etc
La suite des termes 2e.s1u.m-f-— e’.sin. anf-f-etc. ,
est ce que les astronomes appellent l’équation du centre , c’est-à-dire l’angle qu’il faut ajouter à la valeur moyenne de v pour avoir sa vraie valeur.
Les angles U, 0 et nt dans ces séries sont comptés du périhélie de l’orbite; si l’on voulait compter ces angles à partir de l’aphélie, comme on le faisait
HL SYSTÈME DU MONDE. i65
autrefois, il suffirait de les augmenter de la demicirconférence, ou, ce qui revient au même, de changer le signe de la quantité e dans les formules précédentes. Mais il vaut mieux adopter l’usage nouvellement introduit dans nos tables astronomiques de compter les anomalies à partir du périhélie, afin d’avoir des formules semblables dans le cas où les orbites sont presque circulaires, comme celles des planètes, et dans celui où elles sont très excentriques , comme celles des comètes.
Si, au lieu de compter la longitude v du périhélie, on fixe sonorigineà un poinlquelconquedeTorbite, il suffira de diminuer dans les formules précédentes l’angle e, qu’on supposera représenter ces nou velles longitudes, de la constante u> qui exprimera la longitude du périhélie. De même , si , au lieu de compter le . temps de l’instant du passage par le périhélie, on fixe son origine à un instant quelconque après ce pas- • sage, l’angle nt devra être augmenté de la constante nl=t — ai , £ désignant la longitude moyenne de la planète à l’instant d'où l’on compte le temps. Nous nommerons désormais la constante £ la longitude de l’époque; les expressions de ret de v deviendront ainsi
r= «-Pi — (» — g.«!).cos.(/i£-t-( — »)
— Q.»1— ^J.coi.i (»*+< — ») — ete.^j
+ (jr ■ •' — ' | sin . 2 (»/ 1 — -f* « le.
'^.siu.(«/ + 1 — •)
L’angle v est la longitude vraie de la planète; l’angle ni -+- £ sa longitude moyenne , et l’angle nt -f- £ — a> son anomalie moyenne; les longitudes, ainsi que le rayon vecteur r, étant rapportées au plan même de l’orbite.
25. Déterminons maintenantla position de la planète par rapport à un plan fixe que nous supposerons très peu incliné à celui de son orbite. Si l’on désigne par <p l’inclinaisonamutuelle de ces deux plans, par a la longitude, comptée sur le plan fixe, de leur commune intersection que nous nommerons désormais la ligne des nœuds, et par £ cette longitude comptée dans le plan même de l'orbite, qu’on nomme v' la longitude du rayon vecteur projeté sur le plan fixe, l’angle v' — a sera la projection de l’angle v — S qui représente la longitude dans l’orbite comptée du nœud , ou ce qu’on appelle l'argument de la latitude ; et en considérant le triangle sphérique rectangle dont v — € est l’hypoténuse, v' — «un côté de l’angle droit et >p l’angle adjacent, on aura
tang (y — «) = cos<p.tang (v — £); ' (z)
équation qui donnera v' au moyen de v, et réciproquement.
Les valeurs de ces deux angles peuvent d’ailleurs se développer en séries convergentes d’une manière fort simple, en faisant usage des exponentielles imaginaires. Si l’on désigne par c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, l’équation précédente pourra être mise sous cette forme
p/=7 Jr-Q-
cA ' r a y
ou bien en réduisant
COS lf>
ct.(v— *).V— I + , On tire de là
- == cos<p .
(1— cos?).c,<‘,-^'/->+ 1 + COSP
et en remarquant que
sm’ - p
1 — co s » 2 . , 1 .
r = tang* — P ,
,+COS,p cos*ï
on aura
l4-lang*o? p-i.O-f) V-t c». (✓-«). V'~1 CJ.> — C) V-'x — ;
1 + tang^.c’ ^ »/-’
d’où l’on tire, en prenant les logarithmes des deux membres en divisant par a V* — 1 ,
,/-* = v-e+— ! .log.(l+tang*^.c-1(‘'f)»/r')
— . log . ^1 + tang’ . c’ • ( C h
Qu’on réduise les logarithmes du second membre en
i68 ' THÉORIE ANALYTIQUE
séries, et qu’on substitue aux exponentielles imaginaires les sinus réels correspondans , on aura enfin la série
v — t=v — C — tang* ~ p . sin 2 (v — î) + ÿtang4^ <f . sio 4 ( e — C) — y. tang6 ÿp. sin 6 (v — C) + etc.
On déduirait, par un procédé semblable, de l’équa- „ tion (z) mise sous cette forme
«angCo — £) = -y^.tang (v' — a),
l’expression de e en v', et l’on trouverait
*■ — C—v- — tang* ' p.sin l(v' — «*^4“ ÿ-.tang4— ^.sin 4( — *)
