CHAPITRE PREMIER

Des Forces qui produisent les Mouvemens des Corps célestes , oïl Principe de la Pesanteur universelle.

1 . Nous voyons chaque jour tous les corps du système solaire, transportés par un mouvement propre d’ocddent en orient, changer de position dans les deux et parcourir d’immenses espaces avec d’incroyables vitesses. Il en faut conclure , en vertu de ce principe général de la nature que nous avons nommé l'inertie de la matière, que ces corps sont sollicités par des forces qui sont invisibles à nos yeux , mais dont l’action est permanente. Sans elles, ces corps resteraient immobiles; ils ne varieraient pas par rapport aux étoiles, et nous les verrions toujours reparaître dans les mêmes ljeux du ciel où nous les aurions aperçus d’abord. Telle est donc la première idée que présentent à l’esprit de l’observateur les mouvemens des corps célestes, et la théorie du système du monde se rattache par conséquent à un grand problème de Mécanique, qui consiste à déterminer les mouvemens dans l’espace d’un système de corps soumis à des forces quelconques. Les élémens des mouvemens des astres, leur figure et leurs masses sont les arbitraires de ce problème , et des données indispensables que la

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mécanique céleste doit empruntera l’Astronomie. Mais pour déduire de la solution de cette question générale des résultats comparables aux observations, il faut nécessairement connaître la nature des forces que l’on considère, il faut savoir quelle est la puissance invisible qui anime ces grands corps isolés dans l’espace, qui fait mouvoir ces masses immenses , sans jamais laisser après elle d’autres traces de son action que les effets qu’elle a produits. Pour nous guider dans cette recherche, et pour éviter de nous égarer dans de vains systèmes, c’est à ces effets mêmes qu’il faut avoir recours ; c’est en interprétant convenablement les faits qu’elle nous présente , qu’on peut deviner la nature ; c’est en examinant avec soin les phénomènes observés que l'on peut espérer de s’élever jusqu’à leur cause. Si les résultats de cet examen nous ont révélé les véritables lois de la nature, il faudra qu’en les combinant avec les principes généraux du mouvement, nous voyions se reproduire, non-seulement les phénomènes particuliers d’où nous les aurons déduites, mais encore tous les autres phénomènes du système du inonde que l’observation nous a fait connaître. Cette découverte aura cessé alors d’étre une simple hypothèse , et elle aura atteint le plus haut degré de certitude dont les vérités physiques soient susceptibles.

’ De tous les phénomènes que nous offrent les deux , le mouvement de révolution des planètes et des comètes autour du Soleil est celui qui paraît le plus propre à nous découvrir la loi des forces qui des pro- ' duisent. La similitude des orbites des planètes et des comètes, l’identité de leurs figures semblent nous in-

Dü SYSTÈME DU MONDE. 171

diquer d’avance que ces forces dérivent toutes d’un principe général, et quelles ne se modifient qu’à raison de circonstances particulières aux corps auxquels elles sont appliquées. Considérons donc le mouvement d’une planète ou d’une comète circulant autour du Soleil, et déterminons la force qui doit l'animer pour produire ce mouvement.

Une observation attentive du cours des planètes a établi d’une manière positive les faits suivans, qu’en mémoire de l’astronome qui les découvrit , on a nommés les lois de Képler.

i°. Les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes et des comètes dans leur mouvement autour du Soleil, sont proportionnelles aux temps.

1'. Les orbes des planètes et des comètes sont des sections coniques dont le centre du Soleil occupe un des foyers.

3°. Les carrés des temps de révolutions des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites, ou, ce qui revient au même, et qui peut s’appliquer également aux planètes et aux comètes, les aires décrites en temps égal , dans différentes orbites , sont proportionnelles aux racines carrées de leurs paramètres.

a. Cela posé, formons les équations du mouvement de la planète ou de la comète que nous considérons de manière à satisfaire aux conditions précédentes. Rapportons la position de l’astre au plan même de son orbite ; soient x et y les coordonnées de son centre de

17a THÉORIE ANALYTIQUE

gravité relatives à deux axes rectangulaires menés par le centre du Soleil ; X et Y les forces accélératrices qui le sollicitent parallèlement aux mêmes axes, les équations différentielles du mouvement seront, n° 12, livre I,

7F~ de ~

Si l’on retranche ces deux équations l’une de l’autre, après avoir multiplié la première pary, et la seconde par x , on aura

^~.’A)=-ïx-Xr.

Il est aisé de s’assurer que xdj — ydx est le double de l’aire que décrit autour du Soleil le rayon vecteur de la planète pendant l’instant dt. Cette aire, d’après la première loi de Kepler, est proportionnelle à l’élément du temps; on aura donc

xdy — ydx = cdt , (b)

c étant une constante arbitraire.

La différentielle du premier membre de cette équation est nulle , et l’équation (1) donne par conséquent

\x—Xy=o.

Il suit de là que les composantes X et Y sont entre elles comme les coordonnées x et y, ce qui indique que leur résultante passe paç l’origine des coord on-, nées, ou par le centre du Soleil. D’ailleurs la courbe que décrit la planète ou la comète étant concave vers

JbyGoosT

DU SYSTÈME DU MONDE. t73

le Soleil , 1* foree qui l’anime est évidemment dirigée vers cet astre.

Déterminons maintenant les intensités de cette |orce à différentes distances du Soleil. Reprenons pour cela les deux équations {a). Si on les ajoute après avoir multiplié la première par 2 dx, la seconde par 2 clj, et qu’on intègre leur somme, on trouvera

djl±^ = c' + 2.fJUx + Ydf), (2)

c' étant une nouvelle constante arbitraire.

Transformons les coordonnées x et y en d’autres variables plus commodes pour comparer cette équation aux résultats des observation^, Soit r« le rayon vecteur de la planète dans son orbite, v l’angle que forme ce rayon avec l’axe de x ; on aura

x—r cos v, y = r sin v, r=\/.r*-f-y*,

d’où l’on tire

dx% -{- djr * = dr* + r*dv‘, xdy * — ydx = r*dv. "

Désignons de plus par R la force totale qui agit sur la planète, cette force étant dirigée suivant le rayon Recteur r, et tendant à diminuer les coordonnées^ ety, on aura

X — — R. cos. o, Y= — R.sin.v, R=v/X*-f-Y*, et par conséquent • 1

Xdx -f- Y dy = — Rdr.

i74 théorie analytique

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (3) et qu’on élimine dt au moyen de 1 équation ( b ) , on aura

c'.dr'

r* dv* r*