CHAPITRE VI

De V Équilibre des fluides.

07. Un fluide est un amas de molécules matérielles qui cèdent sans résistance au moindre effort que l’on fait pour les séparer. Cette extrême mobilité qui caractérise les fluides et les distingue des corps solides , exige de nouvelles considérations pour découvrir les lois de leur équilibre , et fait de cette partie de la Mécanique une science à part. En effet, il ne suffi! • plus ici que les forces appliquées au corps qui leur sert d’intermédiaire se fassent équilibre , il faut encore que chaque particule du fluide soit elle-même en équilibre, en vertu des forces qui l’animent et des résistances qu’elle éprouve de la part des molécules environnantes. Exprimions analytiquement ces conditions.

Parmi les propriétés particulières aux fluides, celle qui paraît la' plus propre à s’adapter au calcul et à guider dans cette recherche, est la faculté qu’ils ont de transmettre également et dans tons les sens la pression qu’on exerce à leur surface. En effet, on peut regarder la pression que supporte chaque élément de la masse fluide comme une force qui agit sur lui ; cette force varie pour chaque point de la masse, et peut s’exprimer par conséquent en fonction

dos coordonnées qui déterminent sa position. La différence des pressions qui s’exercent sur deux faces opposées et parallèles de cet élément, est la force qui tend à le mouvoir dans une direction perpendiculaire à ces faces, et dont 1'efl’et doit être détruit par les forces accélératrices qui l’animent; d’où il suit que si l’on considère la masse fluide comme une infinité de petits parallélépipèdes rectangulaires, dont les trois dimensions sont les éléraens infiniment petits des coordonnées qui fixent leur position; qu’on suppose toutes les forces accélératrices qui agissent sur elle décomposées parallèlement à ces axes, on aura immédiatement trois équations aux différences partielles entre ces forces et la pression qui en résulte, d’où l’on pourra déduire, au moyen du calcul intégral, la mesure de cette force, et les relations qui doivent exister entre les forces accélératrices données pour que l’équilibre soit possible.

Toute la théorie de l'équilibre des fluides est renfermée dans ces trois équations générales, auxquelles Üairaut est parvenu le premier, mais qu’il avait déduites d’une manière moins directe et moins simple du principe de l égalité de pressiou en tout sens. Nous allons développer ces équations, qui nous seront de la plus grande utilité dans la théorie de la figure des corps célestes.

On divise ordinairement les fluides en deux espèces : les uns incompressibles, comme l’eau et les autres liquides; ils peuvent changer de forme, mais sans changer de volume ; les autres, tels que l’air, les gaz, les vapeurs, peuvent changer à la fois de figure et de

iSj théorie analytique

volume ; ils tendent toujours à se dilater et à occuper un plus grand espace, et l'expérience a prouvé que l'effort qu’en vertu de cette propriété Us exercent contre les parois des vases qui les renferment est, pour un rriême fluide pris à la même température, proportionnel à la densité ; en sorte que si l’on nomme p cet efl’ort, qu’on appelle aussi la force élastique du fluide, et p sa densité, on a p = k.p; k étant une constante qui dépend de la nature du fluide et de la température. Le principe de l’égalité de pression en tous sens s’applique également à ces deux espèces de fluides , ainsi que les conséquences que nous en allons déduire.

58. Considérons une masse fluide sollicitée par des forces accélératrices quelconques. Soient dm un des élémens de cette masse, que nous regarderons comme un petit parallélépipède rectangulaire ; x,y, z, les coordonnées de l’angle solide le plus rapproché de leur origine; le volume de cet élément pourra être représenté par dxdydz , et en nommant p sa densité, on aura dm= p .dxdjrdz. Désignons par X, Y, Z, les trois forces accélératrices qui agissent sur dm parallèlement aux axes des coordonnées. Xdm , Y dm , Z dm seront les forces motrices qui sollicitent cet élément dans la direction des mêmes axes.

Nommons p la pression qui s’exerce sur la face supérieure dzdy de l’élément dm, et p ' la pression qui s’exerce sur la face opposée; ces pressions étant rapportées à l’unité de surface, (p' — p).dz dy sera la force qui agit sur dm parallèlement à l’axe des x , en vertu de la liaison des parties du fluide. Les deux

DU SYSTÈME DU MONDE. i5i

farces p et // sont dirigées en sens contraire ; cependant, comme la pression qu’éprouve chaque élément du fluide est la même dans tous les sens, on peut supposer que ces forces agissent dans la même direction , et alors p' est ce que devient p lorsque x varie*

y et z restant les mêmes. On a donc// — p=i^.dx;

et la force totale qui sollicite dm suivant l’axe des x

sera par conséquent Çxp — . dxdjrdz. On aurait

de même

(YP — • dxdjdz , et (Zp — J) . dxdydz ,

pour les forces qui sollicitent cet élément parallèlement aux axes des^- et des z. Pour qu’il y ait équilibre dans la masse fluide, il faut donc que les trois quantités précédentes soient égales à zéro, ce qui donne

% = fY’ J = fz- M

Telles sont les équations générales de l’équilibre d’une masse fluide homogène ou hétérogène, compressible ou incompressible, sollicitée par des forces accélératrices quelconques. Les considérations très simples par lesquelles nous y sommes parvenus appartiennent à Euler.

Si l’on multiplie ces équations, la première par dx, la seconde par dy, la troisième par dz ; qu’on les ajoute ensuite, et qu’on intègre leur somme, on aura

dp=. p . (Xdx -f- Y dy -f- Z dz). (a) ,

Le premier membre de celte équation est une diffé-

i5i . THÉORIE ANALYTIQUE

reulielle exacte; il faut donc que le second le soit aussi , pour que cette équation soit possible. Cette condition renferme seule les lois de l’équilibre des fluides. Si l’on élimine par la différentiation p des trois équations (i), on a

d.,X d.fY d.pX d.f Z rf.fY d.pZ

dy dx 1 dz dx ’ dz dy

Ce sont les équations de condition nécessaires pour que le second membre de l’équation (2) soit une différence exacte, et par conséquent intégrable. On en tire

v d Y v rfX , dX

X‘ dz X'.dz^~^'dy

v dz,x dZ r, d Y

équation qui exprime la relation qui doit exister entre les forces X, Y, Z, pour que l’équilibre puisse subsister.

Si les équations précédentes sont satisfaites, l'équilibre est toujours possible, et il ne reste plus à déterminer que la figure extérieure de la masse fluide. Si l'on suppose le fluide libre à sa surface, la pression p sera nulle pour tous les points de cette surface; on aura donc, pour chacun d’eux, p — o, et l’équation (2) deviendra

p.'Xdx -f- Y dy -f- Z dz) = o;

d’où il est aisé de conclure, n“ 4» que la résultante des forces X, Y et Z doit èlre perpendiculaire à la surface libre du fluide; il faut d’ailleurs que cette force soit dirigée du dehors en dedans; et l'on voit en effet d priori, que, sans ces deux conditions, l’é— quil il ire esl impossible.

DU SYSTÈME Dl) MONDÉ*

Si le fluide est homogène, la densité p est constante , et en la prenant pour unité , l'équation ( 2 ) donne simplement

dp — \dx -f- Y dj Tjd: ;

c’est-à-dire. que, dans ce cas, il faut, pour l'équilibre, que la fonction \dx -\-Xdy-\-7.dz soit une différence exacte. On a alors, pour l’équation de la surface libre du fluide,

f{\dx -f- Y dy Z dz) — const.

Mais cette équation est non-seulement celle de la surface extérieure du fluide, elle convient encore à tous les points pour lesquels la valeur de la fonction f(\dx -f- Ydf -f- Zdz) est la même. Les surfaces que forment ces points ont la propriété de couper à angles droits la résultante des forces X, Y, Z, et c’est par cette raison qu’on les a nommées surfaces de niveau.

Supposons le fluide hétérogène, et la fonction Xdx -f- Xdjr -f- Zdz une différence exacte, ce qui a lieu toutes les fois que les forces X, Y, Z résultent des attractions des différentes parties d’un système de corps, et que leurs intensités sont des fonctions des distances mutuelles de ces corps. Faisons, pour abréger,

<p = J'(Xdx -f- Y df + Z d:) ;

<p étant une fonction des trois variables x, y, z, l’équation (2) deviendra

dps=p.df. (3). ;

i5 j THÉORIE ANALYTIQUE

Pour que le second membre de celte équation soit , comme le premier, une 'différentielle exacte, il faut que la densité p soit une fonction de <p. La pression p sera donc également fonction de <p, et l'équation de la surface libre du fluide sera fond. <p = const. , ou simplement <p = const. , comme dans le cas de l'homogénéité. La pression et la densité sont donc les mêmes pour tous les points d’une même couche de niveau. La loi de la variation de la densité, en passant d’une couche à une autre, dépend de la fonction de i p qui l’exprime, et lorsque cette fonction est donnée, on en conclut la pression en intégrant l’équation (5).

Il suit de ce qui précède que, pour arriver, à l’état d’équilibre, une masse fluide dont la surface extéijieure est supposée libre doit se disposer de manière, i". que la densité soit constante pour toutes les couches de niveau comprises entre deux surfaces de niveau infiniment voisines ; 2°. que la résultante des forces accélératrices qui agissent sur la surface extérieure lui soit perpendiculaire.

3g. Il convient d’examiner ici un cas particulier qui a, dans la théorie du système du monde, une application très importante, et qui se déduit d’une manière fort simple des principes précédons, c’est celui où la masse fluide que nous considérons est douée d’un mouvement uniforme de rotation autour d’un axe fixe. Prenons, pour plus de simplicité, cet axe pour celui des s) soit oj la vitesse de rotation commune à tous les points du fluide, et r la distance, de l’élé-

Digitlz

nient dm qui répond aux coordonnées x, y et z, a l’axe de rotation. La vitesse de ce point sera ar, et la force centrifuge qui en résulte, n° i6, ai*/-. 11 faudra donc comprendre cette force parmi les forces accélératrices qui sollicitent cet élément. La fonction que nous avons désignée par p , n’ 38, deviendra ainsi

dtp — Xdx -f- Y dy -f- Z dz -j- a>*. rdr, et l’on aura *

Xdx -f- Y dy -j- Z dz -f- ai*, rdr = o ,

pour l’équation différentielle des couches de niveau et de la surface libre du fluide.

L’introduction de la force centrifuge 11’empèchcra pas, par conséquent, que la fonction dp ne soit une différence exacte ; l’équilibre sera donc encore possible, pourvu que les conditions que nous avons énoncées dans le numéro précédent soient remplies.

Telles sont donc les lois qui ont dû présider à la formation de la Terre et des planètes, en supposant qu’elles étaient originairement fluides, et que leurs molécules ont conservé, en se durcissant, la disposition qu’elles avaient prise en vertu de leurs actions mutuelles et de la force centrifuge due au mouvement de rotation de ces corps.