COS V

Nous ferons usage de la première de ces valeurs , comme étant le plus simple. Elle donne en la différenciant

dp — xs dv — yz r' — g*

dx ~ r*. sinÿ.cos v’ dy ~ ’r'.sin 9. cos v' dz r’.sin ç.cosv’

rdz — zdr

dv z. cos p dv dt

dy r. si ii*. cos v ’ dt r’.sinp.cos*'

Substituant ces valeurs dans la formule qui donne (g,b), et ajoutant, à cause de la constante <p qui

entre dans l’expression de sin e, le ternie (<p,b) . ^ ,

on aura

Mi=-K-s>i £+-£)• î

r*.sin 9 cos v V*- * dxt ~f~"' ‘ dy t 1 “ ‘ dzt )

dh-+(a,b).<^a+(<p,b).~. (d)

r.sinip.cost' cfe(

Il ne reste plus qu’à substituer les constantes a, k, <p, a. , l à la place de b dans cette formule. Faisons d’abord b— a, nous aurons

On a de plus (a, a) — o, (<p,a)~o; par conséquent

de dv

et comme -£• = — -r. , on aura

Faisons b =k ; l’arbitraire k étant fonction dec, d, <f, on a

dh dk • , dk x-^+r-jj+z-d 7=0.

D’ailleurs (a, k) = o et (<p,k) = o; la formule qui

donne (g,k) se réduit donc à

't” ' r.sinp.coso ’ dz) r

mais A:* = c*+ c'* -j- c"*, d’où l’on tire

dk c ^ ~^-C J = sin $.(x. cos a+jr.sin a) ;

ou bien , d’après la valeur de cos v trouvée précédemment,

dk . „

= r.sm<p.cos v ;

par conséquent

Cherchons la valeur de (#,<?>), et pour abréger, au lieu de faire b =<p dans la formule (d) , observons

que l’on a cos <p = j , par conséquent

,11 est aisé de se convaincre que (g,c) =0; nous avons trouvé (g,k) — — 1 ; donc on a

, v COSÇ

Cherchons la valeur de (g,*); <* étant fonction de c' et c", on a

mais il est aisé de se convaincre que I on a

DU SYSTÈME DU MORDE. 3a5

'°9 J r.sinp.cos v vr9 J dç9

/ r.sm tp. cos v J 1 VTf *

ca * ,

La valeur de tang et = — ^ donne, en la différenciant

dm c’ dm l ,

-5-7=—.. cos* *, -ru — j. cos* a.

de c * de e

Substituons ces valeurs dans (g, a), nous aurons

mais

tZc

par conséquent

ifc.sin ç ’

( x\ cos’* /c g+c y\ ■ i x.cos<p

'0, ' r.sin ip.cos t» \ c'“ / i.sin^'r.sin'^.cose*

D’ailleurs les valeurs de c, c', c" , n° 3g , donnent

cos <p c.cos’ a ,, , , .

7—: — = — 7— , d ou il resuite

xr.sm $ C * '

et comme cz -f- c'y -f- c"x = b , n° ao , on a enfin

Déterminons la valeur de (g,/), dernière combinaison qui nous reste à considérer. La constante l peu;

3a6 THÉORIE ANALYTIQUE

être regarde'e comme fonction des variables r et t, et des arbitraires a et k ; nous aurons donc par conséquent

M =(«.'■) -t + (g,-) • E ■ + fe,*) ■ s :

et comme (g,a) — o et (g,k) = — i, cette valeur se réduit à

' (fM> = fe.r)4-§.

Puisque r ne contient pas les variables zt, la valeur de (g,r) se réduit à

Le second terme est nul de lui-même, puisque l’on a

et que nous avons vu que <p étant fonction de c, c , c", la quantité .r.— - était nulle. Il ne

nous reste donc à former que la quantité ( a,r ).

, , da dr da dr da dr

' ,r dx, * dx dy t * dy ' dst " dz"

c i ... da da da dr dr .dr ,

substituons pour -7- , -r- , — r- , -3- , TetT leurs

r dx ’ dy * dz, ’ dx’ dy dz

valeurs, on aura

(o,r)=z~ . (*ar,+jy, -f- zz) = au*.

Ainsi donc

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et par conséqueut «

(a l\=aa' — - — d± =.ia' .d-$- — -

\b>L) 2a -rit * dr du dk * U dn dk'

da

Si pour ^ et ~ on substitue leurs valeurs tirées de

lequation (B') du n° 39, et de la septième des équations (B) du même numéro, différenciées par rapport à ces constantes , et en y regardant e comme fonction de a et de A , on trouvera, toute réduction faite,

et par conséquent

4 1 . Rassemblons les valeurs des quinze quantités que nous venons de déterminer, nous aurons

(a,k) = o, (a,<p) =o,(a,«) = o, (a,g)= o, (a,l)=2a% (l, A) = o, (l,<p) =0 ,(/,*) = Oj (/,g) = o ,

(A-, tp) = o, (A, a) =0, (A, g) — , 1 ,

i.sio 1 p

ifc.sin ç>

Si dans la formule générale (1), on met successivement fl, l. A, g, a. et <p, à la place de a et b, et qu’on y substitue ensuite les valeurs précédentes, on aura pour déterminer les variations de ces six quantités

da — 2 a'.^.dt, dl — — 2 a'.^.dt,

dk== f^.dl,

dS

, f/U J. cos <p JR ,

dS——-j£-dt ~~kH^ 'S? '

i 1 JR ».

dcL ■ - » J • Clt y

jt.Sin p a<p t . sin

i/.sin p ’ aW

4a. De ces formules il est aisé de conclure celles qui se rapportent à la variation des six arbitraires que nous avons considérées dans la théorie du mouvement elliptique ; il suffit pour cela de remplacer les constantes Z, À', g par leurs valeurs en fonction de ces

arbitraires. Nous avons supposé, n" 24 et 5g,

nî — t — o) , k — \/«-(> — e%) ;

* % — n étant par hypothèse égale à a \

On tire de là en différenciant

de=da> -4-n.dl

de—-

'j/2=£.dk + -

.da.

Quant à la valeur de da 1, remarquons que nous avons désigné par g, n° 5g, l’angle compris entre la ligne

St