CHAPITRE YI

Variations des Constantes arbitraires qui entrent

dans les formules du mouvement elliptique , ou

Théorie des Perturbations planétaires.

36. Nous sommes parvenus , dans le chapitre IV, à intégrer complètement les équations différentielles des mouvemens des centres de gravité des corps célestes autour du Soleil, lorsqu’on n’a égard qua l’attraction de cet astre, et qu’on fait abstraction de leurs actions mutuelles. Nous avons vu que, dans ce cas, les orbites qu’ils décrivent sont des sections coniques dont le Soleil occupe un foyer et dont les élémens sont les constantes arbitraires introduites par les intégrations. Dans le chapitre suivant, nous avons montré que la détermination de ces élémens ne dépend que de la vitesse dont le corps que l’on considère est animé dans un point donné de l’orbite, ou, ce qui revient au même, des forces qui le sollicitent à une époque déterminée, Or, la force qui fait décrire aux corps célestes des sections coniques autour du Soleil est la puissance attractive de cet astre combinée avec une impulsion que ces corps peuvent être supposés avoir reçue à l’origine du mouvement , dont on peut fixer l’époque à un instant quelconque. Il suit de là que si , la force attractive restant la même, la force d’impul-

3o4 . TI1É01UE ANALYTIQUE

sion éprouve un changement quelconque, la nature de l’orhite ne variera pas, mais ses élémens en seront plus ou moins altérés; de sorte que l’orbe elliptique d’une planète, par exemple, pourra devenir parabolique ou hyperbolique , et la planète se trouvera ainsi transformée en comète. Imaginons maintenant qu’au lieu d’éprouver une variation finie qui n'agit que pendant un instant, l’impulsion primitive soit soumise à des variations infiniment petites, mais dont l’action soit continue, comme on peut supposer que cela a lieu à l’égard des corps célestes en vertu de leurs actions mutuelles; l’orbite pourra encore, pendant chaque intervalle de temps dt, être regardée comme une section conique dont les élémens sont constans pendant cet instant, et varient seulement dans l’instant suivant. Les variations de ces élémens serviront à déterminer l’effet des forces perturbatrices.

Les observations avaient fait voir, en effet, depuis long-temps que les élémens des orbites planétaires ne sont pas constans, et que ces orbites doivent être regardées comme des ellipses dont les dimensions et la position dans l’espace varient par degrés insensibles, de sorte que l’ingénieux artifice de calcul que nous avons développé dans le chapitre III, et qui consiste à faire varier des quantités regardées d’abord comme constantes pour étendre la solution d’une question particulière à celle d’une question plus générale , semble, dans la théorie des perturbations planétaires, avoir été indiqué aux géomètres comme le résultat des observations, dont il n’est , pour ainsi dire , qu’une simple traduction.

DU SYSTÈME DU MONDE. 3o5

Exprimons par des formules analytiques les considérations précédentes.

37. Si l’on désigne par m la masse de la planète dont on consiaère le mouvement relatif autour du Soleil , par M celle de cet astre, et par m', tri*, ml" f etc. , celles des planètes perturbatrices; que l’on nomme oc, jry z les coordonnées de m rapportées à trois axes rectangulaires passant par le centre de M ; x',y,z', les coordonnées de m! relatives aux mêmes axes, et ainsi de suite; si de plus on fait pour abréger xm -J- z*=r*,a/*-f-ÿ*-J-s'* = etc. , et qu’on

suppose

xx'+yy'+2z\

**+yy"±2L'\

on aura, n* 8, pour déterminer les

mouvemens de .

m autour de M, les trois équations différentielles

suivantes :

cPx . /ux dK

■ -Z py —

df ' r‘ dyf

cPz , ftt rfR

Si dans ces équations on fait R=d, elles deviennent celles du mouvement elliptique que nous avons intégrées dans le chapitre IV. Supposons à l’une quel- Tomb I. 20

3o6 THÉORIE ANALYTIQUE

conque des intégrales premières auxquelles nous

sommes parvenus, cette forme

a = Fonct.(jc,7, s, xjfjr„ z„ t), («)

en désignant par a une des arbitraires introduites par l’intégration, c’est-à-dire l’un quelconque des élé— mens de l’orbite elliptique , et en faisant pour abréger

dx J*

xi~~dt’ dt * • dt

Si l’on veut que pendant l’instant dt l’ellipse décrite dans le cas où R est nul , et l’orbite troublée coïncident, il faudra supposer aux variables x,j, z, et à leurs différentielles premières x,, z„ les mêmes valeurs sur les deux courbes , et par conséquent l’expression de a ne changera pas , soit que l’on considère le mouvement elliptique ou le mouvement troublé . Mais dans ce dernier cas , les vitesses x^y,, z', au bout de l’instant dt , sont augmentées respectivement par l’effet des forces perturbatrices des trois quantités infiniment petites ~ . dt , gr ‘dt, . dt ; on ne

peut plus alors regarder l’élément a comme constant, et en ajoutant aux vitesses x„ J,, z„ dans l’expression de cet élément, leurs variations, on aura pour déterminer la variation correspondante da.

da

/ da JR , da JR , Ja JR\ \dx, ' dx dy , * dy dx, dz)

Si l’on considère l’équation (a) comme une intégrale première des équations (A) dans le cas où l’on a R=o,

DU SYSTÈME Dü MONDE. 3o7

il est évident quelle satisfera encore aux mêmes équations , dans le cas où leur second membre n’est pas nul. Eu effet, les valeurs des coordonnées x, y, z, et de leurs différentielles xtdt, y,dl, zdt , sont par notre hypothèse supposées les mêmes dans les deux cas, et ces quantités ne diffèrent que par leurs différentielles secondes; de sorte que si l'on désigne par (x,), (y,), (z,) les valeurs de xlfyJtz;t dans le v cas où R est égal à zéro, on aura x/=(x/),y/=(j-/), z/=(z/), et en différenciant

dxp^idxyrïx, , djy=ddyyr$yt, dz^dz^+Sz,.

Cela posé , différencions l’équation (a.) , et désignons par fonct. ( x,y , z, xt, y z, t) la différentielle du second membre dans le cas où R = o ; on aura

o = fonct. [x , y t z, x„ylt Z/, t).

Cette même équation , en y faisant varier à la fois les constantes et les variables, pour l’appliquer au cas où R n’est pas nul, donnera

rfa=fonct. (x,y, z,x„y„ 0 + • ** ■**')•

ou bien , en retranchant la première différentielle de la seconde

Or, si l’on substitue à la place de dans

3o8 THÉORIE ANALYTIQUE

les équations (A), leurs valeurs (dx^S'x,, {dy)+Sylf

(dzt)-\-Szn on a

fyr—dÿ’d1’

puisque les quantités (dx), (dy,), (Jzj/sont en effet supposées satisfaire à ces équations dans le cas où R est nul. Si l'on remplace donc J/, , S'z, , par leurs valeurs dans l’équation (b) , et qu’on substitue pour da la valeur que nous lui avons supposée dans l’équation («'), on voit qu’on aura une équation identique, et que par conséquent l’intégrale (a) satisfait également aux équations différentielles (A), soit que l’on néglige , soit que l’on considère l’action des forces perturbatrices : la seule différence, c’est que dans le premier cas l’arbitraire a est constante , et que dans le second elle doit être regardée comme variable. Il en serait de même de toute autre intégrale première des équations (A), abstraction faite de leur second membre, quel que soit le nombre des constantes arbitraires qu’elle renferme.