etc

Cette série est très convergente quand on l’applique aux planètes. Elle servira à déterminer l’angle u pour un instant quelconque , et l’on aura ensuite , par les deux dernières équations ( n ), les valeurs correspondantes de r et de v. Mais il est plus simple d’exprimer directement ces deux quantités en séries de sinus et de cosinus de l’angle ni et de ses multiples.

*6a THÉORIE ANALYTIQUE

Pour cela remarquons que si dans la formule (r) on suppose z = u , uzzznt- f- e.sin u, X'=.nt >y= sin u, oL=e, ce qui donne y=sid.ni, et si

d « -dfït ' '

pour abréger on fait ■ÿ'nl— — , on aura gene-

râlement

. «* d.sin*.nt.4-,«<'k

4« = e.sin .nt. 4 »«+ — •

» » , «* , ètc.

^ 1.2.3' n'dt *

Supposons maintenant = cos u, cette formule

donnera

e* «Lsin\»t i e5

cos u=cos. »< — e.sin*. nt— — ^ + —y n>de.

-f- etc.

Si l’on développe cette expression par les formules (S) et ( y ) , et qu’après avoir effectué les différenciations indiquées, on la substitue dans la valeur de r donnée par l’équation r = u . ( i — - e. cos u) , on aura

-=i-e.co».nt— — .(i-cos.ani) ^.[3x08.3^- 3.cos.n<]

r . [4* . cos . Ant — 4.3,.C°S. 2«<]

. [53.cos.5/it — 5.3i.oos.3rti+— ^.cos rai]

— etc.

La troisième des équations (w) donne

On peut tirer de cette équation la valeur de o eu fonc-

DU SYSTÈME DU MONDE. a63

tion de u , de sin u , sin au, etc.; et Lagrange a donné une méthode fort élégante pour y parvenir au moyen des exponentielles imaginaires. En remplaçant ensuite ces quantités par leurs valeurs en séries ordonnées par rapport aux puissances de e, et développées en sinus et cosinus de l’angle nt et de ses multiples, on aura la valeur de v exprimée dans une série semblable. Mais il est beaucoup plus simple de déduire la valeur de v de celle de r supposée connue au moyen de l’équation ( h ) du n° 20.

En effet, si l’ou substitue dans cétte équation à la place de k sa valeur \J f*.. \fa\\ — e*) et qu’on observe que \/afx=a,n, on aura

La formule (t), en supposant 4“ = (* — e.cos u)1 — donne

— t=(i — «.cos .nt)‘+ (1— -e. c°s nt)‘ 1

i.«s.d.sin!,.ni.(t — e.cos.nt)1-1 "** * IM

.... •' vi

, i.e4.(/\sin*. nt . (1 — e.cos .nt'/ '

■* 2.3 .n'âf

Quel que soit i, si l’on fait 1= — 2, oh ên conclura

aisément

— = i 4- 2e . cos .ni ■+■

(i-f-5.cos.2nQ

■+■ - — [i3.cos.3nt 4- 3.00$. nf]

■+■ — — f-j. [lo3.cos.4nt -(-8.cos.2nt -f- g]

' i.26.3 4- etc.

. [1097. cos. 5nf — 75.cos.3nf-f-t3o.cos.nl]

Si l’on substitue cette valeur; da us dv et qu’on intègre ensuite, on trouvera, en ne portant l’approximation que jusqu’aux cinquièmes puissances dù e inclusivement,

»>= «f 4- 2e.sm.nr4 eVsm.anf

4 r-^- (i3 . sin . 3nf — 3 . sin.nf)

4 ^j-^,[io3 . siu . 4"f — 44 • s*n • anf]