CHAPITRE V

Détermination des Constantes arbitraires qui entrent dans les formules du mouvement elliptique.

ag. Les six constantes que l’intégration introduit dans les formules du mouvement elliptique se nomment les Siemens de Vorbite. Ce sont elles qui fixent sa nature, sa position dans l’espace, et l’instant du passage par le périhélie. Nous allons nous proposer dans ce chapitre de déterminer ces élémens d’après quelques circonstances du mouvement supposées connues.

Le cas le plus simple est celui où la position de la planète m, sa vitesse, et la direction de cette vitesse sont données pour un instant quelconque, pour l’époque , par exemple , d’où l’on compte le temps t, et que nous supposerons être l’origine du mouvement. Soient x , y, z les coordonnées de m pour cet instant, rapportées à trois axes passant par le centre

de M supposé immobile; ^ , ^seront les vi- •

tesses dont m est animé parallèlement aux mêmes axes , et ces quantités pourront être regardées comme connues, puisque la vitesse initiale de m est donnée par hypothèse en intensité et en direction. 11 ne s’agit donc plus que d’exprimer en fonction de x, y, z,

dl . (Ù (Ù a * n i ■

dï' dt’ dï *es srx el^mens a, e, a, <p, tel a>.

a84 THÉORIE ANALYTIQUE

Si l’on fait pour abréger ~ ;= x', — =y', ^ = z les

équations (i) et (c) du n° 20 donneront d’abord les . trois suivantes

xy' — x'y = c, x'z — xz' = c1^ yz' — y'z =c".

D’ailleurs* en supposant c* -f- c* -f- e'* = Æ*, on a, même n° ,

c=k.cos<p ,c' = — £.sinp.cosa,c"=A:.sinp.sinet.

Ces trois équations feront connaître immédiatement l’inclinaison <p du plan de l’orbite et la longitude a.de son nœud sur le plan fixe passant par le centre de M ; on aura ensuite pour déterminer le demi-paramètre k l’équation k == V/c‘H-c,*+c"*= — e*),

d’où l’on tirera la valeur de l’excentricité e lorsque celle du grand axe aa sera déterminée. Pour cela* l’équation (e) du n° 20 donne

On aura donc ainsi le demi-grand axe de l’orbite, et il ne restera plus à connaître que les deux constantes l et a.

La première n’a été introduite dans les formulas du mouvement elliptique que par l’intégration qui a donné la valeur de r en f, si l’on suppose donc t =0 dans ces formules , et qu’on désigne par «( la valeur de l’anomalie excentrique qui répond au temps t == o , on aura

l—Ut — e.sin

r = — e.cos ut). (A)

Ou aura donc, en éliminant la valeur de ? en r , puisque les valeurs de a et de esont déjà déterminées par ce qui précède.

La constante a> n’est introduite dans les formules que par l’intégration de l’équation entre ret t». Si l’on compte l’angle v à partir de l’intersection du plan de l’orbite avec le plan fixe ou de la ligne des nœuds, qu’on nomme v, et , les valeurs de eet v' relatives à l’époque t= o, l’équation (z) du n“ a5 en désignant par a. la longitude de la ligne des nœuds , et faisant £ = o, donnera

tang p, ss

tang.(v,'— «) co s p

On a d’ailleurs , par rapport au plan fixe ,

tangp/=-. .

On aura donc l’angle qui se rapporte à l’origine du temps t en fonction de x , de y et des constantes a et <p , déjà déterminées; l’équation aux sections coniques donnera ensuite

cosfo— a>) = ■ (c)

La constante a sera déterminée par cette équation en fonction de quantités connues, et l’on aura par conséquent la position du périhélie sur l’orbite. Les six élémens a, e, a., <p, l, a de la section conique que décrit m autour du foyer d’attraction seront dofte entièrement connus.

L’expression précédente de a et celle de k sont susceptibles de prendre une forme plus simple; en effet, si l’on désigne par v la vitesse initiale dont, il est clair que l’on a v* = x'* + y7* -f- z'% et l’équation (a) devient

La valeur du grand axe de l’orbite, et par conséquent le temps périodique , ne dépendent donc que de la distance primitive de m au foyer d’attraction et de la vitesse de projection. L’axe ia est positif dans l’ellipse; il est infini dans la parabole, et négatif dans l’hyperbole. L’orbite décrite par m dans son mouvement autour de M sera donc une ellipse , une parabole ou

une hyperbole , selon que l’on aura v

et il est à remarquer que la

direction de la vitesse initiale n’influe pas sur l’espèce de la section conique.

En substituant pour c, c, c' leurs valeurs dans l’équation k%= c* -J- c’* -f-c**, on a

^ est la vitesse dont le corps m est animé dans le

sens du rayon vecteur; si l’on désigne donc par *j l’angle que fait la direction de la vitesse initiale v avec

le rayon r, on aura ~ = v - cos » , en substituant

pour k sa valeur \ / p .a . ( i — e*) dans l’équation pré-

DU SYSTÈME DU MONDE. i87

cédente, elle devient ainsi

/ .-v n*.v*.»in>

On voit donc que le demi-paramètre a.(i — e*) de l’orbite ne dépend que de la distance primitive de m à M et de la partie v . sin » de la vitesse v perpendiculaire au rayon vecteur, et qui tend à faire tourner le corps m autour de M. Si ns=goa, qu si la vitesse initiale est perpendiculaire au, rayoq vecteur a, l’orbite décrite est un cercle ; en effet , en substituant pour v sa valeur, l'équation précédente donnera dans ce cas r = a.(i — e).

3o. L’cquation (e) du n° 20 qui nous a servi à déterminer le grand axe de la section conique, est très remarquable en ce qu’elle donne la vitesse dont le corps m est animé dans son mouvement relatif autour de M, indépendamment de la forme de l’orbite elliptique qu’il décrit. En effet , si l’on nomme V cette

vitesse, on a généralement V*:= dx lkdjL~td* f et

par conséquent

D’où l’on voit que la vitesse V ne dépend que du grand axe an, et nullement de l'excentricité de l’orbite. Il s’ensuit d’abord, comme nous l’avons dit n* 22 , que 1» temps périodique en est pareillement indépendant; «nais ce résultat n’est lui-méme qu’une conséquence particulière d’une relation générale qui existe entre les deux rayons vecteurs menés aux ex-

trémités d’un arc elliptique, la corde qui soutend cet arc, et le temps employé à le parcourir. Pour développer cette propriété du mouvement elliptique, reprenons les formules de ce mouvement, savoir :

“ • Ct fî—

t = a*.(u — e.$inu), r = a.(i — e.cos u), r= — ^

i -f- e.cos v

Soient/' le temps qui répond à une autre position quelconque de la planète m, et/, u! , v' ce que deviennent r, u, v relativement à cette nouvelle position , an aura »

J =a * • (u — e.sinu'), r'=a.(j— e.cosu'), /=— ^* ~ **)

i -f- e. cos v

Si l’on retranche l’expression de t de celle de /', oa aura

e — / — a* ,(u' — u — ë.sin u1 - f- e.sin u).

C’est le temps que la planète emploie à décrire lare elliptique compris entre les deux rayons r et /. Si l’on fait pour abréger t' — t ^-=28, u'-f- u = ax, u' — u = 2 s', et qu’on observe que

sin u — sin u= 2 . sm .cos —^—=2. sms. cos/,

on aura

0 = «*.(s — ■e.sin r.cos/). ( d)

Nommons c la corde qui joint les extrémités des deux rayons r et/, <•' — v sera l’angle qu’ils comprennent entre eux, et en considérant le triangle formé par

ces trois droites, on aura

c* = r* -f- r* — irr' . cos (y' — »<) ;

équation qu’on peut écrire ainsi

(n-f-r)* — c*=2rr'.[i-f-cos(t>' — t')]=4/r'.cos*<— (e)

Substituons dans cette équation , à la place des angles v et v' y leurs valeurs en u et u . Si l’on compare entre elles les deux valeurs de r, on trouve aisément

. a.l/i — e’.sinu a. cosu — ne

sin v = , cos v ■=. ;

on aurait de même

. , a. l/ 1 — e’.sinu' • , a. cosu' — ae

smo = , , cos o = ; •'

d’ailleurs

/■/•' = a*. ( 1 — e.cosu).(i — e.cos u')

=a*.[i — e. (cosu-j-cosi/)-l-e*. cosu. cos u'~\.

En observant que cos(v' — v)=cos vcos o'-f-sin v si no', on aura donc

rr'.(i-t-COs(o' — o)]

=a‘.[ 1 +cos(u' — u) — 2e.(cosu-t-cosu')+<f'.(iH-cos.(u'+u)] ,

ou bien

r/. cos*. • )

=a./cog. ïiziîf — M.cos !™.cos !^+.w,^±iO (/)'

—a' . (cos* — e.cos»')*. J

.(cos Tome I.

a9n THÉORIE ANALYTIQUE

Faisons pour abréger r+r'+c=2^, Mur' c= iq , ce qui donne (r+r)* — cx=^pq et r+ en

vertu des équations (e) et (J~) , on aura

\/pq = a. (cos s — e.coss').

En substituant de même pour r et r' leurs valeurs en u et u' dans l’équation p+q = r-\-/, on trouvera

p + q = a . [2 — e . (cos u + cos u')] =■ ■ (*— f •' ««■ 1 • «**')• (g)

Si l’on tire de cette équation la valeur de e.coss' et qu’on la substitue dans la précédente , on aura

\ /pq+ V — ?)

cos s — — — t

et par suite

Si l’on suppose donc

ï — COS Z ,

on aura

cos as = cos z cos z' -f- sin z sin z' = cos (z' — z) ,

et par conséquent 5 = * * , ce qui donne

% — z sin a' — sine

tang 5 = tang. — = —

Reprenons maintenant l’équation (d) qui exprime le temps employé par la planète à parcourir l’arc el-

— ü ttoogle

DU SYSTÈME DU MONDE. agi

liptique soutendu par la corde c. Si l’on élimine e cos s' au moyen de l’équation (g) , on trouve

équation qui ne contient déjà plus, comme on voit, l’excentricité e. Si l’on y substitue pour s et tang s

leurs valeurs, en observant que?a — cos z-f-cosz',

on aura

t'-— t=n*.(z — z — smz'-f-sinz); ( h )

expression très simple où le temps est exprimé en fonction de la corde de l’arc parcouru, et des deux rayons vecteurs menés à ses extrémités. C’est le beau théorème quTSuler avait trouvé le premier pour la parabole , et que Lambert est ensuite parvenu, par des considérations géométriques , à étendre à l’ellipse et à l’hyperbole.

Si l’on développe l’arc z' en série par rapport à son sinus, on aura

, . , sinV /

* — sic z = 5.1 1

3* . «in* z j 3*.5.sin,z

iin<z . \

— + etc.j,

série d’autant plus convergente que le grand axe 2 a sera plus considérable. Si ce grand axe devenait infini , l’ellipse se changerait en parabole; on aurait simplement alors, en remettant poursin a' sa valeur,

tous les autres ternies de la série s’annulant par la

supposition de a'= On aurait de même

z — sin z

et par conséquent

c’est l’expression du temps employé à décrire l’arc de parabole que soutend la corde c. Nous étions déjà parvenus à cette expression n° 27 ; elle est d’un grand usage dans la théorie des comètes.

Le grànd axe 2a est négatif dans l’hyperbole ; les valeurs de cosz et cosz' deviennent alors plus grandes que l’unité , et par conséquent les arcs z et z' auxquels ces cosinus se rapportent sont imaginaires. Si l’on nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a c*'V—> 1 = cosz-+- \/ — 1 .sinz, d’où l’on tire

on a de même

z'=-p;L=.log.(cosz'-f- V — I .sins'y.

La formule (h), en y changeant a en — a, donne donc pour l’hyperbole

✓*=jr V^— l.nnu'zp)/— «;sins