VV- *)’ + ly" -y)* + (*" =^T

-- ■ - --f etc

vV - *y + (y’ - yy 4 - *Y

1 86 TÉÉORIE ANALYTIQUE

La fonction n désignant la somme des masses m', m", etc., divisées respectivement par leurs distances à la molécule dm, les trois différentielles partielles JJ» exprimeront les forces accéléra-

trices dont cet élément est animé , en vertu des actions réunies de tous les corps du système , décomposées parallèlement aux axes coordonnés , et dirigées en sens contraire de leur origine. Ces forces sont celles que nous avons désignées par X, Y) Z dans le n° 27 du premier livre. Si l’on fait donc , pour abréger, Y = S.n dm, le signe intégral S se rapportant à l’élément dm, et aux quantités qui yarient avec lui et devant être étendu à la masse entière du corps m , on aura

dn

dï-dm’

rfv

dy

et les trois équations (b) du nc 27 deviendront

d’x 1 dV d‘ y 1 <A d?z i d\

de' m" dx ’ dt' m dy ’ dt * m di

Ces équations serviront à déterminer les mouvemeps du centre de gravité du corps m dans l’espace.

Supposons maintenant que l’on désigne parx,/, z les coordonnées de l’élément dm rapportées aux trois axes principaux qui se croisent en ce point, et par x',y, z', x",y, z", etc., les coordonnées des corps m', m", etc., relatives aux mêmes axes; on aura, comme précédemment,

V' (*" — *)■ + iy’—yY -f (»é - «ÿ

+ etc.,

et les trois forces qui agissent sur l'élément dm , parallèlement aux axes des x, des y et des z, et

. , , , . . . dn rfn dn

en sens oppose a leur origine, seront ^ •

En désignant donc, comme dans le n° 3o, par N, N', N" la somme des momens de ces forces rapportés respectivement aux mêmes axes, on aura

*r c / rfn rfn\ , d\ dV-

N = S* y'YÜ z" dï)-dms=Jr- dl~z- JJ ’

wt/ o f dit dn\ » d\ dW I

®^s\z-iï-*-d;)’dm=z‘dï-x-in->t

jy«. c ( x r dm — -r — y 1

J-dx)Mm — X: djr, S’ dx’J

et les trois équations différentielles (C) n* 3o deviendront par la substitution de ces valeurs

Arfp+(C-B).?r.r*=(7.^— z.^j.dtA Bdq-i-(\ — C ).rp.dts=^ Z‘J~ — ^ Cdr+ (B — A) . pq . dt = (x . ^ — y . . dt. j

Ces équations serviront à déterminer les mouvemens de m autour de son centre de gravité.

6. Les équations (A) et (B) sont indépendantes du nombre des corps agissans du système; elles conserveraient encore la même force dans le cas où J’on voudrait avoir égard aux dimensions et à la figure de l’un de ces corps. En effet, il suffirait pour cela de supposer que ni', m", etc. , dans la fonction n , représentent les élémens infiniment petits de la masse de ce corps; la valeur de V serait donnée alors par deux intégrations indépendantes l’une de l’autre, la première relative à la masse dn corps attiré, la seconde à celle du corps attirant, c’est-à-dire que l’on aurait

Y ^ q; dm . dm *•

dm' étant un élément de la masse de m'; x\ y', z', les coordonnées de cet élément rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les coordonnées x, y, z ; enfin, le signe intégral S' se rapportant à cet élément et devant s’étendre à la masse entière de m'.

Les six équations précédentes déterminent complètement les mouvemens du corps m dans l’espace ; les trois premières donneront à chaque instant la position de son centre de gravité par rapport à trois axes fixes pris à volonté , et les trois autres détermineront son mouvement de rotation autour de ce point supposé immobile. Nous pourrons donc, conformément à ce que nous avons dit dans le n° 27 du premier livre , simplifier la question dont nous nous occupons , en la divisant en deux parties. Dans la première , nous examinerons les mouvemens des centres de gravité des

corj» célestes dans l’espace, et dans la seconde, lenrs mouvcmens de rotation autour de ces points.

7. Lorsqu’on ne considère que les mouvemens de translation d’un système de corps m, m' , m", etc. , et qu’on suppose les distances mutuelles de ces corps très considérables relativement à leurs dimensions respectives, on peut, sans erreur sensible, faire abstraction totale de leur figure, et regarder à la fois les corps attirans et les corps attirés comme des points concentrés dans leur centre de gravité. Les équations (A) prennent dans ce cas une forme plus simple; en effet, les coordonnées x, y, z de l’élément dm sont alors identiques avec les coordonnées x, y, z du centre de gravité du corps m ; si l'on fait donc, pour abréger,

vv -«)■+(/ - >7 + <7 - »)•

m ni

y~—yY +

v/ (*•- jy+ c/ - /)•+

+ etc. ,

on a

dx dx '