PQ

(i +*) cos* v*f (i — e).sin*-t' 2 'a

Faisons pour abréger =E , E étant une fort petite •

quantité, et développons la valeur de r en série ordonnée par rapport à E ; nous aurons

— — •(«— E.tADg^K + E’.tang* ‘t— E'.tang'-v-f-etc.V (i)

cos’ - e v a * / w

Pour avoir de même le temps t en foncàion de l’anomalie v, on substituera pour r* sa valeur dans 1 équation

\/fA.a.( i — e*ydt — rldv,

et l’on intégrera l’expression résultante. On trouve ainsi

dt— — — — ■ ( l-f*tang* - y ) -

X — E.tang’^v-f E*. tangue — E3. tang^K+ctc.yrf.taugV, d’où l’on tire , en réduisant, et en intégrant

l/Va.(i — eÂ) \

IE

■ — v--Un& r *>

+ r . Uiig5- *• -,tang7~ v -f- etc. J.

Si l’orbite dégénérait en une parabole, on aurait e = i , E =' o , et

VV*.a.(i — e‘)=> Vf* \/ 1 -f-e V a.( i — e}=\/âfji . \/0 ; on aura donc dans ce cas

Ces formules sont celles que l’on emploie ordinairement dans la théorie des comètes. La dernière donnera aisément le temps t lorsque l’anomalie v sera connue; mais la valeur de e en I, qui est généralement la quantité cherchée , dépendra d’une équation du troisième degré qui n’est susceptible que d’une racine réelle. Pour éviter l’embarras de résoudre cette équation, on forme une table des valeurs de t correspondantes à celles de «> dans une parabole dont la distance périhélie est l’unité des distances. Cette table fait connaître le temps correspondant à l’anomalie v dans une parabole quelconque dont D est la

distance périhélie, en multipliant parDMe temps qui répond à la même anomalie dans la table. On aura donc réciproquement l’anomalie v correspondante au

DU SYSTÈME DU MONDE. a:3

temps t, en divisant t par D* et en cherchant dans la table l’anomalie qui répond au quotient de cett* division. Enfin la même table pourra servir pour toutes les comètes, en remarquant que les masses des comètes étant très petites par rapport à cel^e du Soleil, on peut les négliger et supposer que la valeur de fi, qui exprime la somme des masses du Soleil et de la comète, est la même pour tous ces corps, et exprime simplement la masse du Soleil.

Comparons l’anomalie e, qui répond à un même temps t , dans une ellipse fort excentrique et dans la parabole. Si l’on néglige les quantités de l’ordre

(i — e)*, et que l’on rendue pour E sa valeur ,

l’expression de t en*» dans l’ellipse donnera

Vf* *

**• (« - «)• tang’ V . Q — tang» R— g . tang*

Soit v' l’anomalie qui répond au temps t dans la - parabole dont D est la distance périhélie, et v=v'-±-x l’anomalie qui répond au même temps dans l’ellipse, x étant un très petit angle. Si l’on substitue .r à la place de v dans l’équation précédente, et que l’on réduise le second membre en série ordonnée par rapport aux puissances de X, on aura, en négligeant lè carré de x et son produit par la quantité très petite i — e,