C.‘±ÙL — C«.cldx-c:dy + fc+ /y

r dt ' j * j

On a d’ailleurs par l 'équation (i) cz + c'y = — c'a: ; par conséquent

X c.dy — c .ds fc -\-fd

r ~dt ? ’

Cette équation coïncide avec la troisième des équa-

lions (m) , lorsqu’on suppose J" = — ou

fc -\-fc -f- f"c"— o. Les constantes c, c', c", f f,f" n’équivalent donc qu’à cinq arbitraires distinctes, et la dernière des intégrales (m) et (c) résulte des cinq autres.

Ces intégrales cependant suffisent pour déterminer complètement la position et la nature de l’orbite que le corps m décrit autour de M. Les trois premières montreut que cette orbite est une courbe plane, n° 30 ; les trois dernières déterminent sa nature. En effet, si l’on multiplie la première par z , la seconde par^, la troisième para:, et qu’on les ajoute, on aura

xdy — ydx dt

. » tdx—sdz . ydx — rdy

+c—d-r~+c • dt ■

+fi+fy+f*\

équation qui , en vertu des équations (c) et en faisant pour abréger c* -f -c'% -\-c"% = k%, donne

r—k* —fz — fjr —f'x = o.

Celle équation, combinée avec les deux suivantes

DU SYSTÈME DU MONDE. 25i

cz + c'y -f- c"x = o et i* =. x* -f-j* -4- a*, couduit à l’équation des sections coniques, J’origine étant au foyer. Les courbes que décrivent les planètes et les comètes autour du Soleil sont donc des sections coniques. -W

Les constantes c, c , c", déterminent la position du plan de l’orbite ; elles font connaître aussi son grand axe, puisqu'en nommant a la distance moyenne et e l’excentricité, on a , n° 20, k= \/a.(i — e*) , équation qui donnera la valeur de a lorsque celle de e sera connue. Les constantes J , f, f déterminent cet élément, ainsi que la position du périhélie sur l’orbite. En effet, si des équations (m) on tire les valeurs de f, f, f, et qu’on les ajoute après les avoir élevées au carré, on aura

*=1 +(c*-h,,+c'*) . rj

(cdz 4- cdj--j-c*dx\*

Mais l’équation (1) n* 20, çn la différenciant , donne cdz -f- c'dj -f- c"dx = o ; l’équation précédente se réduit donc à celle-ci:

+ dy'-i-dz* 2 , 1 — p — f* — •/**

dt r "» F —°*

Cette équation, comparée à l’équation (e), n" 20, donne

"Digiti

a5a THÉORIE ANALYTIQUE

d’où , en substituant pour h et A leurs valeurs, et supposant toujours ft>— i , on tire

Soit i l’angle compris entre la projection du grand axe de l’orbite sur le plan des xj et l’axe des x, en nommant x', y' , z' les coordonnées du périhélie, on aura

tang i

Aux extrémités du grand axe, dr est nul; on a donc en ce point xdx jrdy zdz=x o. Eu substituant pour c, c', c", leurs valeurs ( c ) dans les deux dernières équations (jri) , et en les divisant ensuite l’une par l’autre, on trouve, en vertu de la relation précédente , \

par conséquent

tang i = y.

Les trois constantes f J1 déterminent donc l’excentricité et la position du grand axe de la section conique.

On connaîtra ainsi tous les élémens qui fixent la position et la nature de l’orbite décrite; quant à la situation de la planète sur cette orbite , il faut pour la déterminer avoir les valeurs des coordonnées x,y, z , en fonction du temps, ce qui exige une nouvelle intégration. Or, on a, n° 20,

dt =

rdr

Cette équation donnera la valeur de ren fonction de t; et comme on peut déterminer, par ce qui précède, celle de x, àej et de z en fonction de r, ou aura à chaque instant les valeurs de ces coordonnées. Les formules précédentes nous seront utiles dans la théorie des comètes.

33. Reprenons les trois intégrales (3), (4), (5), qui suffisent pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de m autour de M. Si l’on fixe l’origine de l’angle eau périhélie de l’orbite, ce qui donne «=o, et qu’on prenne pour l’époque d’où l’on compte le temps t l’instant du passage de la planète par ce point,

ce qui donne l=o, en faisant pour abréger ŸJL = n,

ces équations deviennent

nt=u — e.sin u, r = u.(i — e.cos u),

tang-e:=Y/ — .tang-«.

On voit par ces formules , que si l’angle u augmente de 36o°, le rayon r reprend la même valeur, et l’angle v augmente pareillement de 36o°; la planète revient donc alors au même point de son orbite. Mais l’angle u croissant de quatre angles droits, le temps t est aug-

mente de t'— . 36o°. C’est le temps que la planète

emploie à revenir au même point de son orbite ou à faire une révolution entière. Ce temps ne dépend que du grand axe 2 a ; il est indépendant de l’excentricité e, et il estle même que si la planète décrivait un cercle ayant pour rayon la distance moyennea. On aurait dans ce cas e= o ; ce qui donne r = a , u—nt, t> = u, et par conséquent v=nt; les arcs parcourus sont donc proportionnels au temps, et la planète se meut uniformément sur le cercle dont le rayon esta. La quantité nt représente généralement l’arc que décrirait , pendant le temps t , un astre qui , partant du périhélie au même instant que la planète m , parcourrait avec une vitesse constante égale à n, un cercle décrit sur le grand axe de l’orbite comme diamètre. Cet astre passerait au périhélie et n l’aphélie en même temps que la planète; mais daDS une moitié de la révolution, la planète précéderait l’astre, et dans l’autre elle serait devancée par lui.

L’angle nt est ce que l’on appelle le moyen mouvement de la planète m. Si l’on prend sa distance moyenne au Soleil pour unité de distance, et qu’on suppose (*— 1 , on aura n = 1 et v=t. Le temps sera donc alors représenté par les arcs que décrirait la planète sur le cercle dont le rayon est un, avec une vitesse égale à l’unité. C’est ordinairement au mouvement de la Terre que les astronomes rapportent les mouvemens des autres corps du système solaire; ils prennent la distance moyenne de la Terre au Soleil pour unité de distance , sa masse réunie à celle de cet astre pour

unité de masse, et en supposant le temps compté en jours moyens solaires, l’unité de temps se trouve représentée par l’arc que parcourt dans un jour la Terre autour du Soleil , en vertu de son mouvement moyen.

L’angle auxiliaire u que nous avons introduit dans les formules précédentes est ce que l’on nomme Y anomalie excentrique , ni est Y anomalie moyenne, et l’angle v est Yanomalie vraie. Il est aisé de s’assurer, en considérant la seconde des équations (n) , que l’angle u est formé par le grand axe de l’orbite et le rayon mené de son centre au point où la circonférence décrite sur son grand axe comme diamètre , est rencontrée par l’ordonnée abaissée de la planète m perpendiculairement sur le grand axe.

Les deux dernières équations (/») donneront les valeurs du rayon vecteur ret de la longitude v lorsque l’angle u sera déterminé en fonction du temps; mais l’équation qui donne u en t étant transcendante, il est impossible en général d’avoir la valeur de u par une expression finie. Heureusement les excentricités des orbites des corps célestes sont ou très petites ou très grandes, et dans ces deux cas , on peut déterminer u en fonction de t par des formules très convergentes. C’est ce qu’on nomme le problème de Kepler, parce que cet astronome est le premier qui se soit occupé de cette question. Pour la résoudre, nous ferons usage de quelques théorèmes connus sur les développemens des fonctions que nous allons rappeler ici.

23. Soit z une fonction quelconque de a. qu’il s’agit de développer par rapport aux puissances ascendantes de cette quantité que nous supposons très petite; on

a56 THÉORIE ANALYTIQUE

aura généralement , d’après la formule connue sous le nom de formule de Maclaurin ,

, . dz' - »• cr* . a x , . .

z— z- . -r-H — — ? * -rr ■+■ etc. : On)

1 dm 1 i. a eût* ' i.a'. 3 d*‘ > \ /

z' étant ce que devient z lorsqu’on suppose a = o et^-, —, etc., désignant les différentielles successives de cette même fonction prises par rapport à a. , dans lesquelles on ferait de même a = o après les différenciations.

Cela posé , soit d’abord la valeur de s de cette forme z—<p (x -f- «)• Cette équation donnera généralement ^ ^ , quel que soit i. La formule (m) de-

viendra donc ainsi

, . dz a'

.ïds'

T^-^ + etc. (p)

Supposons maintenant la fonction qu’on propose de développer en série, de cette forme z —<p (x-f- aj) , y étant une fonction quelconque de z donnée par l’équation y zs /(%)• Cherchons dans ce cas la valeur

du coefficient différentiel^. L’équation z=z$(x-{-ajr)

donne d’abord

dz dz

dm ^ ’ dje ’

Il ne s’agit plus que de différencier successivement par rapport à et les deux membres de cette équation ,

et de substituer à mesure pour ^ et leurs valeurs;

DU SYSTÈME DU MONDE. a5„

. aj7

mais on peut éviter cette substitution en observant

que l’on a généralement

, , dz

d» dx

ÿOI «lu J II ' ^

e^et> S1 ^on effectue dans les deux membres de cette équation les différenciations indiquées, on trouve

dy di dy dz

(U' dx "S" - d* '

Mais réquation ^=/3 donne, en la différenciant

dy dy dz

dx dz dx ’

dy dy dz

dx dz ' dx

On aura donc en substituant ces valeurs dans l’équation précédente, l’équation identique

dy dz dz

dz dz

dz dz dy

Reprenons la valeur de que nous avons trouvée

plus haut

t rî.vj j'jtuiob

dz dz'~-' -'ï

nz =r ■

Si l’on différencie successivement par rapport à « les deux membres de cette équation, et qu’on rem-

phcc ~ par sa valeur, toutes les fois que ce coefficient se reproduira , on aura

dx . dz . dz

d* * dx

dy *.