Reprenons la valeur de la variation différentielle

de a.

da = (- + ~ + t -^\dt.

\dx, o£i ‘ rfy, dy rf», dz)

On peut donner à cette expression une autre forme,' qui a l’avantage de conduire à des expressions très simples, pour les variations des élémens elliptiques. Il suffit pour cela de substituer aux différentielles de la fonction R relatives aux variables x, y, z, leurs

DD SYSTÈME Dü MOUDE. 309

différentielles partielles prises par rapport aux constantes introduites dans R par la substitution de§ valeurs de xtjr, z en fonction du temps et des élémens de l’orbite elliptique. Si l’on désigne par a, b, c, j\ g, h ces six constantes arbitraires, en suivant la marche que nous avons indiquée dans le n° 16, on trouvera

“H (a>g) • ^ • dl+ (a>h) • S • ^ ’ » j

expression dans laquelle on fait pour abréger

, » « da db da db , da db da db

' *“ Ix, ' dx dx‘ dx , djrt ' dy dy' dy ,

da db da db

dî/ ' dz dz ' 5T'

Et l’on suppose aux quantités représentées par

(a, c), (<*,/), etc., des valeurs analogues fournies par la même équation, dans laquelle on substituera simplement les lettres c , f. g , h, à la place de b. '

Celte expression de da est surtout remarquable en ce que les coçfficiens ( a , b), ( a , c ), etc., qui multiplient les différentielles partielles de R , sont des fonctions des constantes a , b, c,ft g , h, qui ne renferment pas le temps implicitement. Cette proposition, que nous avons démontrée généralement n° 17, peut se vérifier ici d’une manière fort simple. 11 suffit pour cela de faire varier le temps / dans les expressions de (a, b), (a, c ), etc.

3io THÉORIE ANALYTIQUE

En effet, différencions l’expression précédente de (a, b), nous aurons

. ( la

. db

, da db , da

, db

' dx~ dx'

d-dx + dx-ddï,-

~Tx

d‘dx,

, db

, da , db , da

a db

+ Ty,

~ dy,

■ d.-r --\--r.d.-rdy dy dy,

~ dy'

dy, ,

, db

, da db , da

, db

ddx-

~ dx,

ds;+7üddi,~

dx;

Formons les valeurs

des

différentielles d.

Tx9

d‘dX;

, db d'Tx’

j db

d-dï>

, da

etc.

, qui entrent dans le

second

membre de cette équation.

Si l’on différencie par rapport à la variable x, l’équation

a = Fonct. {x , j t z, x,t jr„ z„ t ), (a)

et qu’on la différencie ensuite une seconde fois par rapport à t, en faisant varier tout ce gui varie avec

le temps t , qu’on substitue pour leurs va-

leurs xt, yt, zn et qu’on observe que si, pour abréger, on fait ^=V, les équations du mouve-

ment elliptique donnent

dx, dV cfy, dV dz‘ — •

~dt dx ’ dî dy ' dt dz 1

on aura

, da

+ dxx'*‘ + dxdy' dxdz'

d’a d\ #a rfV , dV\

^ dxdx, ' dx dxdy, ' ïïÿ dxdz, dz ) .

.dt.

ogle

Mais en différenciant simplement par rapport au temps t lequalion (n) , on a

da . . da , , da , • da ,

■di+dï-d*+Ty-dy+Tz-dx

, da . , da , da ,

+dï-dx'+zï-dy'+di-it'=o-

Le premier membre de cette équation doit devenir une fonction de/, x,y, z, xt, y/t zlf identiquement nulle, lorsqu’on y substitue pour docl , dyt, dzt leurs valeurs tirées des équations (a), puisque l’équation (a) est une des intégrales premières de ces équations. Cette substitution donne

da , da , da , da

dt+dï'X'+lÇ'7‘+Tz'Z‘

da dV -, da dV da c IV

' " dx, ' dx dy f". dy dz " ~dz^

Cette équation étant identique par rapport à t, x t y, zt x’, y, z1, subsistera encore en faisant varier séparément ces quantités ; je la différencie par rapport à x , et je trouve

dxdt1 dx' " ** ‘ r dxdy ' ' dxdz ' Z‘

dx''

-£dy*>dV . d'a

u t , i* «. d\ , d'a dV dxdx/ dx dx dy/ dy dxdz.' dz

da d'V

da d'V . da d'V ...

‘ ' dÿ/ dxdy ' /Jr*

3x]‘ dx •

dz . ' dxdz '

La valeur de la différentielle de se réduira, en vertu

de cette équation , à

, da f da d'V . da d'V . da d'V \

3ia '

THÉORIE AWALYTIQÜE

On trouvera de la même manière

/da d’V da d'V da d'V\

\rijr( ‘ dxdy dy, ’ dy' ‘ dx, ’ dydx)'

j da

(da d'V , da d'V , da d'V\

\dx, ' dxdx ' dy, ' dydx dx’’ dx')

Si l’on difërencie la valeur de a , d’abord par rapport à xt , et ensuite par rapport au temps t , ou aura

j da ( d'à d’à . d'à d'a

‘ dx , dxdx, " X,“^“ dydx, dxdx, ’ Z/

. d'a dV d’a dV , d'a dV\

' dx' ‘ dx dxdy, ’ dy " dxdz, ' dx)

mais si l’on différencie , par rapport à xt , l’équation identique 6), en remarquant que V ne contient pas les variables x,, yt, z,, on a

d'a . da d’a . d'a . d'a âxjdt ' dx dxàx'X> dydx dxdx, 'Z‘

, d’a dV , d’a dV d'a dV dx' ' dx ** dxdy, ’ dy * ’ dxdx, * ris

On aura donc simplement, en vertu de cette équation.

On trouverait de même

Et en supposant la constante b donnée par une e'quation semblable à celle qui détermine a, on aura

'8iî

pour les différentielles d.^, d."^ , d.‘^t d.^- ,

, d.ÿ- , des expressions semblables aux précédentes , en y changeant seulement a en b.

Si l’on substitue ces valeurs dans l’expression de d.(a, b), on verra que les termes qui contiennent

« i> mi/ .. il i du db du d^ du db les différentielles de -y— , -j- , t , -r- , se

dx/ dx/ dy, dy,’ dz / dz

détruisent mutuellement, et qu’en ordonnant par rapport aux différences partielles de V les termes

qui contiennent les différentielles de ^ etc.,

les coefficiens de chacune de ces différences se réduisent d’eux-mêmes à zéro.

D’où il suit que la quantité représentée par (a, b), et par conséquent les autres quantités semblables (a, c), {b, c ) , etc. , ne renfermeront pas le temps t et ne pourront être que de simples fonctions des constantes a, b, c, etc., lorsqu’on aura substitué, à la place de x,y, z,xt,ylt z/f leurs valeurs elliptiques en fonction de ces constantes et du temps t.

Ainsi , la variation différentielle da de l’un quelconque des élémens de l’orbite de m se trouve exprimée par une formule qui ne renferme que les différences partielles de R , prises par rapport aux cinq autres élémens b , c, etc., et multipliées par des fonctions de a, b , c , etc. , indépendantes du temps.

Ce résultat remarquable n’est qu’un cas particulier de celui que nous avons obtenu d’une manière générale, dans le n° 17; mais, vu son importance dans la théorie des perturbations planétaires , nous

3i4* THÉORIE ANALYTIQUE

ayons cru qu’il ne serait pas inutile de montrer comment on y peut parvenir immédiatement, par la seule considération des formules du mouvement elliptique, et comment se vérifiait, dans ce cas, d’une manière très simple, l’indépendance des symboles (a, b), ( a , c) , etc. , à l’égard du temps t.

Il nous eût été facile, d’ailleurs, de déduire immédiatement et indépendamment de toute autre considération, la formule (i), de la formule générale (D) du n° 18.

En effet, si l’on ne considère que le mouvement d’un seul corps m , dont les trois coordonnées rectangulaires x,y , s ne sont liées entre elles par aucune équation de condition , on pourra prendre pour variables indépendantes ces coordonnées; on aura ainsi <p~x, 4— ô = z , ce qui donne <p'=xlf 4 1 —y, t fl,sss z/, et la valeur de T se réduira, dans ce cas, à

d’où l’on tire

dlO rfT

= mx,, u = 2ç=my„ v = ^ =

mz.

Ces valeurs, substituées dans la formule générale (D) , en observant que la fonction représentée par SI doit être ici remplacée par t?iR , reproduisent la valeur de da , à laquelle nous sommes parvenus plus haut.

3g. Appliquons la théorie précédente au calcul des perturbations planétaires.

Reprenons , pour cela , les diverses intégrales que

Dü SYSTÈME DU MONDE. »3i5

nous ont fournies les équations du mouvement elliptique, et déterminons, d’après la formule générale (i), les variations qu’il faudra faire subir aux constantes arbitraires qu’elles renferment, pour étendre ces intégrales aux équations différentielles du mouvement troublé; Nous sommes parvenus, dans le chapitre IV , aux huit intégrales suivantes :

xjr, — xj—c, zx,— zpc— c', yz,— y, a— c", j

/•=£.( i — e.cosü), .(u — e.sinw) ,

l -f- e . cos^ — a)

Nous supposons , pour plus de simplicité , fx. = i .

Ces intégrales contiennent sept constantes aibitraires; mais comme elles ne doivent en renfermer que six distinctes entre ellçs , l’une de ces arbitraires est nécessairement comprise dans les six autres.

En effet, on a, n“ 20 , entre les constantes c, c , c", a, e, l’équation de condition,

De sorte que ces cinq constantes n’équivalent réellement qu’à quatre arbitraires distinctes, et qu’on peut regarder l’une d’entre elles, prise à volonté, comme fonction des trois autres. Les constantes c , c', c" fixent la position du plan de l’orbite; et en nommant <p son inclinaison sur le plan des xy, et a.

3i6* THÉORIE ANALYTIQUE

la longitude de son nœud, comptée sur le même plan , à partir de l’axe de x , on a

tang <p = , tang<v= — 7 ,

d’où , en faisant pour abréger A* = c* -f- c'* -+- c on tire

c=k.cos<p, c'z=. — Æ.sin<p.cosa, c*=A:.sin<p.sina.

Ces valeurs nous seront utiles dans les recherches suivantes.

La constante eo exprime la longitude du périhélie comptée sur le plan de l’orbite à partir d’une ligne fixe prise à volonté; nous supposerons, dans ce qui va suivre, que cette ligne est l’intersection du plan de l’orbite avec le plan fixe des x y, et nous nommerons g ce que devient dans ce cas la constante u> ; la dernière des équations (B) donnera ainsi

cos (v — g) = ^=-r. (B^

4o. Cela posé, les six arbitraires dont nous allons déterminer les variations d’après la théorie générale exposée au commencement de ce chapitre, sont les cinq constantes a, et, <p, l, g, et la constante k dont le carré représente le demi-paramètre de l’orbite, et que nous emploierons de préférence à l’excen- • tricité e, parce que les calculs qui s’y rapportent sont moins* compliqués. Ces constantes , substituées tour à tour à la place de a et b dans la formule générale, produiront quinze quantités symboliques (<7, A), (n, et), (A, a), etc., qu’il faudra calculer

»gle

DU SYSTÈME DU MONDE. .3i7

par la formule (a). Commençons par chercher les valeurs de ces quinze quantités.

Formons d’abord les combinaisons (a,k), (a,<p)r (a, a), (k,<p), {h, a.), (a,<p), où n’entrent point les constantes / et g. Si l’on ajoute les carrés des trois premières équations (B) , on aura la valeur de k en fonction de x,y, z, x,,y,, z,i en mettant à la place de c, c', c", leurs valeurs dans les expressions de a. et <p, on aurait de même la valeur de ces constantes en fonction de x, y, z, xt,ylt z(. On pourrait donc ainsi déterminer directement, d’après la formule (2), les six quantités précédentes ; mais il sera plus simple de regarder les constantes k, a., <p comme fonctions des ! constantes c, c', c", et d’employer dans cette recherche la formule (E) du n° 18. *

Si, au moyen des quatre premières équations (B), on forme les différentielles partielles des arbitraires c, c', c" et a, prises par rapport aux variables x,y, z, xt, y t , z/f qu’on substitue ensuite les valeurs résultantes dans la formule (2), on trouvera sans peine

La constante k est déterminée en fonction de c, c', c ", par l’équation

k*= c‘+(/*+ c"‘ ; la formule (E), n* 18, donnera donc

{a,k)=z{a,c).~ + d’où l’on tire

•Si

3i8 THÉORIE ANALYTIQUE

Les deux arbitraires <p et <t étant déterminées par les équations

VV'-t-?* . c"

taug <p = , tang <x =

on aura de même

Pour former les deux combinaisons ( k,<p ) et (£,«), remarquons que l'on a par la formule citée

v,k)=v,c)\>+{cyycj,

Si l’on substitue pour (c,c'), {c,c"), (e',c"), leurs valeurs, en observant que l’on a, n°i8, (c',c)= — (c,c'), (c",c) = — (c,c"), (c",c')= — (c',c") , on trouve

D’ailleurs

Par conséquent

(A,{p)c=o, (A, et) = o.

Pour former la combinaison (u,<p), remarquons que l’on a

cos 9 — I »

d’où l’on déduit

Nous omettons le terme , parce que {&,k) est

nul, comme nous venons de le voir.

et en substituant pour (c',c)> (c*,c), -^7, leurs valeurs

(a,c)=— cos* = — 1 ,

et par conséquent

Passons au calcul des combinaisons dans lesquelles entrent les constantes l et g, et commençons par chercher les valeurs des quatre quantités ( a,l ), (A, Z), (ç,Z) , (a, Z). Si dans la septième des équations (B), on substitue pour u sa valeur donnée par l’équation qui la précède , cette équation prendra cette forme

Z = — t + Fonct. (a , k, r ) ; ( c )

d’où l’on tire, en faisant d’abord abstraction des constantes a et À-, '

3ao THÉORIE ANALYTIQUE

dl dl dr _____ x dl

dx dr' dx ' r’drf

dl j dl dr jr dl

dy dr " dy ~~ r ' dr’

dl dl dr x M

dz dr " dz r ' dr'

La valeur de l ne contenant pas les variables x, ,yt , z/ , on aura , par rapport à une constante quelconque b.

Pour avoir égard aux constantes a et k contenues dans la valeur de l, il faudrait ajouter au second membre de cette équation la fonction

Mais on peut l’omettre , parce que b devant représenter l’une des quatre constantes a,k,<p , a., les deux termes précédens sont toujours nuis. Il ne reste plus qu’à substituer successivement ces arbitraires à la place de b dans la valeur de (l,b).

Il est aisé de voir d’abord par les valeurs de c, c', c", que la substitution des constantes <p et a. ou de toute autre fonction de c, c, c*, à la place de b, rendra nulle la fonction

On aura donc aussi

DU SYSTÈME DU MONDE. 3n

Quant à la constante a , on trouve

dtt da . da

dj;=2a-Jr'> irz=z2a‘z‘i

en faisant donc b— a dans (l, b) , on aura

■ . ! dc.r -t-rr -t-zz i. — = — .^n'

mais 1 équation (<?) donne évidemment j- = -g- > par conséquent

Faisons enfin b=k, la constante k étant fonction de c, c', c , on aura , d’après ce que nous avons dit plus haut,

Passons maintenant à la recherche des cinq dernières combinaisons (g, a), (g,k), (g,<p), (g, a) et (g,l) qui renferment la constante g. L’équation (B') donne, en la résolvant par rapport à g,

On aura donc, relativement à une constante quelconque b,

— 1 tü. * db I dv db \ dx, ’T" Jy ' dz • dTj dz