co s

Cette équation est celle des sections coniques, l’origine du rayon vecteur r étaut au foyer. La constante a est le demi grand axe de la courbe, e son excentricité.

Le corps m, dans son mouvement autour de M, décrit donc une section, conique dont ce dernier corps occupe un des foyers; et l’on voit de plus par 1 equa-

tion (h), que le corps m se meut de manière que les aires décrites par les rayons vecteurs croissent comme les temps. Telles seraient donc les lois du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil, si elles n’obéissaient qu’à l’action de cet astre, et si l’on faisait abstraction des perturbations causées par leurs attractions mutuelles.

Ce résultat, d’ailleurs, dérive naturellement de la supposition. En effet, nous avons fait voir, n° a, qu’un corps attiré vers un centre fixe par une force réciproque au carré de sa distance , décrivait autour de ce point une section conique. Or, pour avoir le mouvement relatif de m autour de M, il faut supposer ce dernier corps en repos, ce qui revient à appliquer en sens contraire à m une force égale à l’action que ce corps exerce sur M ; en sorte que dans ce mouvement relatif m est sollicité vers M par une force égale à la somme des masses M et m , divisée par le carré de leurs distances mutuelles ; le corps m doit donc décrire une section conique autour de M.

L’équation (2) donne v en fonctiou de r ; et comme le rayon vecteur est donné en fonction du temps par l’équation (g), il sera facile de déterminer à chaque instant la position de la planète dans son orbite, lorsque cette dernière équation sera intégrée. Si l’on y substitue pour h et k leurs valeurs (o), elle devient

Faisons a — r — ae . cos . u , ce qui donne

r=a.(i — e . cosu) ; (3)

on aura

dt = — 7= .fi — e. cos. u). du ;

Vf* K '

d’où l’on tire en intégrant

t-f- /=-£=.(« — e.sin«), (4)

l étant une constante arbitraire.

Cette équation donnera u en fonction de t; et comme r est donné en fonction de u par l’équation (3), on aura pour un instant quelconque la valeur du rayon vecteur de la planète dans son orbite.

Si l’on compare l’expression précédente de r à celle qui résulte de l’équation (2) , on aura

1 — e . co s u =

d'où l’on tire

sin(v — »)= ■

■e.cosu 1

cosfi» —

co s u — e 1— e.cosu’

et par conséquent

tang^(v — w)= \/^.tanglu. (5)

Cette équation déterminera la valeur de l’angle v lorsque u sera connu en fonction du temps.

Les trois intégrales finies (i), (a), (4)> que nous venons d’obtenir, contiennent six arbitraires a , e,a. , <pf cù, l; elles sont donc les intégrales complètes des équations («). Les constantes « et e déterminent la nature de l’orbite; les constantes a et <p sa position dans l’espace ; enfin , les deux dernières arbitraires a» et l dépendent, l’une de la position du périhélie, et l’autre de l’époque ou de l’instant du passage du corps m par ce point.

a i . Quoique les formules précédentes satisfassent complètement aux équations différentielles (lu), ces équations peuvent cependant fournir encore d autres intégrales dont la forme particulière offre des avantages dans certaines circonstances. Pour en donner un exemple, reprenons les équations (a), et les trois intégrales premières (b) et (c), relatives à la conserva— 4 tion des aires. Faisons , pour simplifier , ft — i ; nous aurons

d’x dy

~dF~ r” dtk

xdy—ydx , zdx-xdz .ydz — zdy ( ^

c = -jf—, c — -d—, c- dt '

Si l’on multiplie membre à membre la première de ces équations par la cinquième, et qu’on en retranche la seconde, multipliée de la même manière par la sixième, on aura

d d'x-c'jy * -J. . (xdy—ydx) .

rdx — zdr ^ *

On trouverait aisément pourt/.^ et rf.* des valeurs

semblables, et en les intégrant, on aura x o'.dx — c .dy

c“ . dz — c.dx ~dt

x c.dy—c.dz |

;= — dï — > )

/;/,/" étant trois constantes arbitraires.

Si ces équations étaient réellement distinctes entre elles, réunies aux équations (c), elles suffiraient pour résoudre la question , puisqu’en éliminant entre ces six intégrales premières les différences dx, dy, dz, on en tirerait trois intégrales finies contenant les six arbitraires c, c', c",f f',Jv, qui seraient par conséquent les intégrales complètes des équations différentielles (a). Maisl’une decessix intégrales rentre dans les cinq autres ; et c’est ce qu’il est facile en effet de concevoir à priori , car, comme elles ne renferment que l’élément dt du temps, on voit que les intégrales finies qui en résulteront seront insuffisantes pour déterminer les coordonnées x, y, z, en fonction du temps. Il doit donc exister quelque équation de condition qui lie entre elles les six constantes arbitraires

En effet , si l’on multiplie la première de ces équations par c, la seconde par c, et qu’on les ajoute ensuite, on aura