L-iog.(/+ i/y*-o±iog.(j-+vV-o

La formule (h) , qui donne le temps indépendamment de l’excentricité , doit encore avoir lieu quand l’ellipse indéfiniment aplatie se change en une ligne droite ; celte formule exprime alors le temps qu’un corps mu sur le grand axe mettrait à s’avancer vers le foyer placé à l’autre extrémité. Or, en considérant la chute rectiligne d’un corps attiré vers un centre fixe, ce corps partant du repos à la distance aa, on trouvera que le temps qu’il emploie à parcourir l’espace p' — p est exprimé par cette formule

t’ — t = a*.(z' — z — sinz'+sinz), dans laquelle on fait pour abréger

. = COSZ , = COS Z.

Cette expression doit être identique avec l’équation (A) ; ce qui donne

et par conséquent

2ÿ4 ’ THÉORIE ANALYTIQUE

d’où il suit que le temps que la planète emploie à parcourir l’arc soutendu par la corde c est précisément le même que le corps mettrait à décrire le long du grand axe le même espace c en partant de la distance p'. Si l’on suppose p = o, p'=a a, on aura

t' — t = a* .7r, en nommant tt la demi-circonférence, dont le rayon est i ; c’est le temps que le mobile emploie à parcourir le grand axe aa, et il est égal à la durée d’nne demi-révolution de la planète m, ce qui est conforme au théorème précédent.

On voit donc qu’il suffit de la moindre force tengentielle à l’aphélie pour changer le mouvement rectiligne d’un corps attiré vers un centre fixe, en un mouvement de révolution autour de ce centre; mais le temps que le corps met à descendre vers le foyer reste le même dans les deux cas.

Il existe toutefois, comme l’a remarqué Laplace , une différence essentielle entre ces deux mouvemens; dans le dernier, la planète m, après avoir atteint l’extrémité du grand axe, revient au point dont elle était partie. Dans le mouvement rectiligne, au contraire, le corps parvenu au foyer d’attraction , passe au-delà , et s’en écarte en vertu de sa vitesse acquise d’une distance égale à la hauteur dont il était descendu , en sorte que ce n’est qu’après deux révolutions de la planète qu’il se retrouve avec elle au point de départ.

5i . Supposons maintenant que l’on connaisse deux

DU SYSTÈME DU MONDE. . ag5

lieux de la planète dans son orbite , et le temps employé à parcourir l’espace qu’ils comprennent ; on peut encore, dans ce cas, en conclure tous les élémens de l’orbite. En effet , désignons par X , Y les coordonnées rectangulaires de m, rapportées au plan et au graud axe de son orbite , on aura

X = r.cosv, Y = r.sinv;

on a d’ailleurs

’ I-+-*.COSf"

=a.( i — e.cosu);

d’où l’on tire , n* 20 ,

X==a.cosu — ae, Y=.a.\/\ — e'.sinu;

équations dans lesquelles on peut substituer pour u sa valeur déterminée par l’équation (4), du même n*.

Soient x, y, z , les trois coordonnées de m par rapport à un plan fixe quelconque, passant par le centre de M , a> l’angle que forme le grand axe de l’orbite avec son intersection sur le plan fixe , et la longitude de cette intersection comptée de l’axe des x, et <p l’inclinaison mutuelle de ces deux plans ; soient enfin X' et Y' les coordonnées de m rapportées à la commune intersection du plan de l’orbite et du plan fixe ; on aura

X'==/\cos(t' — ai), Y'=r.sin(v — a»).

d’où l’on tire, en substituant pour r.cosp et r.sin v leurs valeurs ,

■X'ssX.cosa-f-Y.sina , Y'= — X.sio«-f-Y.cos£*>.

Cela posé, on trouvera par les règles ordinaires de la transformation des coordonnées, en mettant pour X' et Y' les valeurs précédentes,

.T = (X . tos »-f-Y . si u«) . cos«-f" (X . sin 0 — Y . cos «) . cosp .sia » , ^'■=(X,cos«>-t-Y.sin«).sin«— (X.sin* — Y.cos«).cosçi.cos« ,

2 = — (X.sin « — Y'.cosdQ.sinp.

Le second lieu de la planète fournira trois équations semblables, et en nommant x' , y1 , z' les coordonnées de m relativesjà ce nouveau point, on aura six équations entre les six quantités connues x,y, z, x', y' y z' et les six constantes a, e, <p, a, l, u, et par conséquent, tout ce qui est nécessaire pour déterminer ces arbitraires. Mais comme l’anomalie excentrique u est donnée en? fonction du temps, que nous supposons connu , par une équation transcendante, le problème ne peut pas se résoudre dans ce cas algébriquement, à moins cependant que l’on ne suppose très petit l’intervalle de temps écoulé entre les passages’de la planète par les deux points donnés. Dans ce cas, les coordonnées a:', j', z' peuvent se réduire en suites convergentes ordonnées par rapport au temps t ; et comme nous aurons occasion d’en faire usage dans la théorie des comètes, nous allons développer ici ces séries.

3a. Si l’on regarde les variables x, y, z qui déterminent^ chaque instant^a position de la planète ou de la comète in, comme des fonctions du temps t, et qu’on nomme x, y, z les valeurs de ces variables relatives à l’époque où t=so, et x, y, z leurs valeurs

relatives à une autre époque quelconque, on aura en général

, dx . . cfx /* , d'x <’ ,

x = x + 57 ‘ + -5? • 7^ + "5? TT3 + etc • ' I

S = Y + dimt+df •175 + ^r,7 T^ + etc-»/W

1 dz f d* z t ,

rfr* * 1.2.3 rf3z /’

-f-etc. ,

les coefficiens différentiels etc. , dési-

gnant ici ce que deviennent les différences

dJ-, etc., lorsqu’on y fait l = o.

Les équations différentielles du mouvement elliptique donnent , en faisant p = 1 ,

d‘x x çPy y d^z s

55 — ?’ 55 1** dl ’ r1’

Si l’on différencie successivement la première de ces équations, et que pour abréger on fasse

rdr x dx -+- ydy -f- tdz

s — 57 ~~ ~ di *

ou aura

d’x __ 3s ^ 1 dx '

dix f 3 ds 3.5. s* l\ , 2.3.» .

55 ■ 57 ~ r1 dt ’

etc.

îç>8 THÉORIE ANALYTIQUE

et pour avoir de même les différences successives d ey et de a, il sulïira de changer simplement x eny et en z dans les expressions précédentes.

Si l’on suppose t—o dans ces équations, x,y, z, r, s,

dx dy dz . dx dy dz

dt’ dt’ 57 se changent en x, y, z, r, s, -, g-. Si

l’on effectue ensuite les substitutions dans les équations (g), et que pour abréger on fasse

dx!

, dx'

, dz'

ds

dt

~dt

dt~

et

RJ

■rn + -r-

+etc. ,

on trouve

x = xV+x'U, jt=yV-|-y'U, z=zV-+-z'U. (/)

Ces expressions donneront les valeurs des coordonnées x, y, z relatives à un instant quelconque en fonction des coordonnées x, y, z, qui se rapportent à l’époque où l’on compte t = o, des différences premières et secondes de ces quantités et du temps écoulé depuis cette époque.

35. Si l’on suppose donc, comme dans le n° 3i , que l’on connaisse deux lieux dè la planète m dans son orbite, en substituant dans les équations précédentes , pour x , y , z , leurs valeurs relatives au premier point donné de l’orbite, et pour x, y, z et t , leurs valeurs relatives au second, en ne portant l’approximation que jusqu’aux troisièmes puissances du

temps, on aura trois équations qui donneront les valeurs des trois quantités x', y', z', et l’on déterminera celles des six constantes a, e, <p, a, l, oo, comme nous l avons fait n° 2g.

Il est bon de remarquer que les deux quantités s et s' déterminent immédiatement deux îles principaux éle'mensde l’orbite, le grand axe et l’excentricité. En effet, les équations (e) et (d), n° 20, en remplaçant

h et k par leurs valeurs et -r-^~ par s, donnent 2r — — — s,=a.( 1 — e*):

d’où, en différenciant et divisant par.nfr, on tire

Si dans ces équations on substitue à la place de r, s et s' leurs valeurs relatives à lepoque où t =0, elles donneront

On aura donc ainsi les valeurs de a et de e. On voit de plus que les quantités que nous avons désignées par s et s\ et qui entrent dans les valeurs de V et U, ne dépendent que de la figure de l’orbite et sont indépendantes de sa position. Dans la parabole , le grand axe 2a est infini, et le demi-paramètre a.(i — e*)est double de la distance périhélie; en nommant donc D cette distance, les équations précédentes donneront dans ce cas

3oo THÉORIE ANALYTIQUE

34- Enfin la figure de l’orbite peut encore être déterminée par les formules du numéro précédent, dans le cas où l’on connaît seulement les trois rayons vecteurs r, r', r", et les temps t et t' employés par le mobile à parcourir les intervalles qui les séparent. En effet, si l’on ajoute entre elles les trois équations (l) après les avoir élevées au carré, qu’on observe que x* -f- z* = r% on aura

r* = (x* -+-?*+ Z*). V‘+2.(xx'-f-YY'-f-Zz') .VU -f-(x,,-t-Y,*+z'*).U\

On a d’ailleurs, n°* 3a et 33 ,

x*-f--ï*-f-z‘ = R*, xx'+Yï'-f zz' = s,

On aura donc

r*=R*.V* + 2s.VU-f-(i-{-s').U.

Cette équation donnera la valeur de r relative à un temps t quelconque lorsque les quantités r , s et s', relatives à l’époque , seront déterminées.

Supposons que l’on fixe l’origine du temps, qu’on peut prendre à volonté à l’instant où le rayon vecteur de m est égal à r; qu’on nomme t et. t' les intervalles de temps qui séparent les passages de la planète par les trois points dont les rayons vecteurs sont donnés, on aura

r'* = r* . V + a*.' VU 4- ( J + #').U ,

/"• =r*. V'4- as ; VTJ'+ G +

DU SYSTÈME DU MONDE. 3oi

V' et U' désignant ce que deviennent V et U lorsqu'on y change t en t'.

On aura donc deux équations entre les inconnues s et s'y au moyen desquelles on pourra déterminer leurs valeurs. Elles donneront immédiatement le grand axe, et l’excentricité par les formules ( m ); on aura ensuite l’angle compris entre le rayon r et le périhélie parla formule (c) , n° 29.

35. C’est en comparant les positions des planètes observées à différentes époques, qu’on a déterminé les élémens de leurs orbites ; et comme ces corps ne sont jamais à d’assez grandes distances de la Terre pour échapper aux instrumens astronomiques , on a pu répéter ces observations autant qu’on l’a jugé convenable, et par des corrections successives, on est parvenu à fixer ces élémens avec toute la précision désirable. La petitesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles des orbites planétaires a beaucoup contribué aussi à faciliter ces recherches; mais il n’en est pas ainsi par rapport aux comètes : non-seulement leurs excentricités et les inclinaisons de leurs orbites varient à l’infini , mais encore, comme ces orbites sont en général très allongées, elles ne sont visibles pour nous que lorsqu’elles reviennent dans la partie la plus voisine du Soleil ou vers leurs périhélies ; leur éloignement les dérobe ensuite à nos regards, et souvent elles disparaissent pour toujours. C’est donc un problème d’analyse fort intéressant que celui qui a pour objet de déterminer les élémens de l’orbite d’une comète d’après un certain nombre d’observations faites pendant la durée de son apparition, puisque c’est la

3oz THÉORIE ANALYTIQUE

seule donnée que nous ayons pour reconnaître ces astres lorsque la suite des temps les ramène vers le Soleil. Les plus grands géomètres, depuisNewton, se sont exercés sur cette question , et nous avons aujourd’hui différentes méthodes pour la résoudre ; nous ne nous arrêterons pas ici à exposer aucune de ces méthodes, ce qui nous entraînerait dans une trop longue digression; nous reviendrons sur cet objet lorsque nous aurons achevé la théorie des planètes, et nous consacrerons un livre à part à la détermination des élémens de l’orbite des comètes et à la théorie de leurs perturbations.

DU SYSTÈME Dlî MONDE.