y - tang6 ÿ 9 . gin 6 (v' — a) 4- etc

On voit que ces deux séries se transforment réciproquement l’une dans l’autre, en changeant le signe de

tang* ÿ ip, et en substituante — G à v — a et v' — a à v — G.

Si l’on voulait avoir l’angle v' — a. en fonction de sinus et de cosinus d ent, on observerait que l'on a, n* 24 ,

v =nt-\-i- f-eP,

P étant une fonction des sinus de l’angle — &> et de ses multiples. On aura donc, quel que soit i, sin i.(v — G) = sin i . (nt -f- e — G-f-e P), et par conséquent

sin i(v — C)=rco»i«P. sin.i(n/+* — ff) + sin it¥. cos.i(nf-f-« — O '<

d’où l’on tire ea développant

sin i (v — ») j

/ tVP* , »VP‘ , tVP6 . \ .

î^+.:o^+eS-nn*(*+,~-8>

, „ /VP’ 1VP5 »VP , \

•+V^p-i:r3+^^~7Ziï5^+e‘c>^<n<+,-<r>-

En faisant successivement dans cette formule i= 2, 1 = 4, i=6, etc., et substituant les valeurs résultantes dans la série qui donne v' — et, l’angle v' se trouvera exprimé en fonction des sinus de ni et de ses multiples.

Désignons par 6 la latitude de la planète au-dessus du plan fixe, le triangle sphérique que nous avons considéré plus haut donnera

tang 0 = tang <p. sin (v' — a).

Cette équation peut se développer comme les précédentes; mais il en résulte une série moins simple que celles qui donnent les angles v ' — a et v — £. On trouve par la méthode des exponentielles imaginaires

«= tang?. sin (v' — *)+ ta-8^. [ajn 3 (y — à) — 3 .sin (v' — •)]

■ [*'n 5 (v — #) — 5. sin 3(v' — ») + 10. sin (v' — «)]

Enfin si l’on désigne par r le rayon vecteur r projeté sur le plan fixe, et qu’on fasse pour abréger tang 6= s,

ajo , ou aura

r— r co» â = r.( l-f-*’)

— etc.

Les différentes séries que nous venons d’obtenir ne sont convergentes qu’autant qu’on suppose très petite la valeur de e et celle de l'angle <p; elles ne peuvent servir par conséquent que pour les planètes dont les excentricités sont peu considérables, et dont les orbites sont généralement peu inclinées les unes aux autres, de manière qu’en prenant pour plan fixe l’orbite de l’une quelconque d’entre elles, les inclinaisons des autres orbites sur ce plan deviennent nécessairement de très petites quantités. Les astronomes rapportent ordinairement leurs observations au plan de lccliptique, c’est-à-dire de l’orbite que décrit la tene dans son mouvement annuel autour du Soleil; il convient donc de choisir ce plan pour le plan fixe auquel nous rapportons les mouvemens des autres corps célestes, afin de pouvoir çppiparer la théorie aux observations. Quant aux longitudes, on les comptéra, suivant l’usage, sur ce plan à partir de sou intersection avec l'équateur, ou delà ligne des équinoxes. On aura aiusi, par les formules précédentes, la valeur du rayon vecteur et de la longitude dans l’orbite lorsque leurs projections sur le plan de l’écliptique seront connues, et réciproquement.

aô. Les formules du mouvement elliptique peuvent encore se réduire eu séries convergentes dans le cas d’uue orbite très excentrique, compte cela a lieu pour

DU SYSTÈME DU MONDE. ,,i

les comètes. Dans ce cas, e diffère peu de l’unité. Si l’on nomme D la distànce de la comète à son périhélie , on aura D = a . ( i — e) , et l’équation de l’ellipse donnera

l-f-ciis»'— (l — -e) .cos v