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DU SYSTÈME DU MONDE. aiq

Le premier membre de cette équation est évidemment la différentielle complète, par rapport à t, du

coefficient d c~ .dt dans l’expression de da. En effet,

en intégrant, on a

da el b du db ^ da db da db ^da db

du dtp dp' dt du d^ d\ \ du dv di

d’où l’on peut conclure que ce coefficient ne contient pas le temps t explicitement, et ne saurait être qu’une fonction des constantes a et b, et des autres arbitraires renfermées dans les intégrales des équations différentielles du mouvement, après la substitution des valeurs de <p, 4 , 8, s, u, a en fonction de l et de ces arbitraires. On prouverait de la même manière que le temps disparaîtrait dans les autres coefficiens des

différences partielles ^ etc.; en sorte que

valeur de la variation différentielle da se trouvera

exprimée au moyen des différences partielles de la fonction H prises par rapport aux constantes a, b, c, f, g, h, et multipliées par des fonctions de ces mêmes quantités indépendantes du temps. Il en serait de même des variations des cinq autres arbitraires b,

18. Cet important résultat constitue à lui seul la théorie de la variation des constantes arbitraires , que nous devons tout entière à Lagrange. Son génie lui fit soupçonner au premier aperçu que la forme très simple que 1-aplace et lui étaient parvenus , après de longs travaux, à donner aux variations des élémens cllip-

23o théorie analytique

tiques des orbites planétaires, ne devait être qu’une conséquence particulière d'un théorème général de Mécanique, indépendant des formules de ce mouvement ; et bientôt après il réussit à étendre l’analyse qui l’avait si heureusement guidé dans ses premières recherches, aux équations différentielles du mouvement d’un système quelconque de corps soumis à des forces dirigées vers des centres fixes ou mobiles, et représentées en intensités par des fonctions des distances de leurs points d’application à ces centres. Le beau théorème que nous venons dénoncer, ainsi généralisé, devint applicable à un grand nombre de questions de Mécanique qui n’avaient point été jnsque là complètement résolues.

Nous représenterons désormais les coefficiens des différences partielles de fl dans la valeur de da, par les symboles (a, b), (a, c), etc., de sorte qu'on aura, par exemple ,

. . da db da db da db da db da db da db

<<l da ' dtp df ds ‘dud^ d^ du dv dt dt'dv

La quantité (a, b) exprimera ainsi généralement une certaine combinaison des différences partielles des valeurs de a et à, prises par rapport à <p, 4 , 0, s, u, v. Il suffira de permuter entre elles, dans cette expression, les lettres a, b, c, f , g, hf prises deux à deux pour former les valeurs des quantités (a,c), ( 'a,f ), (a, g), etc.

D’après cette notation, (b, a) doit représenter ce que devient (a, b), en y changeant les lettres a et A entre elles. Or, si l’on effectue cette permutation

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dans l’équation précédente, on voit que son second membre ne fait que changer de signes ; on aura donc généralement

Enfin, si l’on combine la lettre a avec elle-même, ou qu’on substitue dans la même équation a à la place de b, pour former la quantité (a, a) , on aura

L expression que nous avons trouvée dans leu* 1 6 , pour la variation différentielle de a, deviendra donc, d’après la notation que nous venons d’adopter.

Tt={-a'b)lS + ^ -H»«r)«Sç + WJ-jjy ; (D)

et l’on aurait des expressions semblables pour déterminer les variations des cinq autres arbitraires b, c,

Il faudra , pour appliquer la méthode d’intégration précédente, commencer par former dans chaque cas particulier les quantilés (a, b), ( a,c ), (b,c), etc., en combinant les différences partielles des «valeurs des constantes arbitraires du problème, prises par rapport aux variables <p, 4'» S > et aux fonctions î, u, t> de ces variables et de leurs différentielles. Ces symboles seront en nombre égal à celui des combinaisons différentes qu’on peut faire en permutant ensemble les six lettres a, b, c, f, g, h, prises deux à deux, c’est-àdirc qu’on aura à calculer quinze quantités de cette

î3 a THÉORIE ANALYTIQUE

espèce. La valeur de chacune d’elles sera en general une fonction des six constantes arbitraires contenues dans les intégrales des équations du mouvement ; cependant il pourra arriver quelquefois qu’elle i\e contienne que quelques-unes de ces arbitraires ; dans d'autres cas elle n’eu renfermera aucune, et se réduira à une constante déterminée. Ces quantités seront toujours faciles à former, lorsqu’on aura préalablement exprimé les arbitraires en fonction des variables <p, 4» u> vf ainsi que nous l’avons supposé

n° 16. Mais, comme cette préparation pourrait entraîner souvent dans des éliminations compliquées , < il est bon d’avoir le moyen de l’éviter ; or, c’est ce qui est facile. En effet , supposons la constante b, par exemple , fonction des variables <p, 4 » 6 > s, u , v, et d’autres constantes c, f, g , de sorte qu’on ait

b = fonct.(^ï 4» “> vt cf fy g)i

il faudrait substituer pour c, f , g, leurs valeurs eu fonction des variables <p, 4> -S u> u> pour ramener cette valeur de b à la forme que nous lui avons supposée n* 16. Mais, en prenant ses différences partielles par rapport aux mêmes variables, on a . . .

db /db' \ rlb de db df db dg

dtp \7ltp) de 'dtp df' dp ‘ dg' dtp’

db /dA\ db de db df db dg

db v/$ / d< (fs dj du dg db

etc. ' ..

Nous désignons par c,c■, avec Parer,lbèses,

les différences partielles de b, prises abstraction faite des constantes c, f, g.

Si l’on substitue ces valeurs dans la formule ((1), il est aisé de voir qu’on aura

{ab) = (n, t-)+ (o,c) + (a (E)

Nous représentons par (a, b) la valeur de (a, b) qu oi* trouverait en combinant les différences partielles de a et b, abstraction faite des arbitraires c,J, g que contient b.

® 11 sera facile de former les combinaisons (a,e),

{a,g)> ( ajf) y puisqu’on suppose. a, e, j, g donnés , immédiatement en fonction de <p,4» 0 , s, u , c; on aura donc sans peine, par la formule précédente, l'expression de (a, b).

Quand les valeurs des quinze quantités (a, b), (n,c), (b,c), etc., seront déterminées, comme nous venons de le dire , on les substituera dans la formule générale (D), et les variations différentielles des arbitraires se trouveront exprimées au moyen des différentielles île la fonction fl , prises par rapport à ces constantes, et multipliées par des coefïiciens indépendans du temps t, conformement au théorème général démontré n° 17.

Dans chaque cas particulier, la forme des expressions auxquelles on parviendra dépendra de la manière dont les arbitraires a, byc, etc. , serontyxprimécs en fonction des variables f, 4> 0, *, u, cl par con-

-34 THÉOKIE ANALYTIQUE

séqueut îles constantes arbitraires qu’on aura choisies pour compléter les intégrales de la première approximation. On obtient des formules extrêmement simples, en prenant pour arbitraires les valeurs des six variables <p, -\J., ô, s, te, v, à une époque déterminée, à l'instant, par exemple, d’où l’on compte le temps t. En effet, si l’on désigne par a, £, y, A, », fx, ces six quantités; qu’on substitue a et £ à la place de a et b dans la formule (C), on aura

- dm dC dot de dm dC du dC dm d£ dm de

^ ’ du dp dp ds du d\ d^. ctû dv dt dtt di>

Or, comme on est assuré d’avance , d’après la démonstration générale du n° 17, que le second membre de* cette équation est indépendant du temps t, il est clair » qu’on n’en changera pas la valeur en y substituant

simplement pour ~ etc., leurs valeurs dans

lesquelles on fera t—o. Mais on a évidemment dans ce cas

det dC \ dy dx dtf d/4

dp — l> df— ■'» di l* — r’ du~~

Toutes les autres différences partielles des constantes «, £, y, etc., sont nulles d’elles-mèmes, d’où l’on peut conclure qu’en prenant deux à deux les six lettres a, C, y, A, >i,ytc,on aura

Tous les autres coefliciens (a,£), («,>), (A,£), etc. , seront nuis, de sorte que l’on aura, pour déterminer

Dl SYSTÈME Dli MO fi DE. a 3 5

les variations de a. , é, y, X, h , u , les six équations suivantes :

dA== 'dt* dm — ~.dt, dn=

Ces formules sont les plus simples que puisse fournir l’état de la question. Lagrange, après avoir démontré d’une manière ingénieuse, mais iudirecte, l’indépendance des coefficiens (a, X) , (ê, «) , (y, n) , par rapport au temps t, s’en est servi pour en déduire les expressions générales que nousavons trouvées pour les variations des six constantes arbitraires a,b, c,f,g, h. En effet , quelles que soient les constantes qui entrent dans les intégrales de la première approximation, elles ne peuvent être que des fonctions des six quantités a , £, y, X, », ft, et il suffira pour les obtenir de supposer * t = o dans scs iutc'grales. La quantité de Cl peut d’ailleurs être considérée, soit comme une fonction des six constantes primitives et, C, y, etc. ,. soit comme une fonction des six constantes arbitraires a, b, c, etc. ; et l’on peut conclure par conséquent leà différences partielles de Cl, relatives aux premières, des différences partielles de la même fonction, relatives aux dernières. Si l’on différencie ainsi, par rapport au temps t , les six constantes a , b, c, etc., regardées comme fonctions de a, £, etc., qu’on substitue pour dx, d€ , etc., leurs valeurs données par les équations (g), et que l'on convertisse ensuite les différences de Cl , relatives à x, ë, etc., en différences prises par rapport à a, b, etc-,

a3ë THÉORIE ASAhVlIQLE

on retrouvera sans peine la formule (D) et les formules semblables relatives à b, c, etc., auxquelles nous sommes parvenus directement. Au reste, les formules (g) ont paru jusqu’ici plus remarquables par leur forme que par leur utilité.

ig. Lorsque les variations différentielles des constantes a, b, c, etc., seront déterminées par ce qui précédé, on aura par l’intégration leurs valeurs finies, qu’on ajoutera respectivement à ces constantes'dans les valeurs des variables <p, -j, , 0 , trouvées en faisant abstraction des forces perturbatrices; on connaîtra ainsi les valeurs de ces variablesqui satisfont aux équations du mouvement troublé, et qui doivent dans ce cas déterminer à chaque instant la position du système. Mais, comme les quadratures d’où dépendent les valeurs des variations finies des constantes arbitraires a , b, etc. , ne seront pas possibles en général, on sera réduit à les déterminer par des approximations successives. On commencera par n’avoir égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices; on obtiendra ainsi une première valeur approchée des constantes arbitraires regardées comme variables, à l’aide de laquelle on pourra tenir compte du carré des forces perturbatrices ; et en continuant de la même manière, on parviendra à des valeurs intégrales aussi approchées que l'on voudra.

Concluons donc généralement que l’on peut toujours représenter l’action des forces secondaires qui agissent sur un système quelconque de corps, et qui no font que troubler les mouvemens que ces corps

auraient en vertu «les forces principales dont ils sont animes, par les variations des constantes arbitraires qui entrent dans les équations intégrales trouvées, en faisant abstraction des forces perturbatrices. Si l'on détermine ees variations de manière à ce que les intégrales premières soient, comme les intégrales finies, les mêmes dans les deux mouvemens, leurs différentielles se trouveront exprimées par des formules très simples, au moyen des différences partielles de la fonction perturbatrice, et l'on pourra donner à ces formules une forme très commode pour les applications, en employant, au lieu des différences partielles de cette fonction relatives aux variables du problème , les différences partielles prises par rapport aux constantes introduites par les intégrations.

Ces considérations semblent surtout applicables à la théorie du système du monde. Les perturbations causées dans les mouvemens de révolution et de rotation des planètes par leurs attractions mutuelles, en offrent, comme nous l’avons dit dans le chapitre précédent, une application directe; celles qui dépendent d’une cause spéciale , comme les inégalités de la Lune dues à l’aplatissement de la Terre , s’eh déduisent aussi facilemeut. Enfin, ou peut encore regarder comme une force perturbatrice la résistance du fluide éthéré que les corps célestes peuvent être obligés de traverser, et les principes précédens donneront le moyen d’avoir égard à cette action. JNous lavons dit, c’est à Lagrange qu’est duc la belle théorie que nous venons d'exposer; mais il avait suivi, pour la traduire analytiquement, la marche inverse de celle que nous

avons adaptée. H commença par déterminer les différences partielles de la fonction que nous avons désignée par Cl, relatives aux constantes arbitraires résultantes des premières intégrations; il les exprima au moyen de leurs variations différentielles multipliées par des fonctions de ces mêmes constantes, et il parvint d’une manière très simple à démontrer que ces fonctions étaient toujours indépendantes du temps. H fallait ensuite que, par les procédés ordinaires de l’élimination, on tirât de ces formules les valeurs des variations différentielles des arbitraires qu’il s’agissait en définitive de déterminer; mais cette opération devait entraîner souvent dans de longs calculs, et l’on pouvait désirer encore une méthode directe pour parvenir au meme but. M. Poisson entreprit de la découvrir, et il y réussit dans un beau mémoire lu h l’Académie des Sciences , en 1 808 , et qui complète la théorie de Lagrange. Cet habile géomètre avait senti lui-même les défauts de la méthode qu’il avait d’abord proposée; il parvint à la corriger et à éviter, par des considérations ingénieuses, ses principaux inconvéniens, en sorte que la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique, atteignit, sous les yeux mêmes de son inventeur, toute la perfection désirable. 11 restait à en faire l’application à la Mécanique céleste, à réunir ainsi sous un même point de vue les découvertes des grands géomètres qui en ont fait l’objet de leurs méditations, à faire dépendre enfin la détermination des diverses inégalités des mouvemens des corps célestes d’une même analyse, comme elles dérivent toutes

DU SYSTÈMli DU MONDE. 339

d'une même cause. Cest à atteindre ce but que cet ouvrage est spécialement destiné. Les mouvcmens de révolution des planètes et des comètes, les mouve- * •

mens de rotation des planètes autour de leurs centres de gravité, les dérangemens qu elles peuvent éprouver dans leur marche, par la résistance d’un fluide très rare, occuperont successivement notre attention dans ce livre et dans les suivans, et l'on verra tous les faits dépendans’de ces phénomènes dériver naturellement des principes que nous venons de développer, et qui , dans letat imparfait de nos connaissances analytiques, doivent désormais servir de base à la théorie mathématique du système du monde.

b{o THÉORIE ANALYTIQUE