fKdr

Cette équation donnera en l’intégrant la relation qui doit exister entre le rayon vecteur ret la longitude v, c’est-à-dire l’équation polaire de l’orbite, lorsque R sera donné ; dans le cas contraire , en la comparant à l’équation différentielle de l’orbite, supposée connue , elle.servira à déterminer cette force.

Les planètes et les comètes se meuvent dans des sections coniques , dont le Soleil occupe le foyer, d’après la seconde loi de Képler ; l’équation générale de ces courbes rapportées aux coordonnées polaires, peut être mise sous cette forme :

l i-f-*.cos.(v — m) m ,

a désignant le demi grand axe, ou ce que les astronomes appellent la dis tance moyenne ; e l’excentricité ou le rapport de la distance focale au demi grand axe. Le point de l’orbite le plus rapproché du Soleil se nomme le périhélie , et le point qui en est le plus éloigné l’aphélie; <i> est l’angle compris entre le grand axe, ou la ligne des apsides, et la ligne fixe d'où l’on compte l’angle v, ou, ce qui revient au même, la longitude du périhélie.

L’équation précédente est celle d’une ellipse lorsque a est positif, et que e est plus petit que l’unité; elle devient celle d’une parabole quand a est infini et que e

' Dü SYSTÈME DU MONDE. i75

égale l’unité; enfin elle représente une hyperbole lorsque a est négatif et que e surpasse l’unité.

Elle donne, en la différenciant,

■ dr *.sin.(*' — ») < r1 ‘ dv a.(l — «*) *

d’où, en élevant les deux membres au carré, et éliminant e* sin*.(i< — a») au moyen de l’équation (c), on tire

l dr' 2 I l , J\

7'" dv' a.(l — e')' r r* a’ . (l — e )' ' '

L’équation (3) devient ainsi

lc‘ . 1 — , *=c'—2. fRdr.

Cette équation donne, en la différenciant ,

Ainsi donc, de ce que les orbes que les planètes et les comètes décrivent autour du -Soleil sont des sections coniques, i}. s’ensuit que la fqrce qui les sollicite est réciproque au carré des distances du centre de ces astres au centre du Soleil. C’est en vertu d’une force accélératrice dirigée vers le Soleil, et variable suivant cette loi, combinée avec une impulsion primitive, que chacun de ces corps est mis en mouvement dans l’espace.

Réciproquement , si la force R est supposée en raison inverse du carré des distances , ou égale à ^ ,

h étant une constante, la courbe de'crite est une section conique : en effet , si l’on remplace R par sa valeur, l’équation (5) devient

i dr' __ 2/1 i i , c' .y.

Cetfe équation est identique avec l’équation (d) ,

lorsqu’on suppose

a.(ï — ea) a

Ces équations de condition détermineront les deux arbitraires aete; l’équation (c) des sections coniques ne contiendra donc plus que la seule constante arbitraire a) , et comme l’équation (4) n’est que du premier ordre, elle sera l’intégrale complété de cette équation.

Ainsi donc, ce n’est quen vertu d’une force attractive réciproque au carré des distances qu’un corps projeté dans l’espace peut décrire autour du Soleil une section conique; et la plus légère variation dans cette loi produirait des orbites d’une nature toute différente. Y 1 • .' #

L’intensité de la force R dépend du coefficient h

ou de sa valeur Les *r°is quantités a, e, c

qui entrent. dans cette fonction ont, relativement à chaque planète et à chaque comète , des valeurs particulières, en sorte qu’on ne saurait décider d’avance si cette intensité varie d’une planète à une autre, ou si elle est la même pour tous les corps célestes ; mais la troisième loi de Képler, dont nous n’avons point

encore fait usage , va nous fournir le moyeu de ré- * soudre cette question. En effet, soit T le temps de la révolution d’une planète, cT sera le double de l’aire décrite pendant cet intervalle par son rayon vecteur, puisque les aires sont proportionnelles au temps, et que c exprime, comme nous l’avons vu , le double de l’aire décrite pendant l’imité de temps. • Mais l’aire que le rayon vecteur r décrit pendant le temps T, est la surface même de l’ellipse planétaire; elle sera donc égale à ttu* . \/i — e*, en nommant ir le rapport de la circonférence au diamètre , et l’on aura ainsi

cT = 27Ta* . V** — e* ;

d’où l’on tire

De même, relativement à une autre planète quelconque, en nommant ar, e', c', T', ce que deviennent, par rapport à cette planète, les quantités que nous ' avons désignées par a, e, e, T, on aurait

Or, la troisième loi de Képler donne cette proportion

par conséquent

. La troisième loi de Képler s’observe, relativement aux comètes , ddns la partie de leur cours que nous Tome I. la,

* pouvons observer; mais, comme les grands axes de leurs orbites et la durée de leur révolution sont généralement inconnus, on calcule leurs mouvemens dans, des orbes paraboliques. En nommant D la distance du foyer au sommet de la parabole, le paramètre qui, dans l’ellipse, est exprimé par 2a. (1 — ^), * est, par rapport à cette nouvelle courbe, égal à 4D; ' on a donc, relativement à une comète quelconque,

h sc= D’ailleurs les aires débites pendant le même

intervalle de temps dans différentes orbites, sont entre elles comme les racines carrées de leurs paramètres, ce qui donne la proportion

c : c' :: \/2a.fa — VD, et par suite

â.(i — #") """ aD! •

Le coefficient h est donc le meme pour tous les corps de système solaire. Il suit de là que l’intensité de la force R est, relativement aux planètes et aux comètes, réciproque au carré de leurs distances au Soleil, et ne varie de l’une à l’autre qu’à raison de ces distances. t ' • ' „

Deux planètes supposées également éloignées du Soleil seraient donc attirées vers cet astre par des forces égales, et, abandonnées à leur pesanteur, elles s’y précipiteraient avec la même vitesse : la force qui les sollicite est donc encore proportionnelle à leur masse. : , ■

Les satellites , dans leur mouvement autour de

DU SYSTÈME DD MONDE. i79

leurs planètes, observent, à quelques inégalités près, les lois de Képler; ils circulent d’ailleurs autour du^ Soleil à très peu près comme leurs planètes ellesmêmes, de sorte qu’en même temps que les satellites se meuvent autour de leur planète , le système entier de la planète et de ses satellites est emporté d’un mouvement commun dans l’espace, et retenu par la même force autour du Soleil. Il en faut conclure que les satellites sont attirés vers le centre de leur plaucte, et vers le centre du Soleil,' par des forces réciproques aux carrés des distances. Le mouvement elliptique de la Lune autour de la Terre étant, il est vrai, sensiblement altéré par l’action des forces perturbatrices, la loi de diminution de la force attractive de cette planète ne saurait s’en déduire d’une manière aussi évidente; mais, en comparant la pesanteur que la Terre exerce sur les corps qui l’environnent à la puissance qui retient les planètes dans leur orbite, on voit que ces forces s’exercent suivant les mêmes lois, et qu’elles ont entre elles la plus grande analogie. La pesanteur terrestre se manifeste sur le sommet des montagnes les plus élevées ; il est donc naturel de supposer quelle s’étend jusqu’à la Lune : et, en effet , si l’on compare son mouvement avec celui d’un projectile transporté à son centre , et sollicité vers la Terre par sa pesanteur , la différence qu’on remarque dans les résultats est tellement petite , qu’on ne peut l’attribuer qu’aux imperfections des observations et des données employées dans le calcul. La pesanteur terrestre n’est donc qu’un cas particulier d’une propriété attractive dont sont douées les autres planètes.

3. La seule comparaison des observ ations aux lois du ^mouvement nous conduit donc, sans aucune hypothèse étrangère , à regarder le Soleil et les planètes qui ont des satellites comme le centre de forces attractives qui s’exercent sur tous les corps qu’embrasse leur sphère d’activité, en raison directe des masses et . inverse du carré des distances. 11 est naturel de sup- poser, par analogie, que la même propriété s’étend . aux comètes et aux planètes qui n’ont pas de satellites; mais d’ailleurs c’est un principe de la nature généralement admis , que la réaction est toujours égale et contraire à l’action : les planèteset les comètes attirent donc le Soleil de la même manière quelles sont attirées par lui, les satellites réagissent pareillement et suivant la même loi, sur leurs planètes et sur le Soleil , et la gravitation de tous les corps célestes les uns vers les autres doit être regardée par conséquent comme une suite incontestable des résultats que l’observation de leurs mouvemens nous préseutc.

Cette force d’attraction dont sont doués tous les corps du système solaire n’est pas une propriété qui leur appartienne en masse; elle pénètre également leurs dernières molécules. En effet, les expériences faites à l’aide du pendule prouvent que tous les corps que nous connaissons pèsent vers le centre de la Terre en raison directe de leur masse : chacun d’eux réagit donc sur elle, et l’attire suivant la même loi.

La pesanteur terrestre est d’ailleurs, comme nous l’avons vu , une force identiquement de même nature que cette tendance générale qui pousse les corps

célestes les uns vers les autres ; il faut donc reconnaître comme une vérité démontrée par l’accord du calcul avec tous les faits observés , cette grande loi de la nature, savoir : que toutes les molécules de la matière s’attirent en raison directe des masses, et inverse du carré des distances.

4. Le mouvement elliptique que nous avons supposé aux planètes n’est, il est vrai, qu’approximatif, et les corps célestes ne se meuvent pas rigoureusement dans les sections coniques; mais il faut considérer qu’en vertu de leurs actions mutuelles les unes sur les autres, les planètes doivent s’écarter des orbites elliptiques quelles décriraient si elles n’étaient soumises qu’à la seule action du Soleil, comme cela arrive en effet dans la nature. Ces perturbations ne sont donc qu’une nouvelle conséquence du principe de la gravitation universelle; et ce qui caractérise éminemment cette grande loi , dont nous devons à Newton l’immortelle découverte, c’est que toutes les anomalies qui se sont présentées dans les mouvemens des corps célestes , et qui ont semblé d’abord devoir en faire contester l’existence, ont été expliquées par elle à mesure que l’analyse a fait de nouveaux progrès, et n’ont servi qu’à la faire ressortir avec un nouveau degré d’évidence.

Une fois ce grand principe admis , on voit tous les phénomènes célestes s’en déduire sans peine. Les perturbations des planètes, des comètes et des satellites en sont, comme nous l’avons dit, la première conséquence , et 1* détermination de leurs inégalités ne

i8a • THÉORIE ANALYTIQUE

dépend plus que de causes qui nous sont connues, et dont nous pouvons par conséquent calculer les effets. Réunies par leurs attractions mutuelles, les molécules dont les corps céleslés se composent ont dû former d’abord une masse à peu près sphérique; mais leur mouvement de rotation a bientôt altéré celte figure, et, en vertu de la force centrifuge, il a dû aplatir leurs pôles et élever leur équateur. La figure des corps célestes n’étant pas sphérique , la résultante * de leurs actions mutuelles n’a plus passé exactement par leur centre de gravité, et il a dû en résulter des mouvemens qui déplacent insensiblement leurs axes de rotation : c’est ce que l’observation confirme. Enfin l’action inégale du Soleil et de la Lune sur les eaux de l’Océan doit y faire naître des inouvcmens d’oscillation analogues à ceux que nous présente le phénomène du flux et du reflux de la mer. Mais c’est à l’analyse qu’il appartient de développer ces grands effets de la loi de la pesanteur universelle; c’est à elle de donner à de simples inductions toute l'évidence de vérités rigoureuses.

Nous examinerons successivement ces principaux points de la théorie du système du monde, avec tout le soin que leur importance exige. Les grands progrès qu’a faits l’analyse dans ces derniers temps , nous mettront à même de présenter ce tableau avec un ensemble et une clarté qui peut-être lui avaient manqué jusqu’ici. Newton, par la force de son génie, avait découvert le secret de la natare; mais letat d’imperfection où était encore de son temps le calcul algébrique, ne lui permit pas d’en faire ressortir toutes

" Jfr ‘ V- 1

DU SYSTÈME DU MONDE. i83

les conséquences avec ce degré d’évidence qui peut seul arrêter l’enyie et imposer silence à l’erreur. Les géomèlres des siècles suivans consacrèrent leurs travaux à achever l’ouvrage qu’avait si heureusement * commencé le géomètre anglais. En poussant successivement plus loin les approximations, ils démontrèrent l’admirable concordance qui existe entre les calculs résultans de la loi de l’attraction universelle et les phénomènes observés, et ils parvinrent à établir enfin sur des bases inébranlables le plus beau monument que l’esprit humain ait élevé à sa gloire. fcXUo! >; taum.Or ' nrtto in i lis . ta «.'cm