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dx>
dV dx *
dx dV dx
dy dy *• di
et les trois équations (A) deviennent
d’x 1 dx d'y i dx d’x 1 dx . .
d ? m' dx* dt 1 m ’ dy * dl% ' m ‘ dx' ' '
En marquant successivement les lettres m, x, y, z d’un accent, de deux aceens, etc. , on aurait des équations semblables pour déterminer les mouvemens des corps m!, m", etc. Le système de toutes ces équations réunies fournit un certain nombre d'intégrales rela-
igo THÉORIE ANALYTIQUE
tives aux principes généraux du mouvement, conformément à ce que nous avons dit n* 22 et suivans ; c’est ce qu’il est facile de vérifier. Mais, pour intégrer complètement ces équations, et déterminer, par leur moyen , les valeurs des coordonnées x, y, z , etc. , en fonction du temps , on est forcé de recourir aux méthodes d’approxi mation.
8. Pour pouvoir employer avec avantage les équations ( c ) dans la théorie du système du monde, il est nécessaire de leur donner une forme plus appropriée aux usages astronomiques. En effet, dans l’impossibilité où nous sommes de juger de leurs mouvemens absolus dans l’espace, c’est au centre du Soleil que nous rapportons les mouvemens des planètes et des comètes; il faut donc, pour pouvoir comparer la théorie aux observations , déterminer les mouvemens d’un • système de corps m, m', m", etc., autour de l’un d’entre , eux regardé comme le centre de leurs mouvemens.
Soit M la masse de ce dernier corps, m, m', m", etc., celles des autres corps dont on veut déterminer les mouvemens relatifs autour de M; £, », £, les coordonnées rectangles de M rapportées à une origine fixe ;
x, >! -f-j, Ç+Z, celles de m; £-Hc', k+j', £-+-z', celles de m', et ainsi de suite; en sorte que x , y, z seront les coordonnées de m par rapport à M ; x1, y, z', les coordonnées de m'par rapport au même corps,
et ainsi de suite ; faisons de plus , pour abréger,
r = y/x*-+-y-+- z‘, r> = \Jxf'
r" = v/*"*+/'* + 2i7ï, etc. ,
et supposons ,
^ __ * mm •
mma
+ */(*' - *)*+ G"-yy + c«* ^T*
H — OTOT + etc
L’action de m sur M sera exprimée par et cette
action décomposée parallèlement aux axes coordonnés, et dirigée en sens contraire de cette origine, donnera, suivant chacun de ces axes, les trois forces
mx my mx
En marquant successivement d'un accent, de deux accens, etc., les lettres m, x, y, 2 et r, on aura^ pour les actions de m', de m ", etc., sur M, des expressions semblables ; le mouvement de M sera donc déterminé par les équations différentielles
cP Ç mx d'i my d* £ ms
’dF~X"?"
Cela posé, l’action de M sur m, parallèlement aux
axes de ses coordonnées, et dirigée vers leur origine,
Mjc Mv Mz , . . e .. t d>. 1 dx
sera — r , — f- , -r- : les trois fonctions
r' 7 r V r* ' m dx’ m dy ’
~ exprimeront la somme des actions qu’exercent
sur m les autres corps m', m”, etc. , décomposées parallèlement aux mêmes axes et tendant à augmenter
les coordonnées de m; on aura donc, en vertu des actions rcunies.de M, m', ni', etc.,
d\ -f x) . . M x i dx
dt * r1 m' dx ’
de ~t~ r1 ~~ m'dy’
d'. (Ç -f- «) . Ms i dx
dt * r* m' dz‘
Si l’on substitue pour ~, 0, leurs valeurs 2 . ^ , 2 . ^ , 2.^f, ces équations deviendront
cPx M* . . mx i dx dF+ - + 2.-^ = -.^,
^ U s ^ — 1 dA l
rf’s , Ms , mz i dx
dl% ‘ r> — m’dl'
On peut leur donner encore une autre forme. En effet, si pour abréger on fait M -f- m = /x et qu’on suppose
xx'+y/ + zz'~ \
J xx"+-yy’+tt’~[
+ etc.,
elles deviennent
dx
