I.Z.mdy mdy a t.mdz md’x , • ,, mdr

M+X m dtx M + Z.m'X''de +aM-s--^ *dx=»-,

Ct, en intégrant,

de (M 2. m) . de

— 2M . X . 2A = const . ,

équation qui peut s’écrire ainsi ;

dx‘ 4- rfy* -h dz‘ •.

de

. +v ^*-**)'+w-*r+w-ddr^ .

h étant une constante arbitraire. Cette équation s’accorde avec l’équation (p) du n° 26, Hv. I; elle

iç,3 THÉORIE ANALYTIQUE

renferme le principe dè la conservation des force» vire».

Telles sont les seules intégrales premières qu’on ait pu tirer jusqu’ici du système des équations (D) réunies aux équations semblables relatives aux corps M , ni, m ” , etc. Elles indiquent des relations qui doivent toujours exister entre les coordonnées de ces différais corps, et qui résultent des principes généraux du mouvement; mais elles sont loin de au dire à leur détermination , et l'on est réduit, pour achever l’intégration des équations (D), de recourir aux méthodes d’approximation. Comme ces méthodes sont princifs dement fondées sur ce que les distances des planètes et des comètes au Soléil, et leurs distances mutuelles, sont extrêmement grandes relativement aux dimensions de ces corps et à celles des systèmes partiels que forment les planètes avec leurs satellites, il est important de faire voir quels sont les avantages que présente à cet égard la constitution du système solaire. Ces considérations serviront d’ailleurs à montrer que les quantités que nous avons négligées dans la formation des équations différentielles (D) sont en effet toujours insensibles.

10. Ne considérons, pour simplifier, que l’action * réciproque de deux corps m et pi , et représentons généralement par Via fonction qui exprime la somme des produits deux à deux des élémens dm et dm' dont ces corps se composent , divisée par leur distance mutuelle. Soient x, t, z les coordonnées de dm rapportées à une origine fixe, et x , y', z' Je» coordonnées

DU SYSTÈME DU MONDE. -iW

de dm! rapportées à la même origine, on aura

dm. dm.

Le double signe intégral S se rapportant à deux intégrations indépendantes l’une de l’autre, la première relative à la masse du corps attiré, et la seconde à celle du corps attirant. Les trois différentielles partielles

dV dX dV . „

— , 1\ ' Hl e*Pnraeront> comme nous 1 avons vu ,

les attractions qu’exerce parallèlement à chacun des axes coordonnés le corps m sur le corps m.

Cela posé , soient xJ, j', a' les trois coordonnées du centre de gravité de m' rapportées aux mêmes axes et à la même origine que x', y', z', et soient x' y, y y, zt les coordonnées de dm relatives à ce centre , en sorte qu’on ait

Supposons

Si l’on substitue dans cette fonction, à la place de x', y', z, leurs valeurs, qu’o» développe ensuite la fonction résultante par rapport aux puissances ascendantes de x't , j1 1 , s'; , en faisant, pour abréger,

(*'— x>* -h cy- y)* + y- zy = r*, . *'* + y ;+ «7 *= /»,

on aura ......

»U SYSTÈME DL MONDE. atfr

tion V d..ns le n* 5; on voit donc que cette valeur est exacte aux quantités près du second ordre, par rapport aux dimension de m': Les trois différentielles

partielles ^ , —< , exprimeront généralement

l'action totale du corps m' sur le corps rn, décomposée parallèlement aux axes des coordonnées, et dirigée en sens contraire de leur origine. On voit donc que cette action est la même que si la masse entière de m1 était réunie à son centre de gravité.

Soient maintenant x, y, z les trois coordonnées du centre de gravité de m et xf , jrt , a, les coordonnées de la molécule dm relatives à ce centre ; on aura

Si l’on substitue ces valeurs dans V, et qu’après avoir développé la fonction résultante ou l'intègre, il sera facile de démontrer par l’analyse précédente qu’on a, aux quantités près du second ordre.

V (*' — *5* -+- Ty — + ô' — *)*

C’est la valeur que nous avons supposée à la fonction X dans le n° 7 ; cette valeur est4donc exacte , aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions de l’astre attirant et de l’astre attiré. D’où l’on peut conclure généralement que l’expression de ' la fonction V, et par conséquent l’action totale de m' sur m, seront les mêmes, aux quantités près du même ordre, que si les masses des deux corps m et m' qni

2oa THÉORIE ANALYTIQUE;

agissent l'un sur l'autre étaient des points massifs placés à leurs centres de gravité respectifs.

11 suit de là que, dans la recherche des mouvemens des centres de gravi té d'un système quelconque de corps dont les dimensions sont très petites par rapport à leurs distances mutuelles, on peut faire abstraction de leur figure, et que leur action réciproque les uns sur les autres est la même , à très peu près , que si la masse de chacun.de'ces corps était réunie à son centre de gravité.

Si le système que l’on considère était partagé en plusieurs systèmes partiels , disposés de manière que les dimensions de chacun d’eux fussent très petites par rapport aux distances mutuelles de leurs centres de gravité, on ferait

■yf ___ ^ ni in-

ni et ni' représentant les masses de deux corps appartenant à des systèmes différens, et x ,y, z, x' , y’ , z' les coordonnées de leurs centres de gravité rapportées à une origine fixe. Les différentielles partiçlles de la fonction V exprimeraient encore les actions du premier système sur le second, parallèles aux axes coordonnés. Or, si l’on désigne par x, y, z les coordonnées du centre de gravité du premier système, et par x',;y', z' ies coordonnées du centre de gravité du secorid , il sera aisé de prouver par l’analyse précédente, et par les propriétés connues du centre de gravité, qii’on aura, aux quantités près du second ordre par rapport aux dimensions respectives de chacun des deux systèmes.

Dü SYSTÈME PU MO* DE.

ao3

d’où il sait qae les deux systèmes réagissent l’un sur l’antre, à très peu près comme si les corps qui les composent étaient réunis à leurs centres de gravité respectifs, cl que par conséquent ces centres se meuvent comme si cette réunion avait lieu en effet.

ii. I.e Soleil et les planètes forment un système semblable à celui que nous venons de considérer, les distances des satellites à leurs planètes étant toujours peu considérables relativement aux distances de la planète au Soleil et aux autres planètes. Il en résulte donc que le système d’une planète et de ses satellites agit , à très peu près , sur les autres corps dn système solaire, comme si la planète et ses satellites étaient réunis à leur centre commun de gravité, et que ce centre est attiré par ces différens corps, comme il le serait dans cette hypothèse. Il s’ensuit encore que l’action du Soleil et des planètes étant à très peu près la même sur la planète et sur les satellites, ceux-ci se meuvent h très peu près comme s’ils n’obéissaient qu’à l’action de la planète.

Enfin la constitution du système solaire permet encore d’appliquer aux planètes et aux comètes, les considérations sur lesquelles nous avons établi les équations différentielles (D) et (B), et les actions réciproques de ccs corps les uns sur les autres sont à très peu près les mêmes que si leurs masses étaient concentrées dans leurs centres de gravité respectifs. Mais cette supposition , que la petitesse des dimensions

aoj THÉORIE ANALYTIQUE

des corps célestes, comparativement à leurs distances mutuelles, rend déjà fort approchée, acquiert par la sphéricité de leurs ligures un nouveau degré d’exactitude. Eu effet, on peut regarder les planètes et les comètes comme étant formées de couches à très peu près sphériques, de densités variables, et nous avons fait voir, n° i g , livre I , que l’action d’une couche sphérique homogène, sur un corps qui lui est extérieur, est la même que si toute sa masse était réunie à son centre ; d'où l’on peut conclure encore que les quantités négligées dans la formation des équations (D) et (B) sont du même ordre que l’excès du sphéroïde que l’on considère sur la sphère concentrique. Les ditrérens corps du système solaire réagissent donc les uns sur les autres à très peu près comme si leurs masses étaient réunies à leur centre de gravité, non-seulement parce que leurs distances mutuelles sont très grandes par rapport à leurs dimensions respectives , mais encore parce que leur figure s’éloigne peu de celle de la sphère.

12. Si les corps célesies n’obéissaient qu’à la seule action du Soleil, et si leur figure était exactement sphérique , les courbes qu’ils décrivent autour de cet astre seraient elliptiques , et Jeur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité serait celui d’un corps solide qui n’est sollicité par aucune force accélératrice, cl qui a reçu seulement une impulsion primitive quelconque, cas que nous avons examiné dans le chapitre V du premier livre. Dans cette double hypothèse, les seconds membres des équations (E) et (B) se réduisant à zéro, ces équations deviennent intégrables; et comme

en effet les planètes , les comètes et les satellites se meuvent à très peu près, les premières autour du Soleil , les seconds autour de leurs planètes, comme s’ils n’obéissaient qu’à l’action des forces principales qui les animent , on peut regarder les résultats qu’on obtient de cette manière comme une première approximation des mouvemens célestes , et les forces négligées comme des forces perturbatrices dont le seul effet est d’y produire de faibles altérations. Un beau procédé d’analyse, que l’on doit au génie de Lagrange, offre un moyen facile de tenir compte de semblables forces, , quel que soit leur mode d’action sur les mobiles , (pourvu seulement qu’elles soient supposées très petites par rapport aux forces principales), par de simples variations données aux constantes qui entrent dans les intégrales de la première approximation, c’est-à-dire dans les intégrales trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices. Les deux principaux problèmes du système du monde, la détermination du mouvement de translation des corps célestes et de leur mouvement de rotation autour de leur centre de gravité, se trouvent ainsi ramenés à une simple question analytique qui les embrasse tous deux dans sa généralité. Nous consacrerons le chapitre suivant à exposer cette féconde méthode d intégration, en appliquant ensuite aux équatious différentielles (E) et (B) les formules générales quelle nous fournira, nous parviendrons, par des approximations successives, à déterminer de la manière la plus simple le double mouvement des corps célestes avec un degré de précision que les observations les plus exactes ne sauraient jamais atteindre.

aofi THEORIE' ANALYTIQUE