Tome I
a74 THÉORIE ANALYTIQUE
, d*. i/; j(^«r'+s^^)+^jr; \
tang%'. (i tang* V— tang* V)\
mais la seconde des équations (o) donne
Vu
(tang V-hi. tang’ V).
On aura donc , en mettant à la place du petit arc x sa tangente,
tang*=-^ . (i — f) .tang ^ v’.^4 — 3. cos* ~ v — 6. cos* ^
Par conséquent* si l’on form^une table des logarithmes de la quantité
^.tang V.(4 — 3.cos*%' — ô.cos4^'^,
on n’aura plus qu’à leur ajouter le logarithme de i — e pour avoir celui de tango:. Cela posé, pour avoir l’anomalie v correspondante au temps t dans une ellipse fort excentrique, on cherchera, par la table du mouvement des comètes, l’anomalie V qui répond au temps t dans une parabole, dont D est la distance périhélie, et l’on déterminera par la méthode précédente la correction à faire à l’anomalie v' pour avoir l’anomalie correspondante v dans l’ellipse.
La première des équations (o) donnera la valeur du rayon vecteur r lorsque l’anomalie v sera connue.
Dü SYSTÈME DU MONDE. a75
On peut encore, dans le cas de l’ellipse fort excentrique, convertir en séries convergentes l’expression du rayon vectèur , du moyen mouvement , et de l’anomalie vraie, en fonction de l’anomalie excentrique ; nous ne développerons point ici ces formules qui sont de peu d’usage.
37. Il existe entre le temps employé à décrire un arc de parabole, les rayons vecteurs menés aux extrémités de cet arc , et la corde qui le soutend une relation curieuse qu’il est bon de connaître, et qui se déduit aisément des formules du mouvement parabolique. En effet, en supposant = i dans les équations (o), on aura,
r=D.(i-f-tang* Ik), |
f=V/^D*7(tang%-fi.tangsIl.).J ^ ^
Soient r1 et v' ce que deviennent r et v au bout du temps t' ; t — t sera le temps employé par la comète à parcourir l’arc de parabole intercepté par les deux rayons vecteurs r et r'. Nommons 6 l’angle que ces rayons comprennent entre eux , en sorte qu’on ait
v' — v = C; si, pour, abréger on fait tang ^ i> =? u , tang ~ v'=u, et tang ^ € = s, on aura
Les formules (o') donnent d’ailleurs ,
t' — t =\/2Ds -Q*' — "+5-(“'3 —
Eu substituant donc pour u' sa valeur, on aura
«VÇi+n»)-]
i — su J*
Soit maintenant c la corde qui joint les extrémités des deux rayons r et r1, en considérant le triangle formé par ces trois lignes, et en remarquant que
cos
on aura
Faisons pour abréger r-}-r'-\-c=2p , et r-f-r' — c=z2ç, d’où l’on tire r-f-r' =p-\-q , (r -{-/•')’ — c*=4 pq , l’équation précédente donnera
ou bien remplaçant r et r1 par leurs valeurs, et
extrayant les racines des deux membres ,
« 4- “* V pq
i— iu~~ D '
Si dans l’équation p + q =* r -f- r', on remplace de même r et r' par leurs valeurs, on a
aD.(i-f «•) j D.**.(i + »*)‘
DU SYSTÈME DU MONDE. a77
et par conséquent „
d’où l’on tire
i=VD .ifc/i,-.
>. Vpq
I i» Jg*
substituant *06116 valeur et celle de — dans la valeur de t' — f , ou trouve
Cette formule remarquable a été donnée, pour la première fois , par Euler: nous verrons, dans le chapitre suivant , comment on peut l’étendre au mouvement dans l’ellipse et dans l’hyperbole.
Il nous reste à considérer les formules relatives aux orbites hyperboliques ; mais comme cette recherche est de pure curiosité, et que ses résultats ne peuvent avoir aucune application dans letat actuel du système du monde, nous ne nous y arrêterons pas, et nous terminerons ce chapitre en montrant comment les lois du mouvement elliptique peuvent conduire à la connaissance approximative de la masse des planètes.
28. Nous avons vu, n* 22, que si l’on désigne par T la durée de la révolution sidérale d’une planète, dont a est la distance moyenne au Soleil , on avait
•jr étant le rapport de la circonférence au diamètre, et ju la somme des masses de la planète et du Soleil. Si l’on néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil , la quantité sera la même pour totts ces corps , et désignera simplement la masse du Soleil. Ainsi donc, pour une autre planète quelconque, dont a serait la distance moyenne , et T' le temps de la révolution sidérale, on aura encore
rpy a ir.a »
” vïl
par conséquent
T* Ï T'* as : a'* ■
d’où il suit .que les carrés des temps des révolutions des deux planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites. C’est l’énoucé de la troisième loi de Kepler. On voit que cette loi n’est pas rigoureusement exacte; elle n’a lieu qu’autant qu’on néglige les masses des planètes vis-à-vis de celle du Soleil : cependant , comme les observations n’y font remarquer que de légères différences, il en faut concluge que les masses des planètes sont effectivement très petites, relativement à la masse de cet astre.
L’équation (/)*fournit un moyen très simple de déterminer le rapport des masses des planètes qui sont accompagnées de satellites à celle du Soleil. Eu effet , supposons que l’on considère le mouvement de la Terre : si l’on néglige sa masse par rapport à la masse M du Soleil , cette équation donne
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rp »■«*
Soit m ' la masse d’un satellite appartenant à la planète m, a' sa moyenne distance à sa planète , et T' le , temps de sa révolution sidérale , on aura par l’équation (/) , #
t rt
qv 3 7t. a* .
divisant l’une par l’autre les deux équations précédentes , on en tire
Si l’on substitue dans cette équation pôur a, a , T, T", leurs valeurs données par l’observation , on aura le rapport de la somme des masses de la planète et du satellite, à celle du Soleil,* et si l’on néglige la masse du satellite par rapport à celle de la planète , ou si l’on suppose connu le rapport de ces masses, on aura le rapport de la masse de la planète à celle du Soleil.
Appliquons cette formule à Jupiter, en prenant pour unité la moyenne distance de la,Terre au Soleil : le rayon moyen de l’orbe du quatrième satellite observé à cette distance, paraîtrait sous un angle de a58o",5 8. Le rayon du cercle contient 206264", 8; les rayons moyens de l’orbe du quatrième satellite et de l’orbite terrestre sont donc entre eux comme ces deûx nombres. La durée de la révolution sidérale du quatrième satellite est de 16^,6890, et l’année sidérale est de 565^,2564 : on peut donc sup-
* a8o THÉ OKI E ANALYTIQUE
poser dans l’équation (ni) ,
et l’on en tire
pour la masse de Jupiter, celle du Soleil étant prise pour unité.
On a déterminé de la même manière les masses des autres planètes autour desquelles on observe des satellites. Pour la masse de la Terre, seulement , on a employé un procédé différent, parce que les nombreuses inégalités de la Lune empêchent celui-ci > d etre suffisamment exact. L’attraction que le globe terrestre exerce sur les corps placés à sa surface sur le parallèle, dont le carré du sinus de la latitude est
i, est à très peu près la même que si sa masse était
réuuie à son centre de gravité. En nommant donc l le rayon mené du centre de la Terre à un point quelconque de ce parallèle, et m sa masse, cette attrac-
t ion sera égales j2 , et en la désignant par g, on aura
Soit a la distance moyenne de la Terre au Soleil , et T la durée de l’année sidérale, 1 équation (l)
donnera
on aura donc
rp a» -fl*
m gPT*
Les quantités g , T , a , sont données par les observations; la valeur du rayon l est aussi connue; on pourra donc déterminer par cette formule le rapport delà masse m de la Terre à la masse Mdu Soleil. Pour la réduire en nombre, j’observe que si l’on nomme P la parallaxe du Soleil à la distance moyenne, et sur le parallèle que noos considérons , c'est-à-dire l’angle sous lequel 09 verrait à cette distance du
centre de cet astre le raytm l, on aura sin P ss ^ ;
l’équation précédente devient ainsi
S^p-f-8În*p- {n)
Les observations donnent P = 8", yü. Nous avons nommé g l’attraction de la Terre ; c’est le double de l’espace que cette force fait décrire aux corps dans une seconde. Sôus le parallèle dont le
sinus du carré de latitude est | , la pesanteur fait
tomber les corps dans la première seconde (sexagésimale ) de leur chute de 4"»8g796 ; la force centrifuge due au mouvement de rotation de la Terre
diminue l’action de la pesanteur de ^ à l’ équateur, -
*8a THÉORIE ANALYTIQUE
et d’une quantité moindre en tout autre lieu. Sur ce même parallèle , l’attraction de la Terre est plus petite que la pesanteur des deux tiers de la force centrifuge; il faut donc augmenter l’espace précédent de sa 433m° partie, pour avoir l’espace dû à l’action de la Terre : cet espace est ainsi de 4">9°93. Le rayon terrestre, sur le parallèle dont il s’agit, est de 636§8o9 mètres ; enfin l’année sidérale est de 3i558i5a"; on aura donc
, log . sin P = 5,6274836.
Ces valeurs substituées dans la formule (») donnent
m 337ÏÔ3
pour la masse de la Terre , celle du Soleil étant prise pour unité. Cette valeur varie comme le cube de la parallaxe solaire comparée à celle que nous ayons adoptée.
