CHAPITRE III

Intégration des Équations différentielles du Mouvement d'un système de corps soumis à leurs altrac1tions mutuelles.

1 5. Nous avons donné dans le chapitre précédentles . équations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leurs actions mutuelles, et nous avons fait connaître les seules intégrales finies qu’on soit parvenu jusqu a présent à tirer de ces équations. Nous allons développer dans Celui-rci la méthode d’approximation la plias lumineuse que l’on ait encore imaginée pour suppléer à cette imperfection de l’analyse.

Pour traiter cette question d’une manière générale, considérons un système de corps m , m', m", etc. , agissant les uns sur les autres d’une manière quelconque, et sollicités de plus par des forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles. Les résultats que nous obtiendrons auront ainsi toute l’étendue dont la question est susceptible, et il sera facile ensuite d’en faire l’application aux équations différentielles du double mouvement de révolution et de rotation des corps célestes.

Nous avons montré, dans le chapitre IY du livre I , que la détermination des mouveraens d’un pareil système pouvait toujours être ramenée à un nombre d’équations différentielles du second ordre égal à celui des variables indépendantes que chaque question corn-

DD SYSTÈME DU MONDE. ao7

porte. Une intégrale qui résulte dans tous les cas de ces équations, est celle qui est fournie par le principe des Jorces vives. Si l’on désigne par x,y, z les coordonnées de m, par x',y', z', les coordonnées de nï, etc., rapportées à trois axes rec tan gu lîi ires, et que, pour abréger, on représente par T, la moitié de la somme des forces vives du système, en sorte qu'on ait

rr, m plx'+dy* + dz"\ m

T = H 2FT“ ;+T*\ ^ ) + etc,;

qu’on nomme de plus V l’intégrale de la somme des forces dont le système est animé, multipliées respectivement par l’élément de leur direction, c’est-à-dire qu’on fasse

X=fm.[Xdx+YJy+2Jz)+fm. (XW+Yd^'+Z'flfe') + etc. ,

cette intégrale devient, u° 24, livre 1,

Les coordonnées x , y, z, x ',7', etc. déterminent à chaque instant la position des corps agissans du système. Ces variables sont en général liées entre elles par des équatipns de condition’ qui dépendent de la nature du système, en sorte qu’il ne reste finalement qu’un nombre de variables indépendantes égal à trois fois le nombre des corps , moins le nombre des équations de conditions. Nous supposerons, comme cela a lieu ordinairement, le nombre de ces variables indépendantes réduit à trois, 0, 4> et nous désignerons, pour abréger, par <p', 4 » ® > les différences de

ces variables prises par rapport au temps t, et divisées par l’élément du temps, en sorte qu'on ait

Il sera toujours possible, en ayant egard aux équations de condition, d’exprimer les coordonnées x,y, z, x', etc., et leurs différentielles, en fonction défi nouvelles variables <p , 4> 9' , 4 > ^ suffira- <i

substituer h leur place ces valeurs pour convertir dans une fonction semblable une fonction quelconque de x, y, s, x',y', etc. Ainsi donc, nous pourrons regarder désormais la quantité que nous avons désignée par T, comme une fonction de <p, 4> 4*> donnée

dans chaque cas particulier.

De même, si l’on suppose, comme cela a lieu dans la nature, que les forces dont le système est animé sont dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et représentées en intensités par des fonctions de la distance des différées corps du système à ces centres, la valeur précédente de Vsera une formule toujours intégrale, et sa valeur finie sera une fonction des coordonnées x,y, z,x',y', z1, etc., et par conséquent des variables <p, 4> fonction qui sera donnée dans chaque cas particulier. Quanti des centres d’actions étrangers au système seront mobiles, la fonction V renfermera, en raison de leurs mouveraens, le temps t, indépendamment des variables Ç , ^[/, G; mais elle ne pourra contenir, dans aucun cas, les différentielles de ces variables.

Cela posé, différencions, par rapport aux variables,

<p, 4» 0> Q't 4', A'» l’équation (a); on aura

JT } , JT ,, t JT ,, t JT , , t dT t dT ,u d îJ*+di dl+drd3+'aï'-d* +dî'd*+M-M

dW , d\ dV .

-dï-d*-n-d*—jrd,=0-

On peut donner à cette équation une autre forme. En effet, puisqu’on a généralement

m {dx'+dy'+dz'S. . m fdx'+dy'%-\-dz'

1\ ÎF )~T~ T‘\ 5?

etc..

il est clair que, quelles que soient les valeurs qu’on susbtitue pour x,y, z, x', etc. , d,ans cette quantité , T deviendra une fonction homogène de deux dimensions par rapport aux différences des nouvelles variables qu’on aura choisies. On aura dt)nc, par la propriété connue de ces sortes de fonctions ,

dT dp . rfT dl t dT d’J —

dj ‘di^"W ’ Tt'T" db' ’Tt~ 21 *

Substituons la valeur résultante de T dans l’équation (a), et différencions ensuite; nous aurons

Si de cette équation on retranche l’équation (&), et qu’on observe que les variations d<p, , t/9, étant indépendantes entre elles, on peut égaler séparément Tome I. i4

au» THÉORIE ANALYTIQUE

à zéro leurs coeflîciens, on aura les trois équations différentielles suivantes

j «*T d ‘ dp' *

dr ■

j rfT

<rr

dâ

de — ° •

Ces équations serviront à déterminer les variables <p , 4 , 9 , en fonction du temps. C’est sous cette forme que Lagrange présente dans sa Mécanique analytique les équations générales du mouvement d’un système de corps.

• On peut leur donner une forme plus simple, en supposant

dT dT

dp' — 5’ dy—U’

ce qui donne , en observant que la fonction V ne contient pas les variables <p’, 8',

dT du __dT dU dT dU , .

Les équations (c) deviennent ainsi

ds dU

dt ~Sp ’

du JU

dv dU

dt ~ dâ

Et les équations du mouvement d’un système de

corps ni t m‘, etc., sont ramenées à la forme la plus simple qu'elles puissent prendre.

14. Les trois quantités j, u, v, sont données par les équations ( p ) en fonction de <p, 4> 0, <p', 4/', 0'; réciproquement, on peut conclure de ces équations les valeurs de <p', 4/» 0 > en fonction de <p, 4> 0» s, u, v, et transformer par conséquent une fonction quelconque des six premières variables en fonction des six autres; mais on doit observer que les différences partielles de cette fonction prises relativement à <p , 4-, 0, ne seront pas les mêmes dans les deux cas. Ainsi, lorsqu’on regardera U comme fonction de <p, 4-* 0 , s, u, v, ses différences partielles relatives à ces trois variables ne seront pas les mêmes que les différences partielles de cette même quantité, regardée comme fonction de <p, 4> 0> <P > 4> P°ur ^es distinguer,

, , . dV dU dU ,

nous désignerons par , — , les différences

prises dans la première hypothèse, et par les mêmes expressions entourées de parenthèses, les différences relatives à la seconde. Ces dernières différences partielles forment les seconds membres des équations ( d ) ; on rura donc, conformément à cette notation,

Or l’équation U = fonct. (<p, 4> 0» "'J'*’ dmme,

en y regardant <p', 4-', 6', comme fonctions des variables 4> 0» «, s, v.

dU /rfU\ dU dj dU d£

~3ÿ \df J d<p' ‘ a'f ‘ d j? ‘ t/f

, rfU df

dp'

dt'

"*■ dX •

dï +

/dU '

\,dU

dp'

dV ,

)+dJ

' dt

’ dT +

dt'

' dt

Si Fon tire de ces équations les valeurs de (cTf) * (“7^) > ct qu’on les substitue dans les équations ( d '), en mettant s, u, v à la place de —• ,

, on aura

dp'

dt ~

dp'

Ht :

~ dX

* • aqr ” “

dX ’

dp'

irz

*’ ~dt “

■ dt v

’ dt '

Telle est donc la forme que prendront les équations différentielles du mouvement lorsqu’on choisira pour variables s, u, v, au lieu de tp1, 6'.

Si l’on différencie la première de ces équations par rapport à -\J, , la seconde par rapport à p , en regardant s, u, v, comme constans; qu’on les retranche ensuite l’une de l’autre, on trouve

d-p.dt dp.dt

Nous avons surmonté d’un trait ces différences partielles et les suivantes, pour rappeler que dans les différenciations qu’elles indiquent <p, •>},, 0 et s-, w, v»

DU SYSTÈME DD MONDE. ai3

sont regardées comme six variables indépendantes l’une de l’autre.

Ou aurait d’une manière semblable

d* v d'a d'u dv /A

. djTdt ~ 1ÎM ’ ~dtJt d-ÿJt’ W

Si l’on différencie par rapport à $ la première équation (e ) sans faire varier <p, 4» oa trouvera

■ ds.dt ds.dtp da.dtp

ta .

d'V dÿ H£

ds.dtp ' ds.dp dp ’

Mais si l’on prend la différence partielle de U par rapport à la variable s qui n’entre dans U qu’autant quelle est contenue dans les valeurs de <p’, •\J/» 0', et qu’on

mette à la place de ^7 , leurs valeurs s , u

v, on trouve

Cette équation est identique lorsqu'on y considère U, <p', -if' comme fonctions de <p, «4^, 0, s, u, v ; on peut la différencier par conséquent par rapport à l’uné quelconque de ces six variables. En différenciant par rapport à <p , on a

ds. dp ds'. dtp U'ds.df ' ds.dp'

La valeur de » en vertu de cette équation , se réduit à

dtp’

ai 4 THÉORIE ANALYTIQUE

En différenciant semblablement la même équation par rapport à u et à v, et en considérant les valeurs

dés différences partielles on aurait

~du~dt'

d£ dp ’

cPs

dv.dt

dï c°)

-Les deux dernières équations ( e ) donneraient, par des considérations analogues ,

dtp'

di'

dt.dt

du. dt

dj, •

dv.dt

dtp '

dTd~t~

di »

du. dt

dd ’

dv.dt

~ dâ"

Enfin si l/m différencie l’équation (n) par rapport à u, et la première des équations (o) par rapport à s, qu’on retranche ensuite les deux résultats l’un de l’autre, on trouvera

rf-4-'

dp. du dp.ds *

et par conséquent

d£ rf£ du du’

On aurait d’une manière semblable

dp' dV ity dX . .

dv d» * dv du

Ces diverses relations nous seront utiles dans ce qui va suivre.

i5. Revenons maintenant à la question principale qui doit nous occuper ici. Supposons quêtant parvenu à intégrer complètement les équations (c) dans l’état où elles se présentent , de nouvelles forces accélératrices dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et dont les intensités sont représentées par des fonctions des distances de ces centres à leurs points d’applications respectifs, viennent à agir sur les différens corps m, m', etc., du système, et qu'on se propose d’avoir égard, dans la solution du même problème, à l’intervention de ces forces. Si l’on désigne par Cl l’intégrale de la somme de ces nouvelles forces multipliées chacune par l’élément de sa direction (quantité que, pour abréger, nous nommerons à l’avenir la fonction perturbatrice), comme ces forces sont absolument de même nature que celles d’où dépend la fonction V, il suffira, pour y avoir égard, de substituer V-J-fl à la place de V dans les équations (c). Les équations du mouvement du système altéré par les forces perturbatrices, seront ainsi

. rfT

dp' </T dv tto

dt dp dp dp ’

, JT

dy dT dV r/n

dt d-p (/v r/y '

df dv da

dt dÜ dÜ di ’ ,

équations qu’on peut ramener d’ailleurs à une forme analogue à celle des équations (/f). En effet, il est

2i6 théorie analytique

aisé de voir qu’il suffira pour cela de substituer U — Cl a la place de U, dans les équations

*"O a==o* du-(Si)'di=o> (,)

les valeurs des quantités représentées par s, u, v qui ne dépendent que de la fonction T ne seront pas changées-, et les équations précédentes se trouveront seulement augmentées d’un nouveau terme , c’est-àdire que l’on aura

Il est inutile d’entourer de parenthèses les différences partielles de la fonction Cl , comme on le fait à l’égard de celles de la fonction U (d’après la remarque du n° 14), parce que Cl ne contenant pas les variables <p', •>}/, 6', ses différences ne changent pas quand on regarde S' comme fonctions des va-

riables <p, 4, 0, s, u, v.

Il s’agit donc d’intégrer les équations (2), en supposant qu’on ait complètement intégré les équations (r), c’est-à-dire ces mêmes équations (2), dans le cas où l'on fait abstraction de leurs seconds membres.

La méthode d’intégration que nous nous proposons de développer consiste à satisfaire aux équations (2) par les mêmes intégrales fournies parles équations (1),

en faisant seulement varier les constantes arbitraires quelles renferment, de manière à remplir cette condition.

Les équations (1) étant du second ordre par rapport aux variables <p, 0, leurs intégrales finies

contiendront six constantes arbitraires a, b, c,f g, h, et l’on pourra par leur moyen exprimer les valeurs des variables <p, 0> en fonctions du temps £ et de

ces constantes , de sorte qu’on aura généralement

<f— fonct.(n, b,c,f,g, h, t); 'J.=fonct.(a, b, c,fg, h, t ), . 0==fonct .(a,b,c,f,g,h,t).

Pour satisfaire aux équations (2) par les mêmes expressions finies de <p, 4/, 0, nous différencierons deux fois de suite les valeurs de <p , 4 , 0 , en y faisant varier à la fois le temps t et les constantes a, b, c,f, g,h\ nous substituerons ensuite dans ces équations les valeurs résultantes, et nous aurons ainsi trois équations qui serviront à déterminer les variations que doivent prendre les quantités a, b, c, etc.; niais comme ces variations inconnues sont en nombre double de celui des équations auxquelles elles doivent satisfaire, nous pourrons les assujettir encore aux trois équations de condition qu’il nous plaira de leur fixer.

Ce qu’il y a de plus simple à cet égard est de supposer que les différentielles premières des variables <P, 4» 0 conservent la même forme dans le cas où l’on fait varier les arbitraires a, b , c,f,g, h, et dans le cas où elles sont regardées comme constantes; c’està-dire qu on égalera à zéro la partie de chaque dit—

ai8 théorie analytique

férenticlle d<p , d~\., dQ qui résultera de la variation de ces arbitraires. On aura de cette manière trois nouvelles équations de condition, qui ne renfermeront, ainsi que les trois autres, que les différentielles premières des six quantités a, b, c,f g, h. C’est là le grand avantage de ce procédé.

Nous désignerons désormais par la caractéristique J', placée devant une fonction quelconque du temps t et des constantes a, b, etc. , la différentielle de cette fonction prise en y faisant varier ces dernières quantités seulement, de sorte qu’on aura, par exemple,

^^Q.da + ^.db + ÿ.dc+fy.df+^.dg+fydk

Cela posé, en vertu des trois équations de condition que nous nous sommes données , nous aurons d’abord

«fç> = 0, JD = 0; (A)

Si l’on différencie une seconde fois les expression» de <p , -J,, 0, en y faisant varier le temps l, et les constantes arbitraires quelles renferment, et qu’on substitue leurs valeurs dans les équations ( a ) , les différentielles ds , du, dv seront augmentées en vertu de la variation des constantes de fs, fu, fv. Les fonctions fl et U, ainsi que leurs différences partielles, ne changeront pas, parce qu'elles ne renferment, la première , que les variables <p, 0, la seconde , que

ces mêmes variables et leurs différentielles premières, et que ces quantités restent les mêmes, soit que l’on traite les arbitraires a, b, c,f,g, h, comme variables

DU SYSTÈME DU MONDE. a 19

oa comme constantes. On aura donc ainsi

, , , /dü\ , dO ,

dv+*v-\dd-dt=-3à-dt-

Les valeurs de <p , 4 > 9> sont supposées satisfaire à ces équations dans le cas où la fonction fl est nulle, et qu’on les différencie seulement par rapport à t ; on a donc identiquement

mSD ^0’ du-(^/) dt=°' ^-(SV<=o;

et les équations précédentes donnent simplement

.dCl . dO dO. .

Ce sont trois nouvelles équations de condition auxquelles devront satisfaire les variations différentielles des arbitraires a, b, c, f g , h. Jointes aux trois équations (A), elles suffiront pour déterminer ces variations. En effet, en les développant, on aurait six équations du premier ordre et linéaires par rapport aux différentielles dq, db, dct dj, dg, dh ; on pourrait donc obtenir par les procédés ordinaires de l'élimination, les valeurs de ces différentielles; mais on arriverait par cette voie à des formules très compliquées. On parvient à exprimer directement ces valeurs

iao THÉORIE ANALYTIQUE

«l'une manière très simple, par les considérations suivantes.

16. Supposons que l’une quelconque des intégrales premières auxquelles auront conduit les équations différentielles du mouvement (i) ne contienne qu’une seule arbitraire a, cette équation intégrale, résolue par rapport à cette constante , sera de cette forme :

a— fond. (<p, 4 > ô, <P', 4'> 6'» 0 i

ou bien en regardant, comme nous l’avons fait précédemment, <p', 6' comme des fonctions de <p, 4*

6, s, u , v, données par les équations (p)

a = fonct. (i p, 4> s, u, v, t).

Cette équation étant une des intégrales premières des équations (i), il s’ensuit que sa différentielle complète , prise en y regardant a comme constante , doit se réduire à zéro quand on y substitue, pour ds, du, dv, leurs valeurs données par ces équations. Si l’on différencie donc l’expression de a en y faisant varier à la fois les constantes et les variables , et qu’on substitue pour Ss, Su, Sv, leurs valeurs dounées par les équations (B), en observant que ef<p = o, S 4 = 0, effl = o, on aura simplement

j /da dsi . da dCl . da dCl\ , /IA

Cette formule détermine directement la valeur de la variation différentielle da; mais on peut lui donner

une autre forme qui a de grands avantages, comme nous le verrons, en employant, au lieu des différences partielles de la fonction il prises par rapport aux variables <p, -xJ,, 0, ses différences relatives aux constantes a, b, c, f, g, h , introduites par la substitution des valeurs connues de <p, -xj.> en fonction du temps et de ces arbitraires. En effet, si l’on regarde <p, -xf., 0 comme fonctions de a, b, c, f, g, h, on aura

dCl dn da .dn db dn de dfï df . dtî dg dn d/i

dp da dp db dp de dp df dp dg dp dh dp ’

dCl dn da dn db .dn de dn df dCl dg dn dh

d*]/ da d\ db de d-fy df dÿ dg d\* dh d^/f

Ces valeurs substituées dans l’expression de da donneront

da — (

da\

dn ,

\dt ’

du *

Tu'

dû)

'7d'dt

f da

db\

dn ,

\di t

du *

di)

* db'dt

/da

dc\

dn ,

\ds

’ dp

du *

di)

'Te'dt

/ da

\dl

' dp

da du '

df\ ’ dt)J

dn ,

‘ df'dt

/da

'dp

dg\ ■ dAJ

da ,

• *T" a dt

/da

dh\

" dp

•sf)

'dh'dt‘

On peut faire disparaître de cette expression le terme

multiplié par en observant que la fonction H ne

contenant pas les variables <p', >\|/, 6', ne peut renfermer non plus les quantités s, u, v; on aura donc

lîn dn da dn db dn de rffi df dn dg dn dh

ds da di db ds de dt df ds dg ds dh ds ’

dû

fi dn da dn db dn de dn df dCl dg .dn dh

u da'du'db'du de du df' du de' du dh'du °l

dn dn da .d Cl db' dn de dn df dn dg .dn dh

dv da'dv’ db'dv, dc'dv df' dv dg'dv'^’dh'dv °*

df'au ' ag dn d f dn dg

Si l’on multiplie ces quantités nulles, la première par

la seconde par la troisième par et qu’on

retranche leur somme de la valeur précédente de da , on aura

da db da db da db da db dpds du'd 4- df du dv df)

da db\ dn , db'Tv)'dbdt

.(da de da de .da de da de .da de da dc\ dSX ,

\dsdp dp' ds du d^ df du dv db da'dv)' de'

/rfa df da df . da df da df da df da df\ dn

\ds'dp dp’ds dit df df du dv db db dv)df

,(da dh da dh da dh da dh da dh da dh\ dn

\ds dtp dp ds dud-y d^ du dv db db'dv)' dh

Cette expression de da est en apparence plus com-

DU SYSTÈME Dü MONDE. n3

pliquée que l'expression ( h ) d’où elle est déduite, mais elle jouit d’uue propriété bien remarquable,

c’est que les coefliciens des différences partielles

etc., deviennent indépendans du temps t , après

qu’on y a substitué, pour <p, 4 > 6» •*> v> leurs valeurs en fonction de t et des arbitraires », b, c, f, g, h. Comme c’est à cette propriété que la méthode d’approximation que nous venons d’exposer doit ses principaux avantages dans les applications , nous ne pouvons nous dispenser de la démontrer ici d’une manière directe, quoique cette démonstration exige quelques développemens.

17. Pour cela-, reprenons la valeur que nous avons supposée à la constante a dans le n* précédent.

a = fonct. (p, 4> ô, s, u, v, t).

, Si, après avoir tiré de cette expression la valeur de—' ,

on la différencie par rapport à t, en observant que

dp v ^4 1 1 dt a,

— —<p, -^- = 4, — = (f , on aura

( ^'a I ml t

\dp.dt~^~ dp%'^ ' dp.d±

1 d*a ds d'n du d'à dp. da' dt dp. du,' dt dp . dv

mais, en prenant la différentielle complète de a par rapport à t , on a

aa4 THÉORIE ANALYTIQUE

da . da , , da . / . da n, da ds

d7 + + +* * lt

da du da dv »

du * dt dv ’ dt

Si l’on considère dans cette équation <p', •*}/, 6' comme des fonctions de fl, ■*'»“> «>, données par les équations (p), et qu’on remplace-^ , ~ parleurs

valeurs tirées des équations (2), son premier membre deviendra une fonction de t, <p, 9, s, u, v, qui

devra être identiquement nulle. Cette équation subsistera donc encore en y faisant varier séparément l’une quelconque de ces sept quantités.

Supposons cette substitution effectuée, et différencions l'équation résultante par rapport à <p ; on aura

d’à , / , d'a d’à „ da ds

dp.dt ■ dp*' dp . d~\. * dp.dt' dp.ds'dt

d’a du, d’à dv da dp' ,da d~l‘

dp. du ’ dt ‘ dp.dv dt dp dp d^f.' dp

da dt da d‘s

dt dp ds dp. dt

da d‘u , da d‘

du dp .dt' dv " dp.dt

et la valeur précédente de deviendra, en vertu de cette équation ,

j da /da dp' da d-\! da db'

'dp \dp dp d^ ' dp d3 dp

d’s da d'u dt

dp.dt du ' dp . dt' dv

.dt.

Ou trouverait de la même manière

da /da

d± ~~~\dp

da, dtp' da d< i' da db'

4p • 37 + dT ■ Î+ + dd ■ dï

da d‘n t da d*u , da </*«• \

‘ ds dj.,dt du ' d^.dt Sî’ d^..dt) ’’ 1 ’

ds dÿ.dt du d^.dt Sü i}j..di

, da / da dp' da dj,' da d6'

d dï ' ~dî + dj. ' dt +5Î ' <*9

da d‘s da dvu da dV \ ,

ds " Ht. dit du <3757" . dv d&.dt)' ^

Il faut bien remarquer que , dans ces expressions , nous désignons par ^ ^ ^ , etc., les

valeurs de dans lesquelles on fera varier

successivement 4> eu regardant s, u, v, comme cohstans.

Si l’on suppose à la constante b une valeur semblable à celle de a, on trouvera pour d. ^ , d. , d . ~ ;

des expressions analogues aux précédentes, en changeant simplement daus celles-ci a en b. Cela posé, si

l’on multiplie l’expression de d. i— par l’expres-

. ij da rfft 11 1 jj dl>

sion d ea. ^ par — , 1 expression de d, par

^ > <*lle de d • $ Par ~ i î l’expression de d.

du 11 -m j du db .> 1 ,

par , celle de a. par — ^ , qa on les ajoute ensuite, en observant que, d'après les équations (m).

d‘s d‘u d‘n d'v rbu dV

d-\..dt df . àt' d'i.dt dç.dt' dt.dt d^.dl' Tome I. i5

on trouvera que leur somme se réduit à

da . db

, da , da

: , db

A cla

, ■ da

, db

db d a

T» Tp

p du

;* JJ du

+ Tv

d'db

dvdt

T (da

db\

(da

db\

•Ts~

mïû

d$ dt

' dd

( da

db\

dij-

dç

(da

db\

(da

db\

■tJ-

(da

db\

dt'

' db) •

dî

.(da

dp't

fda

db \

di’

dp) ■

dï)

. fda

db\

dtf~ 1

STJ ' dt'

Reprenons la valeur de la constante a. Si l’on différencie par rapport à t sa différence partielle prise relativement à la variable s, on aura

, da r daa , d'ci , , d’a , , , d’u „

d = IjOi +5MT ’p +

d’a du d‘a ' du d'a di~ I ,

" ^ ds’ ' dt ds.du dt de. Jv dt U

Mais, en faisant varier s dans l’équation identique (.s), on a

iOi +

dç.ds

d^i.ds

(ta

daa

ds.du

dt ds.dv

~dt

dp' .

<U' da dV

dq>

ds JJ ’

ds dt ds

d’a da

cù .dt

’ ds dt ' dv

ds .dt

Dt SYSTEME DU MONDE.

Nous exprimons, dans celte équation, par . * ,

i~ft> ,es différentielles des valeurs- de — ,

Tr <?éPrises en Y regai’dal,t <P> 4> P, comme constantes, et divisées par ds.

I/expression de d. ^ se réduit ain^à la suivante

f da

/da

dû

dy ,

dï

dT,=

et*

dï

dï'

. da

cPu

'du ds . dt

ds.dt

ds.dt /

On trouvera de la

même

manière

/da

“Up

<ip'

■ du +

dï

Ûsn

du.dt

dü3t^~

du.dt /

■ da

/da

da'

dÜ

~\di

• dT +

dï'

dû

.dt.

du.dt

da*

du.dt

du’

dTdt)

On aurait des expressions semblables pour 1*» différentielles d.-Q, d d.‘^, en changeant seulement a en b dans les équations précédentes. Si l’on multi-

plie maintenant l'expression de d.-y par celle de Par — gj» J expression de d par ^ , celle

i j db da * . . . . j ■ da db

de d.Tu par - ^ ; 1 expression de d.^ par ^ , celle

db ila

de J.~ par — et qn'on les ajoute ensuite, et» observant que les équations (<7) donnent

di’

dp' dit *

di'

du'

ds :

, ... ds d's d's d'u

et en subst.tnant pour ^ 3-3-, ^ etc. ,

leurs valeurs «Années par les équations (n) et(o), on

aura

db . t

■la ' da ,dl

» db .da da

,db

dX> t

ds dp ils

d^/ du d^/

+Ti

dd7

~di

ddv

f/da

db\

dp' . ,

/'da

db\

' ds

'dp)

\dp

du du

dp)'

/da

db\

dp'

\di'

dp)'

db \

di'

/da

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de.

(di'

lie second membre de cette équation est égal , au signe près, au second membre de l’équation(/) ; on aura donc, en ajoutant membre à membre ces deux équations,

da , db db , da db ,da da db