A-C).(B — C) AB

les deux constantes l et h' seront donc de’terminées par ces équations , et les constantes h et k demeureront arbitraires.

Les valeurs de p, q, r étant connues, il ne reste plus à trouver que celles des angles ç> , 4 » 6 qui déterminent la position des axes principaux dans l’espace. On peut le faire d’une manière très simple dans ce cas. En effet, les deux premières équations (c) du n° 5o donnent, en éliminant dtp,

d8 = sinip. qdt — ■ cos <p .pdl.

L’angle 9 est donc une très petite quantité du même ordre que p et q. Si l’on néglige le carré de 0, la dernière de ces équations devient

dtp — = rdt;

d’où, en intégrant, on lire

* étant une constante arbitraire.

i34 THÉORIE ANALYTIQUE

Supposons maintenant

s = sin 0-cos , nc=sinS.sin^;

les deux premières équations (c) n° 3o , en y substituant pour d-\> sa valeur, et négligeant toujours les termes du second ordre par rapport à 6 , donneront

ds -f- ru . dt — — pdt, du — rs.dtssqdt.

Si dans ces équations on remplace p, q, r par leurs valeurs, on aura deux équations linéaires du premier ordre entre les inconnues s et u, et l’on y satisfera en faisant

5 = f. cos (nt + g ) — ^ . cos (It + k ) ,

u=f.sin(nt+g)—f£ . sin (lt •+- k) ,

/et g étant deux nouvelles constantes arbitraires.

La question est ainsi complètement résolue , puisque les quantités s et a étant connues en fonction du temps , On aura à chaque instant les valeurs des angles <p et 0 , et par suite celle de qui est déterminé en fonction de ç et de t. L’introduction des variables s et u , qui sont toujours de très petites quantités du même ordre que sin 0, facilite la solution de ce problème ; elle est due à Lagrange , et l’on verra quelle est de la plus grande utilité dans la théorie de la Lune.

La forme des valeurs de p et q donne lieu à une remarque importante. La constante h dépend de l’angle que (ait à l’origine du mouvement l’axe ins-

lantané de rotation avec le troisième axe principal : si cet angle, au lieu detre très petit, est suppose nul , on aura pour cet instant p = o et q = o , et par conséquent h = o et h! = o. Les quantités p et q seront doue nulles pendant toute la durée du mouvement, et l’axe de rotation coïncidera toujours avec le troisième axe principal. 11 suit de là que si le corps commence à tourner autour d’un de ses axes principaux, il continuera à se mouvoir uniformément autour de cet axe , et c’est par cette raison que ces axes ont été nommés axes naturels de rotation. Réciproquement, si l’axe instantané demeure immobile , on est assuré qu’il est un des axes principaux du corps. En effet, pour que l’axe de rotation conserve la même position dans l’intérieur du mobile , il faut que les trois quantités p, q, r soient constantes, ce qui donne dp — o, dq = o,dr=o; les trois équations (/i) deviennent donc

(C — B ).qr.dt — oy (A — Ç.),rp.dt — 0 ,

(B — \).pq.dt—0.

Si les trois moraens d’inertie A, B, C sont inégaux , il faudra , pour satisfaire à ces équations , supposer nulles deux des quantités p, q , r; alors l’axe instantané coïncide avec l’un des axes principaux. Si deux de ces momens sont égaux, si l’on suppose, par exemple, A = B, la dernière des équations précédentes est identiquement nulle , et l’on satisfait aux deux premières en supposant r — o. L’axe de rotation est alors situé dans le plan perpendiculaire au troisième axe principal ; mais nous avons vu n° 3a ,

i36 THÉORIE ANALYTIQUE

qu’alors tous les axes compris dans ce plan sont des axes principaux. Enfin, si l’on a à la fois A = 11=C, ces trois équations seront satisfaites indépendamment de toute valeur donnée k p , q, /•; mais, dans ce cas, tous les axes du corps sont des axes principaux.

La propriété detre des axes invariables de rotation convient donc exclusivement aux axes principaux ; mais il y a à cet égard une distinction à établir entre eux. Eu effet , remarquons que , pour que les valeurs de p et de q demeurent toujours très petites, comme nous supposons qu’elles le sont à l’origine du mouvement , il ne suflit pas que les constantes h et h soient très petites, il faut encore que la valeur de la constante l soit réelle ; sans cela les sinus et cosinus que renferment les quantités p et q se changeraient en exponentielles , dont les exposans seraient proportionnels à t , et ces valeurs par conséquent pourraient croitre indéfiniment avec le temps. Ainsi, dans le premier cas, l’axe instantané ne fera que de petites oscillations autour de l’axe principal ; mais , dans le second , il pourra s’en écarter considérablement , quelque rapprochés qu’aient été ces deux axes dans l’origine. Or, pour que la valeur de / soit réelle , il faut que le produit (A — C).(B — C) soit positif, c’est-à-dirc que le' moment d’inertie "C, relatif à l’axe principal autour duquel oscille l’axe instantané, soit le plus petit ou le plus grand des trois momens d’inertie A, B, C. Il s’ensuit que, si le mouvement du corps a commencé autour d’un de ses axes principaux , et qu’une loicc perturbatrice quelconque dérange inliniment

«th . * ■ - . *t- < -*•

peu son axe de rotation , le corps continuera de tourner à très peu près autour de l’axe principal , si la quantité (A — C) . (B — C) est positive ; mais , daus le cas contraire , l’axe de rotatiom s’en écartera indéfiniment, et il suffira alors de la cause la plus légère pour changer totalement la nature du mouvement. Ainsi le mouvement de rotation est stable par rapport aux deux axes principaux qui répondent au plus grand et au plus petit moment d’inertie , et il ne 1 est pas relativement au troisième.

35. Considérons maintenant d’une manière générale le mouvement d’un corps qui n’est animé par aucune force accélératrice , et qui peut se mouvoir librement autour d’un point fixe, différent ou non de son centre de gravité. Reprenons les équations ( h ) du n° précédent.

A dp + (C — B ).qr.dt = o ,

B dq + (A — C) . rp . dt = o , “ C dr -f- (B — A ).pq.dt = o. ,

Si l’on multiplie la première par p, la seconde par q, la troisième par r, qu’on les ajoute et qu’on intègre leur somme, on aura

Ap* B9* -f- Cr* = h. (1)

Si l’on multiplie ces mêmes équations, la première par A p, la seconde par B q, la troisième par Cr, qu’on les ajoute et qu’on intègre l’équation résultante, on aura A y -f- B*?* + Cv* = k‘> (2)

b et k étant deux constantes arbitraires.

La première intégrale est l’expression de la force vive trouvée n° 35 ; elle montre que cette force est constante, conformément au principe énoncé n° 24.

Des deux équations précédentes, on tire

A’— B/. -f (B — Q.Cr*

l’ — AA-f-(A — C) Cr*

Si l’on substitue pour p et q leurs valeurs dan6 la dernière des équations (A), et qu’on la résolve par rapport à dt , on aura

V^ÂB . Cdr

dt — ' ■ - 11 — ' — ~ • ■ - (3)

v/ [k‘— BA+(B-C) . Cr"j . [— A*+ A /.+(G— A) . O]

Cette équation donnera par les quadratures la valeur de t en r, et réciproquement la valeur de r en fonction de t ; cette valeur substituée dans les équations (k) fera connaître à chaque instant les valeurs de p et q. Mais l’intégration d’où dépend la valeur de t ne peut s’obtenir sous forme finie, que dans le cas où deux des trois moraens d’inertie A, B, C sont égaux entre eux.

Les trois quantités p, q, r déterminent, n° 33, les mouvemens du corps par rapport aux axes princi- . paux. 11 reste à déterminer les trois angles <p, •>}/, 0 qui fixent la position de ces axes. Au lieu de recourir pour cela aux équations (c) n“ 3o, on peut trouver trois nouvelles intégrales des équations (h) qui faciliteront cette recherche. En effet, si l'on multiplie la première de ces équations par a , la seconde par b, la

troisième par c; quon les ajoute, et qu’on intègre leur somme; qu'on répète la même opération par rapport à aï, b', d , et par rapport à a", b", c", en faisant attention aux équations (p) n° 29, et aux relations (ni) , (n) , n° 28 , on aura

l, d\p-\-b'$q-\-c'Ç.r —V, ) a"\p+b"Kq+c''Çs=r-\

l, l', l' étant trois constantes introduites par l’intégration. Ces équations, qui coïncident avec les équations (t) n° 29, renferment le principe des aires.

Si ces trois intégrales étaient réellement distinctes entre elles, on en tirerait, sans nouvelle intégration, les valeurs de <p, 4-» 0, au moyen de celles d ep, q, r, qu’on peut regarder comme déterminées. Mais l’une quelconque de ces équations rentre dans les deux autres, en vertu de l’équation (2). En effet, si l’on ajoute ensemble leurs carrés, on voit que cette somme se réduit à

A y + B V *+” CV = /•+ /'*+ r* ;

équation qui, en la comparant à l’équation citée, donne entre les constantes k, l, f, l", l’équation de condition

Les équations (/) ne pourront donc servir qu’à déterminer deux des inconnues <p , 4 , 0 ; il faudra nécessairement recourir aux équations (c) pour déterminer la troisième, ce qui exige par conséquent une , nouvelle intégration.

Pour rendre cette intégration possible , on est

a\p -f- bBq cCr=

i4o THÉORIE ANALYTIQUE

obligé de faire une hypothèse sur le choix des plans coordonnés, que nous avions jusqu’ici regardé comme arbitraire. On suppose que l’un d’entre eux se confond avec le plan que nous avons nommé invariable n" a3. La propriété qui le caractérise, c’est que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs des élémens du corps pendant le temps t, et multipliées par les masses de ces élémens , est un maximum par rapport à ce plan, et qu’au contraire par rapport à tout plan qui lui est perpendiculaire, elle est égale à zéro. Les constantes l, Z" répondent ici aux constantes c, c', c" du n° 23 ; cette somme, relativement au plan invariable, est donc égale à £ t. V/Z* + Z'*-f-Z"‘; et en désignant par a, £, y les angles que forme la perpendiculaire à ce plan avec les axes des x , desy et des z , on a

cos a = - , cos ê = ^ , cos y — — .

Si l’on prend ce plan invariable pour plan des x je, on aura l— o, Z'=o, Z,, = A, et les équations (Z) se réduiront aux suivantes

a\p-\- bhq-\- cCr = o , a \p-\-b'YSp-\-c'Cr = o , a"A/?-J- b"Bp-{- c"Cr= k ;

d’où l’on tire, en vertu des équations (m), n° 28,

ou bien , en mettant pour a", b ", c" leurs valeurs n° 28, sin0(.siu$>, = — sin0(.cos^= — y, cos9( = y. (o)

Nous désignons ici par <pt, -n^, 0/ ce que deviennent.

relativement au plan invariable, les angles <p , *\J, , fl qui se rapportent à un plan fixe quelconque.

Ces équations donneront immédiatement les valeurs des angles p, et 0, en fonction du temps an moyen des valeurs connues de p , q, r. Pour déterminer le troisième angle -vf,,» éliminons dê entre les deux premières équations (c) ; nous aurons

si n* 9( . d ^ = si n 0, .sin <p, .pdl -f- sin 0/.cos <prqdt ;

équation qui, en vertu des précédentes, devient

(A:* — C *r*) . d-l>{ = — B<7*) . kdt ;

d’où , en observant que hp'-\- Bÿ* = h — Cr*, on tire j ? Cr"'— h ,, • t ■

— t^o7'-kdl-

Si dans cette équation on substitue pour dt sa valeur, on trouve ,

h.[Cr‘—h').ÿKÜ.Cdr

(it -C V). 1/ [*’- BA+lB-CJ .Cr*] . [-i'+AA+CC-AJ.Cr*]

Cette formule donnera par les quadratures eu fonction de r, et par suite «>{., en fonction du temps.

On connaîtra donc à chaque instant les valeurs des six variables p, q, r, $/f ce qui suffît pour dé-

terminer toutes les circonstances du mouvement du corps. Ces valeurs renferment quatre constantes arbitraires, savoir, les constantes h et k, et les deux constantes qui sont introduites par l’intégration des valeurs de dt et de d-\,r lies intégrales d’où dépend la solution complète du problème devraient généralement contenir six arbitraires; mais il faut remarquer

i4a THÉORIE ANALYTIQUE

qu’en prenant pour plan des x et des^, le plan principal de projection , nous avons fait disparaître deux de ces arbitraires, puisque cette supposition a donné l=o, l'=o, et que d’ailleurs les angles Ç,, 4,> ô,, dont nous venous de déterminer les valeurs, ne sont relatifs qu’à ce même plan. Il sera facile, lorsque ces valeurs seront connues, d’avoir celles des angles p,4, 0, qui se rapportent à un plan fixe quelconque , par les formules de la Trigonométrie sphérique, et cette détermination introduira deux nouvelles constantes dépendant de la position du plan invariable par rapport au plan fixe , qui , jointes aux quatre précédentes, com-

En effet, désignons par y l’inclinaison du plan invariable sur le plan fixe, par a. l’angle que forme avec une droite menée sur le dernier de ces plans leur commune intersection , et considérons le triangle sphérique intercepté entre ces deux plans et le plan qui renferme les axes principaux des x ' et des y' . D’après la désignation donnée aux quantitées <p , 4 , 0,

<pt , 4/» a> J’ ^ est a*s® de voir les trois v angles de ce triangle seront y, 0, aoo°-0 , et les côtés respectivement opposés <p — <pt, 4 — a, et 4,» en supposant que l’angle 4 > qui se compte sur le plan invariable à partir d’une ligne arbitraire, soit compté à partir de l’intersection de ce plan avec le plan fixe.

On aura donc par les formules connues

cos 0 = cos^.cosO, — sin^.sinfl/.cos4/»

sin(<p — çJ.sinO = sin4/-sin5/J sin(4 — a).sin0 = sin4,sin 0r

Ces équations donneront les valeurs des trois angles <p, >J,, 6, au moyen des angles <p,, ôy, et des deux arbitraires a et y, qui dépendent de la position du corps à l’origine du mouvement.

11 ne nous reste plus , pour achever la solution du problème que nous venons de traiter, qu’à montrer comment les six constantes qui servent à la compléter peuvent se déterminer d’après les circonstances initiales du mouvement. Pour cela, supposons que le corps ait reçu une impulsion primitive quelconque, qui ne passe pas par son centre de gravité ; soit v la vitesse que cette force imprimerait à la masse m, regardée comme un point, en sorte que mv soit la mesure de son intensité, et soit de plus f la distance de sa direction au point fixe autour duquel le corps est forcé de tourner ; mvf sera son moment par rapport au même point. Quelles que soient les quantités de mouvement dont sont animés les différens points du mobile, il est évident que l’impulsion primitive, prise en sens contraire de sa direction, doit leur faire équilibre; d’où il suit que la somme des momens de toutes ces forces projetées sur un même plan doit être égale à zéro. Or, le moment de la force mv est le plus grand possible relativement au plan qui passe par sa direction et par le point fixe ; ce plan est donc le plan invariable. La somme des aires décrites pendant le temps t, par les rayons vecteurs des molécules du corps, projetées sur ce plan et multipliées respectivement par ces molécules , est [ t . \/ /*- f- ? ’-f- /"*=£ t . k. Si l’on multiplie par le moment mvf, le produit doit être, par ce qui précède, égal à cette

i44 THÉORIE ANALYTIQUE

somme. On aura donc k = rm>J pour déterminer la

constante k.

Si l’on suppose connue , à l’origine du mouvement , la position des trois axes principaux du corps relativement au plan invariable, les angles <pi et 6< seront donnés, et l’on aura, par les équations (o), les valeurs de p, q, r a l’origine du mouvement; en les substituant dans la première intégrale (i), la valeur de la constante h sera déterminée.

Quant aux deux constantes qui résultent de l'intégration des valeurs de dt et de d-\,t , la première dépendra de l’instant d’où l’on comptera le temps, et la seconde de l’origine de l’angl'e 4, > que l’on peut prendre arbitrairement sur le plan invariable.

Enfin, les deux constantes a et y, qui déterminent ce plan par rapport à un aütre plan fixe quelconque , seront connues, puisque sa position initiale est supposée donnée.

En rassemldaut les résultats précédens , on voit , n° 27, que si un corps de figure quelconque reçoit une impulsion primitive qui ne passe pas par son centre de gravité, ce point sera emporté dans l’espace comme si l’impulsion lui était directement appliquée, et que le corps prendra , autour de ce centre , le même mouvement que s’il était immobile. Ces principes servent à expliquer comment le double mouvement de translation et de rotation des planètes ,• qui parait au premier abord si compliqué, a pu résulter d’une seule impulsion primitive qui ne passait pas par leur centre de gravité. En supposant la Terre une sphère homogène, dont le rayon est R, et nommant f la

•OQ II

distance de la direction de l'impulsion primitive à son centre, on trouve qu’en vertu du rapport qui existe entre la vitesse angulaire de rotation de cette planète, et sa vitesse de révolution autour du SoleiP, il faut qu’on ait, à très peu près, f = y^.R.

56. Déterminons enGn le mouvement de rotation d’un corps solide retenu par deux points ou par un axe fixe. Au lieu d’employer les équations (C) du n° 3o, il est plus simple dans cette recherche de recourir aux équations primitives (a) du n* 27. Prenons l’axe fixe de rotation pour l’un des axes coordonnés, pour celui des x, par exemple; supposons cet axe horizontal ainsi que l’axe des j-, et l’axe des z vertical et dirigé vers le centre de la terre ; supposons de plus que le plan des jz , dont la position est arbitraire, passe par le centre de gravité du corps : la dernière des équations (a) n° 27 suffira pour déterminer dans ce cas toutes les circonstances du mouvement. On aura donc

s (yd'z-tdy-^ dm=s — zY) . dm (<*).

Faisons passer un plan par l’axe de rotation et par le centre de gravité du corps; il est clair qu’il suffira de connaître la trace de ce plan sur celui des yt pour avoir, à chaque instant, la position du mobile. Prenons cette ligne pour l’un des, axes de nouvelles coordonnées jr, jz’, et nommons 9 l’angle que forme cet axe avec celui des a; on aura

J=y cos fl -J- S' sin 9, z=z—j' sin 9 + z cos 6.

L’équation ( a ) devient en y substituant ces valeurs Tomf. I.

i-ili TUtOftIE ANALYTIQUE

g- . S . ( /• + z'») . dm = — S.(jZ — sY) . .

L’intégrale z'%).dm est le moment d’inertie

du corps par rapport à l’axe des or; en désignant donc par A ce moment, l’équation du mouvement de rotation sera simplement (

A -5^ == — S- (JZ — zY). dm. (*) .

Supposons que la pesanteur soit la seule force accélératrice qui agisse sur le corps que nous considérons; il forme alors ce que l’on nomme un pendule composé, et l’on a Y =o et Z — g; en désignant par g l’intensité de la pesanteur. Par conséquent

&. (y'i — *Y) .dm s= S.y/t.dm —g cos b.S.y' sin I.S.îVm.

Puisque l’axe des z' passe par le centre de gravité, on a S . y' dm = o , et S.z'dm = Ma , en nommant a la distance de ce centre à l’origine, et M la masse du

corps ; l’équation ( b ) devient ainsi

A .^-=s-rr-Mag:.sin 0.

Multiplions les deux- membres de cette équation par 2 cB et intégrons ; nous aurons- .

C étant une constante arbitraire.

Cette expression est le carré de la vitesse angulaire de rotatiou du corps. En résolvant l’équation précé-

DU SYSTÈME DU MONDE. ih'7

«lente par rapport à rit, et cil l'intégrant ensuite, on aura t en fonction de 6, et réciproquement 8 en fonction du temps.

Imaginons le mobile réduit à un point lié à l'axe des x par une droite inflexible l; on aura.,/=<z et dm = M/* ; par conséquent

cfà’

dtk

— '-j. cos 8 -f- C.

Cette équation coïncide avec celle que nous avons donnée n° 1 7 pour déterminer les oscillations du pendule simple; en la comparant à la précédente, on voit que les deux corps oscilleront de la même manière si

l’on fait /=^-, et si l’on suppose qu’ils ont les mêmes

vitesses initiales, lorsque leurs centres de gravité sont dams la verticale, c’est-à-dire lorsque l’angle 8 est nul. On pourra donc toujours déterminer, par la formule „ précédente, la longueur du pendule simple qui fait ses oscillations dans le même espace de temps qu’un pendule composé donné.

On peut conclure de là qu’il existe dans tout pendule composé un système de points qui oscillent comme s’ils étaient isolés et détachés du corps. Ces points sont situés dans le plan qui passe par le centre de gravité et l’axe de suspension, sur une droite parallèle à cet axe. On nomme ces points centres d oscillation.