CHAPITRE IV

Première approximation du Mouvement de révolution des Cotps célestes , ou 'Théorie du Mouvement elliptique.

ao. Si l’on n'a égard qu’à l’action réciproque des deux corps rn et M, et qu’on fasse abstraction des autres corps m1, m", etc. , du système, les équations (E) qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M se réduisent aux suivantes

de ^ r* ’ de.

,t± de *** r» ~

en supposant, pour abréger, r= \/x' -f-j* 4- s*, et ju = M4-m, c’est-à-dire égala la somme des masses du corps attirant et du. corps attiré.

Comme ces trois équations différentielles sont du second ordre , leurs intégrales complètes devront renfermer six constantes arbitraires dont la détermination dépendra des circonstances primitives du mouvement. Développons ces intégrales.

Si l’on multiplie la première des équations précédentes par/, qu’on la retranche de la seconde multipliée par x, et qu’on intègre lequation résultante.

DU SYSTÈME DU MONDE. a4i

on aura

*ay — ydx , , ,

— sr~ — c> (b)

c étant une constante arbitraire.

On trouverait d’une manière semblable les deux autres intégrales

*d*~-*d* __ , ydz. — zdy ,, dt ’ Tt —e*

c' et c" étant deux nouvelles arbitraires.

Si l’on multiplie ces trois équations, la première par z, la seconde par y, la troisième par x, et qu’on les ajoute, on a

cz + c'y -f- d'x = o ; (i)

équation d'un plan mené par l’origine des coordonnées; ce qui nous montre que la courbe décrite par m autour de M est contenue dans un plan passant par ce dernier corps. Si l’on nomme <p l’inclinaison de ce plan sur celui des ogr et a. l’angle que forme leur commune intersection avec l’axe des x, il est aisé de voir qu’on aura

tang^sina = — , tang<pcos«= —

d’où l’on tire

tangct=— -7-, tang<p;

\ Aî*-K*)

Et en faisant, pour abréger, c* -f- c"* = Æ* ,

c—k. cos<p, c' — — Ar.sinÇcosa, c"=À.sinpsina. Tome I. 16

Les deux angles a et <p, qui fixent la position du plan de la trajectoire, seront déterminés par ces équations lorsque les constantes arbitraires c, c, c" seront connues; réciproquement, on aura les valeurs de ces constantes au moyen des trois autres arbitraires et , <p et k; on peut donc substituer ces trois dernières arbitraires aux précédentes.

L’équation (i) représente l’une des intégrales finies des équations (à). Pour obtenir une nouvelle intégrale, multiplions la première de ces équations par idx, la seconde par a djr, la troisième par idz% ajoutons-les ensuite et intégrons leur somme; en observant que xdx -\-ydj -^zdz = rdr, nous aurons

h étant une constante arbitraire.

Mais si l’on ajoute les trois équations (b) et ( c ), après les avoir élevées au carré, et qu’on fasse, comme précédemment, c*-f- c'‘-\-cw% s= k‘, on a

ï* ■ (rfy* + dz%) 4- y' ■ (dxx H- dz") 4- ** . {dxx -\-dy' ) dtx

a . (xy ■ dxdy -f- xi • dxdz • dydz) dlx

équation qu’on peut écrire ainsi

(**+y’+*1-(<kc*+dy»+<fe’) (xdxd-ydr+zdz)' Lt

dr dr - *

ou bien

r'.(dx' + dy'+Jï) r'dr* ,

dr ÜF-k- ^

Si l’on éliminé — + entre cette équation et

l’équation (e), et si l’on résout par rapport à dt l’équation résultante, on aura

Vlnr—hi*—k'

Cette équation donnera t en fonction de r, et réciproquement ren fonction de t. On aura en l’intégrant la seconde intégrale finie des équations (a).

Pour trouver la troisième,' j’observe que si l’on désigné par dv l’angle infiniment petit compris entre deux rayons consécutifs r et r-\-dr, le carré de l’élément de la trajectoire sera égal à df*-\-r'dv'; en sorte qu’on aura

dx‘ -f- dy'-\- dz' = dt * -t- r*dv\

Si 1 on substitue cette valeur dans 1 équation ( d ), elle devient r*dv' = k‘dtt; d’où l'on tire

La quantité £ rVk représente l’aire élémentaire décrite par le rayon vecteur r pendant l’instant dt; cette aire est donc proportionnelle à l’élément du temps, et par conséquent dans un temps fini, elle est proportionnelle à ce temps. On voit encore par cette équation que le mouvement angulaire de m autour de M est à chaque point de la trajectoire réciproque au carréde son rayon vecteur, ce qui. fournit un moyen très simple pour calculer lesmouvemensdes planètes et des

comètes dans les différens points de leurs orbites pendant des intervalles de temps supposés très petits.

Si dans l’équation précédente , on substitue pour dt sa valeur en r et dr , elle devient

dv = — hdr . (/)

Nous avons vu que la trajectoire est une courbe plane ; il s’ensuit que l’angle v exprime la longitude du rayon vecteur r compté dans le plan de cette courbe, à partir d’une ligne fixe : l’équation précédente donnera donc en l’intégrant la relation qui doit exister entre la longitude et le rayon vecteur, c’est-à-dire l’équation polaire de la' courbe décrite. Le maximum et le minimum des valeurs de r seront déterminés par l’équation

i(j.r — Ar* — k‘ = 0}

d’où il suit que la somme de ces deux valeurs est égale à ^ et leur produit à y. Si l’on désigne donc

par a.(i-+-c) la plus grande, et par a.( i — e) la plus petite, on aura

d’où l’on tire

La constante a est la demi-somme des valeurs extrêmes de r ou la distance moyenne de m à M , ae leur demi-différence. Si à la place des constantes h et k.

Di

on substitue les valeurs precedentes dans l’équation {f), elle devient

j Ÿ a.(\ — e‘).dr .

ry/ a T — -.r* — 0.(1—#*)

cette équation peut s’écrire ainsi :

dv ~ —

«•('— '«*) dl

d’où l’on tire, en intégrant,

v = » -f- arc . I cos = — — J ,

t» étant une constante arbitraire.

On aura donc réciproquement

r = ïil-e'r . (3)