S.xz.dm = o, ü.yz.dm s= 0.

Cette propriété appartient à la sphère , l’origine des coordonnées étant au centre ; mais elle convient encore à une infinité d’autres solides.

Désignons par x, r, z les coordonnées du centre de gravité du corps, par x,y, z les coordonnées de l’élément dm par rapport k ce point, en sorte qu’on z\tx=xy-}- x, y=y/-i-Y) z— z, -f- z, on aura

C’=S . [(ar,+ *)*-hCr( + *)*] • dm= S -j-ax.S.X'dm-j-ar .S.y/dm-i~(xt-j- x‘) . S . dm.

Mais, par la propriété du centre de gravité, S .xdm—o, S.jrldm=o; en désignant donc par m la masse du corps, par a la distance de l’axe des z; à l’axe des z, on aura simplement

C' = S. (x* . dm + a'm.

Cette équation donnera immédiatement Je moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque , lorsque le moment d’inertie relatif à un axe mené parallèlement au premier par le centre de gravité sera connu. Elle fait voir aussi que le plus petit de tous les momens ü inertie d’un corps se rapporte à l’un des trois axes principaux qui se croisent à son centre de gravité.

53. Les quantités p , q,r, introduites pour la première fois par Euler dans les équations du mouvement de rotation, jouissent de plusieurs propriétés qu’il faut faire connaître , parce quelles montreut clairement de quelle manière ce mouvement s’effectue. Les différentielles ^ ^ ^ expriment ,

comme on sait, les composantes parallèles aux axes des x, des j et des z de la vitesse dont l’élément dm est animé. Cette vitesse est nulle par rapport aux points du corps qui restent immobiles pendant l’instant dt; en différenciant donc les équations (i) n® 38, on aura , pour détermiuer les coordonnées j c/,/', z de ces points ,

x’ da -\-ÿ db +z' de =o, x da 1 -f -f db' -f-z' de' =o, a/ da" +y db"+z’ dc''=o.

Si l’on multiplie la première de ces équations par c , la seconde par c', la troisième par c", et qn’on les ajoute, on aura

pÿ — qx'—o. : ■ 1

Si l’on multiplie ces mêmes équations, la première par b, la seconde par b', la troisième par b"-, qu’on les ajoute ensuite , on aura

rx — =0.

Enfin, si l’on ajoute ces mêmes équations, après avoir multiplié la première par a, la seconde par a' et la troisième par a", on aura * 1

Ces trois équations, dont la derniere résulte des deux autres, sont celles d’une ligne droite passant par l’origine; tous les points situés sur cette droite restent doue immobiles pendant l’instant dt, et le corps, pendant cet intervalle de temps, tourne autour d’elle comme autour d’un axe fixe. ,i V.' ,

Cette propriété a fait nommer cette droite axe instantané de rotation. Sa position par rapport aux axes principaux des x' , des/' et des 3' est déterminée par les trois quantités p , <7,0», et Tes cosinftsdés angles quelle forme avec chacun de ces axes sont respectivement exprimés par >

Vp' +?*+>*' Vp'+ q'+r* ’ Ÿp'+q' + t*'

La vitesse angulaire de rotation autour de l’axe Tome I. o

i3o THÉORIE ANALYTIQUE

instantané est la même pour tous les points du corps : proposons-nous de déterminer cette vitesse. Pour cela, considérons le point situé sur l’axe des z à une distance de l’origine égale à l’unité. Nous aurons pour les coordonnées de ce point x—o, y = o, z= i : sa vitesse absolue sera donc

\Z(dc'+dc'‘+dc"‘)

dt

En divisant cette vitesse par la distance du point à l’axe instantané , de rotation, on aura la vitesse angulaire de rotation du corps; cette distance est égale au sinus de l’angle que fait l’axe de rotation avec

l’axe des z, angle dont

nus ; la vitesse angulaire cherchée sera donc

exprime le cosi-

Vîîv$TT\ ' r+ ^ = vV+ 1'+ **> -

en observant que par les équations de condition (p), dc'*-\-dc’* — {cdc-\-c'dd~\- c’dc *) ,

et que l’équatio^ c* + c'% -f- c% s= 1 donne en différenciant cdc -f- c'dc' -f- c'dc' — o.

Si l’on nomme donc a, C, y, les angles que l’axe instantané de rotation fait avec les axes des or', des^' et des z', et p la vitesse de rotation, on aura

p = p . cos et , ÿ = p.cos£, r = p.cosy.

On peut encore, au moyen des quantités p, y, r, donner une forme très simple à l’expression de la

DU SYSTÈME DU MONDE. i3,

force vive du corps. En effet, si l’on désigne par T cette quantité, on aura

dx' -+- dy% -J- dz"

dt-

dm .

Si l’on substitue dans cette équation, pour —, et ^ , leurs valeurs tirées des équations ( i ) , en observant qu’on a, comme nous venons de le dire.

= da'+ db'-\- de-, p--\- r* = db-+ db’-+ db'-, p-+q- z=dc--\- dc'‘+ de"-,

on trouvera

T = A/>*-HB<7* + 0.

Cette expression nous sera utile dans la suite.

Il suit de ce qui précède, que, quel que soit le mouvement d’un corps solide autour d’un point fixe, ou supposé tel, ce mouvement peut être regardé comme un mouvement de rotation autour d’un axe fixe pendant l’instant dt, mais dont la position varie d’un instant à l’autre. Les trois variables p, q, r déterminent cet axe par rapport aux axes principaux ; elles font connaître aussi la vitesse de rotation du corps. Quant à la position des axes principaux dans l’espace, on la déterminera, comme nous l’avons dit, au moyen des équations (c), quand les valeurs de p, q, r seront connues , et la situation du corps sera ainsi complètement fixée.

34. Donnons quelques applications des formules précédentes. Proposons-nous d’abord de déterminer le

mouvement de rotation d’un corps qui n’est soumis à l’action d’aucune force accélératrice , et qui tourne à très peu près autour d’un de ses axes principaux , comme cela a lieu pour la Terre et les planètes. L’analyse -de eette question nous fera découvrir de nouvelles propriétés très importantes des axes principaux.

Daus ce cas, les seconds membres des équations (C) sont nuis, et l'on a d’abord à intégrer les trois équations suivantes ;

A dp -f- (C — B) . qr . dt — o , 1 B dq + (A — C) . rp ,dl = o, j, ( h) — A).pq. dt — o. )

Supposons que le troisième axe principal«oit celui autour duquel le mouvement s’effectue à très peu près, le sinus de l’angle que forme avec lui l’axe instantané

de rotation sera — Ÿ-P-—** — : et comme cet angle doit

KV'+y'+T* ; i

toujours demeurer très petit par la supposition , p et q seront aussi de très petites quantités. Si l’on néglige donc leur produit dans la dernière des équations précédentes, elle se réduit à Cdr=o ; d’où l’on tire r = n, en désignant par n une constante arbitraire. La vitesse

angulaire de rotation est \/ p' -f- en négligeant

le carré de p et de q , elle est donc égale à n, et par conséquent elle est à très peu près constante. Les deux premières équations (h) deviennent ainsi

A dp + (C — B ).nq.dt = o , B dq -f- (A — C),np,dt = o.

Digitizec by AioOgle

Pour satisfaire à ces équations , faisons

p = h. sin (U + Æ) > q=h' . cos (ll -j- *) ;

la substitution de ces valeurs donnera

A/A-f-(C — B),nh'=or B/A'+fC — A).nh=o;

d’où l’on tire