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des nœuds et le grand axe de l’orbite; ea est l’angle que forme ce même axe avec une ligne fixe menée dans le plan de cette orbite : on aurait donc don — dg si la ligne des nœuds ne faisait aucun mouvement pendant d’intervalle de temps dt; mais cette droite changeant à chaque instant de position, il est clair que dco est égal à dg, plus le mouvement des nœuds projeté sur le plan de l’orbite; on aura ainsi, aux quantités près du second ordre,
da = dg -f- cos tp.da..
La quanti té R peut être considérée, soit comme une fonction des arbitraires a, l, k , g, a, soit comme une fonction des arbitraires a, t , e, a> et a : on a donc, eu la différenciant dans ces deux hypothèses, l’équation identique
dR
<m 1 , dR j. t an ,, an c<k ,
da+^Æ4--.dk+-r-.dg + ^. dct
dR
dR
da '
dl
dk
dg'
Substituons dans le second membre, à la place de de, de, dco, leurs valeurs précédentes, et égalons ensuite de part et d’autre les coefficiens de da ', dl, dk,dg et da. , nous aurons
cm
da
\ da ) lae
de
dl
n-dT>
dR
an.\/ 1 — «’
dk
de 9
33o THÉORIE ANALYTIQUE
rfR rfR dR
dg dt dot 9
dR /dR \
dR . dR
COS <p.-T-+ COS <p.-r-.
d i T du
Si l’on substitue ces valeurs dans les formules (o); qu’ensuite on substitue pour da, dl, d/c, dg et dcc leurÿ valeurs résultantes dans th, de et da> , ou aura, pour déterminer les variations des six élémensde l’orbite elliptique, eu observant quera'rrra-*, et que k= Y a ■{ i — e‘), les équations suivautes
da=2a,*n.~ .dt , (i)
di—an'/.\ î v/i -e')!^.dt— 2a'n.~.dt, (2)
'du
de—--^--
. dU
dci 1= dct=
an. t/ 1 — e* dR
'du
dt, (3)
sut <p
s-dt-
dR
.dt. (6)
45. Nous voici donc parvenus à exprimer les variations différentielles des élémens de l’orbite elliptique parles différences partielles de la fonction R relatives à ces mêmes élémens, et multipliées par des coeflicicns qui ne renferment pas le temps. Il suffira donc, pour avoir leurs valeurs finies, de différencier par rapport à
ces élémens chaque tevme du développement de R , et de l’intégrer ensuite; avantage précieux qui résulte de la forme particulière que nous avons donnée aux expressions de ces variations.
La constante arbitraire e. étant toujours jointe à
l’angle nt, ona^ = d’oùl on tir e-j^.ndt—dH.,
la caractéristique d désignant une diilérentielle îelative au temps t, prise en ne faisant varier t qu autant qu’il est multiplié par n; les valeurs de du et de de deviennent ainsi
da=.ia%.d'\\ ,
de— — ÎLYJ — e/i — Y7*! — e*).JJ'R— «/»• V i-e'-jn
dR
dt.
On peut employer indifféremment ces expressions ou celles dont elles dérivent.
Nous avons supposé n — n~ on aura donc en différenciant
dn=x. — San.d'R. (7)
Cette formule donnera en l’intégrant la valeur qu’il faut substituer à la place de n dans les formules du mouvement elliptique. Or en nommant £ la longitude moyenne de la planète ni, on a %=nt é , et par conséquent 1
d^ = ïidl —{— tdn — f- cl'- ;
expression dans laquelle il faut remplacerai, de par leurs valeurs. Mais il y a ici unei observation essentielle à faire, c’est que, dansla différence partielle de R, relative an, on peut se dispenser de faire varier la
33a THÉORIE ANALYTJQÜE
quantité n qui dépend de a. En effet , R étant fonction de ni -f- e, donnera , à raison de la variation de n ,
le terme la valeur de d& renferme le terme
JR
— 2a% ‘ ~dâ‘nc^t" var|3tion de n y introduira donc
le terme — aa* . -j- . / — . ndt ; par conséquent la variation de la longitude moyenne sera, à raison seulement de la variation de n,
d% = tdn — 2 a' . ^ . — . ndt.
Si l’on substitue pour’ dn sa valeur, et qu’on remarque que — - . - et -j- .ndl — d R, on verra
que cette expression se réduit à zéro. 11 suit de là que dans la valeur de d% on peut omettre le terme tdn, pourvu qu’on regarde n comme constant dans la différence partielle de R prjse par rapport'à a. On aura donc %=f ndt-\- i pour l’expression de la longitude moyenne dans le mouvement troublé , et toutes les formules relatives au mouvement elliptique auront également lieu dans le cas de l’ellipse invariable et dansle cas de l’ellipse troublée, pourvu qii’ony change nt en fndt, et que l’on détermine les ’élémens de l’ellipse variable par les formules précédentes. Cette manière d’exprimer le moyen mouvement a l’avantage de faire disparaître les termes qui se trouveraient sans cela multipliés par le temps t hors des signes sinus et cosinus. Si l’on fait £ = fndt, on aura d' = ndt ; et en substituant pour n sa valeur tirée de
DU SYSTÈME du monde.
l’équation (7), et intégrant ensuite, on trouvera pour déterminer la variation du moyen mouvement la formule
Ç— — 3 . f f andt . (8)
44- Les formules (5) et (6), qui donnent les valeurs de dot et de dtp , contiennent au dénominateur le sinus de l’angle <p , quantité très petite lorsqu’on suppose l’inclinaison de l’orbite sur le plan lixe peu considérable, et quidevient nulle lorsqu’on rapportela position de la planète au plan de son orbite primitive, comme nous le ferons dans la suite. On peut éviter cet inconvénient en substituant aux arbitraires p et et, qui représentent l’inclinaison de l’orbite et la longitude de son nœud ascendant, les quantités tang p . sin et et tang p. cos a qui en dépendent. En effet, si l’on fait
^ = tang «p.sin et, q = tang Ç.cos et , on aura en différenciant
dp = ^^-.dp-\- -q.dji,
r cos* <ç> '
dq =
cos a cos' i p
.clp — p.det.
Si l’on considère R comme fonction de p et et, et ensuite comme fonction de p et q, on a l’équation identique
dR , , dR . dR , dR ,
j-^^-.dp — j^.dp-^-^.dq.
dp '
'dp'
En substituant pour dp et dq leurs valeurs, et en égalant de part et d’autre les coefBciens de dot et de dp, on trouve
r/R f/R f/R d* l ’ dp P ‘ dq *
f/R sin <* f/R cos « </R
dç> cos' ’ dp cos' Ç " dq ’
Si l’on substitue ces valeurs dans celles de c/a et d cdç; qu’ensuite on substitue les valeurs résultantes dans dp et dq, et qu’on néglige les termes du second ordre par rapport à <p, ou bien qu’on fasse <p = o, ce qui suppose que l'on prend pour plan de projection le plan même de l’orbite de ni , on aura
dq-.
dp
‘Jd-dL (I0)
Ces formules, jointes aux quatre premières du n° 42, sont celles dont nous nous servirons désormais pour déterminer les variations des élémens de l’orbite elliptique, et nous en conclurons d’une manière très simple toutes les inégalités du mouvement des planètes.
